高中数学人教A版(2019）选择性必修第一册第一章1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题（2）-课件(共34张PPT)

用空间向量研究距离、夹角问题（2）
空间向量
立体几何
距离问题
夹角问题
角度是对两个方向差的度量
向量是有方向
的量
例 如图，在棱长为1的正四面体?????????????????（四个面都是正三角形）中， ????， ????分别为???????? ，????????的中点．
（1）求直线???????? 与?????????夹角的余弦值；
（2）求直线???????? 与平面?????????????所成角的正弦值.
?
直线与平面
所成的角
两条直线
的夹角
本节课的任务：
夹角问题
空间向量
两条直线夹角的定义
两条直线 夹角的取值范围
两条直线夹角的向量求法
问题1 如何用空间向量求两条直线的夹角？
两条直线夹角问题的研究路径：
追问1：两条直线夹角的定义是什么？
????1
?
????2
?
????
?
????2
?
????1
?
????
?
????2
?
????1
?
????1//????2
?
规定????1与????2的夹角为0°
?
平面内，两条直线????1，????2相交形成4个角，其中不大于90°的角称为两条直线????1与????2所成的角（或夹角）.
?
空间中，两条异面直线????1，????2，经过空间任一点????分别作直线??1′//????1，????2′//????2，我们把直线????1′与????2′所成的角叫做异面直线????1与????2所成的角（或夹角）.
?
追问1：两条直线夹角的定义是什么？
????2
?
????1
?
????
?
????2’
?
????1′
?
????
?
从高维向低维转化的思想
????1
?
????2
?
????
?
追问2：两条直线夹角????的取值范围是什么？
?
????1
?
????2
?
????
?
????2
?
????1
?
????
?
????2
?
????1
?
????=0°
?
0°?
0°?
0°≤????≤90°
?
????=??????，?????
?
或????=π??????，????
?
????1
?
????2
?
????
?
追问3：两条直线的夹角????与它们方向向量的夹角有什么关系？
?
cos????=cos????，????
?
直线????1的方向向量为????
?
直线????2的方向向量为????
?
分析：
直线????????与????????夹角
?
向量????????与????????的夹角
?
（1）求直线????????与????????夹角的余弦值；
?
例
方法1 选择空间的一个基底
方法2 建立空间直角坐标系
问：如何表示向量????????和???????? ，使我们方便地计算
它们的夹角？
?
{????????，?????????，????????}?
?
问：如何选择基底？
（选取方式不唯一）
取????????的中点????，过????作????????⊥平面????????????，
?
问：如何建立空间直角坐标系？
取????????的中点????，过????作????????⊥平面????????????，
?
以????为原点，????????，????????，????????所在直线为????轴、????轴、????轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
?
问：如何建立空间直角坐标系？
（建系方式不唯一）
（1）求直线????????与????????夹角的余弦值；
?
例
解：（1）法1：向量法
以{????????，?????????，????????}?作为基底，则
?
设向量????????与?????????的夹角为????，
则直线????????与????????夹角的余弦值等于cos????.
?
12????????+????????.
?
????????=
?
=?????????12????????，
?
?????????????????
?
????????=
?
?????????????????=12(????????+?????????)?(?????????12????????)
?
=12????????2?14??????????????????+12??????????????????14?????????????????
?
=12?18+14?18=12.
?
又因为△????????????和△????????????均为等边三角形，
?
所以????????=????????
?
=32.
?
所以cos????=?????????????????????????????????
?
=1232×32=23.
?
所以直线????????与????????夹角的余弦值等于
?
23.
?
（1）求直线????????与????????夹角的余弦值；
?
例
解：（1）法2：坐标法
请同学们课后完成！
取????????中点????，过????作????????⊥平面????????????，
?
以????为原点，????????，????????，????????所在直线为????轴、????轴、????轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
?
用空间向量求两条直线????1，????2夹角????的步骤与方法：
?
例题小结1
化为向量问题
进行向量运算
回到图形问题
①转化为求两直线????1，????2的方向向量????，????的夹角
?
??②计算cos????，????=??????????????????的值
?
