高中数学人教A版(2019）选择性必修第一册第一章1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题（1）-课件(共41张PPT)

用空间向量研究距离、夹角问题(1)
立体几何
点、直线、平面
位置关系
垂直
平行
空间向量
立体几何
点、直线、平面
位置关系
度量问题
距离
夹角
垂直
平行
空间向量
?
空间中距离
空间中距离
点
两点间的距离
点到直线的距离
两平行线之间的距离
点到平面的距离
直线到平面的距离
两个平行平面间的距离
用垂直刻画
直线
平面
问题1 你能把这些距离问题归类吗？
点到平面的距离
点到直线的距离
两平行线之间的距离
点到平面的距离
直线到平面的距离
两个平行平面间的距离
点到直线的距离
两点间的距离
距离
向量的模
空间两点间的距离
追问 如何用向量研究距离？
空间中其它距离
空间向量的模
投影向量/勾股定理
垂直
?
问题2 P 是直线 l 外的一点，如何求出点
P 到 l 的距离 ？
P
Q
l
P
Q
l
A
追问1 如何利用这些条件求点 P 到 l 的距离？
u
A是直线 l上的定点
直线 l的单位方向向量为u
①求出????????
?
②求????????在l上的投影向量????????
?
③应用勾股定理求PQ的长度
问题2 P 是直线 l 外的一点，如何求出点
P 到 l 的距离 ？
A是直线 l上的定点
直线 l的单位方向向量为u
追问2 如何表示????????在直线 l 上的投影向量？
?
????????=?????????????????
?
=?????????????
?
????????=?????????
?
设????????=????
?
a
P
Q
l
A
u
点 P到l的距离
A是直线 l上的定点
直线 l的单位方向向量为u
????????=????????2?????????2=?????????(?????????)????
?
a
P
Q
l
A
u
追问3 如果条件改为“直线l 的方向向量”呢？
点 P到l的距离
?
A是直线 l上的定点
直线 l的单位方向向量为u
a
P
Q
l
A
u
点 P到l的距离
A是直线 l上的定点
直线 l的方向向量为u
????????为直线l的单位方向向量
?
?
????????在直线l 上的投影向量
?
????????=(?????????????)????????
?
????????=?????????????=?????????????=?????????????
?
a
P
Q
l
A
u
点 P到l的距离
A是直线 l上的定点
直线 l的方向向量为u
????????=????????2?????????2=?????????(?????????????)????
?
a
P
Q
l
A
u
l1
l2
u
A
P
Q
追问4 如何用向量方法求两平行线之间的距离？
需要具备哪些条件？
P，A分别是直线 l1，l2上的点
两直线的方向向量为u
a
????????=????????2?????????2=?????????(?????????????)????
?
P
Q
α
问题3 P 是平面 α外的一点，如何求点P到
平面 α的距离？
追问1 如何作出点P 到平面 α的距离？
过点P作PQ⊥α，
垂足为Q，
垂线段PQ的长度为点P到平面α的距离.
A是平面α内的定点
追问2 如何利用这些条件求点P到平面 α的距离？
平面 α的法向量为n
①求????????
?
②求????????在l上的投影向量????????
?
③求PQ的长度
P
Q
n
α
A
l
????????=(?????????????????)????????
?
????????=?????????????????
?
平面 α的法向量为n
A是平面α内的定点
点P 到平面 α的距离
????????=?????????????????=?????????????????=?????????????????
?
P
Q
n
α
A
小结：整理向量方法求距离的相关公式
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A} 距离问题
图示
向量法距离公式
两点间的距离
点到直线
的距离
两平行线之间
的距离
点到平面
的距离
????????=????????
?
????????=????????2?????????2=?????????(?????????????)????
?
????????=????????2?????????2=?????????(?????????????)????
?
P
Q
l
A
u
a
P
Q
n
α
A
l1
l2
A
P
Q
a
u
P
Q
????????=?????????????????=?????????????????
?
投影向量+勾股定理
如图，在棱长为1的正方体ABCD －A1B1C1D1 中，E为线段A1B1的中点，F为线段AB的中点.
（1）求点B到直线AC1的距离；
（2）判断直线FC与平面AEC1的
位置关系；如果平行，求直线
FC 到平面AEC1的距离.