③两条直线????1，????2夹角????的余弦值
?????????????cos????=cos????，????
?
向量法
或坐标法
两条直线夹角的定义
两条直线夹角的取值范围
两条直线夹角的向量求法
直线与平面所成角的定义
直线与平面所成角的取值范围
直线与平面所成角的向量求法
问题2 如何用空间向量求直线与平面所成的角？
直线与平面所成角问题的研究路径：
直线????与平面????所成的角????：
?
?????????
?
?????//????
?
????⊥????
?
?????=0°
?
?????=0°
?
?????=90°
?
????是????的斜线
?
?????=？
?
????
?
l
????
?
l
????
?
l
????
?
l
A
平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角．
过斜线????上斜足????外一点 ????向平面????引垂线???????? ，过垂足???? 和斜足????的直线???????? 叫做斜线????在平面????上的射影.
?
追问1：斜线与平面所成的角的定义是什么？
????
?
l
B
C
追问2：直线与平面所成角????的取值范围是什么？
?
?????????
?
?????//????
?
????⊥????
?
?????=0°
?
?????=0°
?
?????=90°
?
????是????的斜线
?
?0°?
????
?
l
????
?
l
????
?
????
?
l
0°≤????≤90°
?
????+????，????=π2
?
追问3：直线与平面所成的角????和????，????有什么关系？
?
或????+π2=????，????
?
A
????
?
l
B
C
sin????=cos????，????
?
直线????的方向向量为????
?
平面????的法向量为????
?
（2）求直线????????与平面????????????所成角的正弦值.
?
例
直线????????与平面????????????所成的角
?
向量????????与平面????????????的法向量????的夹角
?
分析：
问：如何表示平面????????????法向量？
?
方法1 选择空间的一个基底
方法2 建立空间直角坐标系
????????=
?
请给出相应点和向量的坐标.
????(36，0，63)，
?
????(312，14，66)，
?
(?5312，14，66)，
?
????(32，0，0)，
?
????(0，12，0)，
?
n=0，0，1.
?
（2）求直线????????与平面????????????所成角的正弦值.
?
例
解：（2）
????????=?5312，14，66，
?
n=(0，0，1)为平面????????????的法向量.
?
设直线????????与平面????????????所成的角????，则sin????=cos????????，?????.
?
因为cos????????，?????=???????????????????????????
?
所以直线????????与平面????????????所成的角正弦值等于
?
23.
?
=6632×1=23，
?
用空间向量求直线?????与平面????所成角????的步骤和方法：
?
化为向量问题
进行向量运算
回到图形问题
①转化为求直线????的方向向量????与平面????的法向量????的夹角
?
??②计算cos????，????=??????????????????的值
?
③直线????与平面????所成的角????的 正弦值??sin????=cos????，????
?
例题小结2
1.学会两类夹角问题的向量求法
问题3 回顾本节课的探究过程，你学习到了什么？
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}角的类型
角的取值范围
方向向量与法向量
与向量夹角的关系
两条直线的夹角的定义
两条直线的夹角的取值范围
两条直线的夹角的向量求法
直线与平面所成角的定义
直线与平面所成角的取值范围
直线与平面所成角的
向量求法
2. 体验研究夹角问题的方法和过程
问题3 回顾本节课的探究过程，你学习到了什么？
3.体会应用空间向量求夹角问题的“三步曲”
问题3 回顾本节课的探究过程，你学习到了什么？
cos????=cos????，????
?
sin????=cos????，????
?
向量化
向量运算
几何化
向量夹角问题
向量夹角
结论
线线角、线面角问题
线线角、线面角结论
向量——解决度量问题的有力工具！
课后作业
1. 在直三棱柱?????????????????1????1????1中，∠????????????=90°，????1，????1分别是????1????1，????1????1的中点，????????=????????=????????1，则????????1与????????1所成角的余弦值是( )
(A)3010 (B)?12 (C) 3015 (D)?1510
?
课后作业
2. 长方体?????????????????????1????1????1????1中，????????=????????1=2，????????=4，????，????分别是????1????1，????????的中点，????是????????1与??1????的交点．求直线????????与平面????????????所成角的正弦值．