例
问：应用向量方法求距离，共同点是什么？
问：为此我们要做什么准备？
以D1为原点，D1 A1，D1 C1，D1 D所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
以D1为原点，D1 A1，D1 C1，D1 D所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
问：应用向量方法求距离，共同点是什么？
问：为此我们要做什么准备？
问: 相关点的坐标是什么？
A(1，0，1)，B(1，1，1)，
C(0，1，1)，C1(0，1，0)，
E(1，12，0)，F(1，12，1).
?
问:求哪些向量的坐标？
（1）求点B到直线AC1的距离；
例
问: 如何求直线AC1的单位方向向量？
解：以D1为原点，D1 A1，D1 C1，D1 D所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则
A(1，0，1)，B(1，1，1)，C(0，1，1)，C1(0，1，0)，
E(1，12，0)，F(1，12，1)，
?
（1）取a＝????????＝(0，1，0)，
?
u＝????????1|????????1|＝33(?1，1，?1)，
?
则a2＝1，a?u＝33．
?
所以，点B到直线AC1的距离为
????2??????????2 ＝1?13 ＝ 63 ．
?
?????????(?????????????)????
?
问： 直线FC与平面AEC1
是怎样的位置关系？
（2）判断直线FC与平面AEC1的 位置关系；如果平行，求直线 FC 到平面AEC1的距离.
例
直线FC//平面AEC1
问： 如何证明你的结论?
问： 如何求直线FC到平面AEC1的距离？
直线FC到平面AEC1的距离
点F（或C）到平面AEC1的距离
?
问： 需要确定哪些向量的坐标？
????????=0，12，0
?
平面????????????1的法向量
?
问： 如何求平面????????????1的法向量？
?
(1)设平面????????????1的法向量 n=(x，y，z) ；
?
(2)平面????????????1内取两个不共线的向量??????????????=0,12,?1，????????1=(?1,12,0)；
?
(3)根据法向量的定义建立关于x，y，
z的方程组;
(4)解方程组，取其中一组解，得法向量.
解：（2）因为????????＝????????1＝(?1，12，0)，
?
所以????????//平面????????????1．
?
所以点????到平面????????????1的距离即为直线????????到平面????????????1的距离．
?
所以????????//????????1 ．
?
因为?????????平面????????????1 ，????????1?平面????????????1，
?
设平面????????????1的法向量为n＝(x，y，z)，则
?????????????＝0，?????????????1＝0．

?
所以 12?????????＝0，?????＋12????＝0．
?
所以 ????＝2z，????＝????．
?
?????????????|????|=(0，12，0)?(1，2，1)6=66.
?
取????=1，则????=1，????=2 ．
所以 ????=(1，2，1) 是平面????????????1的一个法向量．
?
又因为????????＝(0，12，0)，
?
所以点????到平面????????????1的距离为
?
即直线????????到平面????????????1的距离为66
?
1. 求直线到平面的距离、两个平行平面间的距离可以转化为点到平面的距离.
例题小结
Q
n
α
A
P
P
Q
n
α
A
β
直线到平面的距离
两个平行平面间的距离
????????=????????????????????=??????????????????=??????????????????
?
Q
n
α
A
P
P
Q
n
α
A
β
2.用向量方法解决距离问题的“三步曲”：
例题小结
化为向量问题
进行向量运算
回到图形问题
①建立空间直角坐标系，求所
需向量的坐标
?
??②应用距离的向量计算公式
?
③得到所求距离
课堂小结
问题4 本节课研究的主要内容有哪些？
????????=????????
?
????????=????????2?????????2=?????????(?????????????)????
?
????????=?????????????????=?????????????????
?
空间中的距离问题
投影向量、勾股定理、向量数量积运算相结合
距离的向量计算公式
课堂小结
问题5 本节课我们采用的研究方法是什么？
点到直线的距离
两平行线之间的距离
点到平面的距离
直线到平面的距离
两平行平面间的距离
立体几何
距离问题
空间向量
投影向量
直线的方向向量
勾股定理
平面的法向量
立体几何问题
向量化
向量 运算
几何化
课堂小结
问题6 本节课的学习你体会到向量方法解决立体
几何问题的“三步曲”吗？
向量问题
立体几何
问题的解
向量问题的解
课后作业
D
C
B
A
A1
B1
C1
D1
?
F
E
?
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
课后作业