高中数学人教A版(2019）选择性必修第一册第一章1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题（3）-课件(共29张PPT)

用空间向量研究距离、夹角问题（3）
α
两条直线的夹角
直线与平面所成的角
α
l
????1
?
????2
?
立体几何中夹角问题
cos??=cos?????????????
?
?????????????????????，????
?
????，????
?
????
?
sin??=cos???????????????
?
α
两条直线的夹角
直线与平面所成的角
两个平面的夹角？
α
l
定义
取值范围
求法
立体几何中夹角问题
????1
?
????2
?
问题1 类比两条直线夹角的定义，如何定义两个平面的夹角？
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}
两条直线的夹角
两个平面的夹角
定义
平面内，两条直线????1，????2相交形成4个角，其中不大于90°的角称为两条直线????1与????2所成的角（或夹角）.
?
空间中，两条异面直线????1，????2，经过空间任一点????分别作直线????1′//????1，????2′//????2，我们把直线????1′与????2′所成的角叫做异面直线????1与????2所成的角（或夹角）.
?
????1
?
????2
?
????
?
????2
?
????1
?
????
?
????1
?
????2
?
空间中，平面????与平面????相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面????与平面????的夹角．
?
α
β
α
β
l
追问1：两个平面夹角????的取值范围是什么？
?
α
β
α
β
l
????=0°
?
0°?
0°≤????≤90°
?
二面角的大小用它的平面角来度量.
α
β
l
追问2：二面角的大小是如何度量的？
在二面角??????????????的棱????上任取一点????，以点????为垂足，在半平面????和????内分别作垂直于棱????的射线????????和????????，则射线????????和????????构成的∠????????????叫做二面角的平面角．
?
α
β
l
????
?
????
?
????
?
追问3：二面角的平面角是如何定义的？
两个平面的夹角等于相应二面角或其补角
追问4：两个平面夹角的大小与这两个平面形成的二面角的大小有何关系？
α
β
l
????
?
????
?
????
?
问题2 类比两条直线夹角的求法，如何用向量方法求两个平面的夹角？
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}
两条直线的夹角
两个平面的夹角
定义
范围
向量
求法
将直线的方向向量表示，转化为求向量的夹角
????1
?
????2
?
????
?
????2
?
????1
?
????
?
?
α
β
l
????
?
????
?
????
?
求方向向量????,?????的夹角
?
求得向量????,?????的夹角
?
求直线????,?????的夹角
?
求平面????,?????的夹角
?
转化为“新” 几何问题
转化向量问题
转化为几何结论
求得平面????,?????的夹角
?
向量运算
追问1：如何转化为向量问题？
思路1
转化为求两平面内与交线垂直的直线的方向向量的夹角
未必容易！
α
β
l
????
?
????
?
????
?
????=????????，????????
?
追问2：两个平面的夹角????与这两个平面的法向量的夹角有什么关系？
?
或????=π?????????，????????
?
cos????=cos????????，????????
?
平面????的法向量为????????
?
平面????的法向量为????????
?
α
β
l
????
?
????
?
????
?
求法向量????????,????????的夹角
?
求平面????,?????的夹角
?
转化向量问题
转化为几何结论
求出平面????,?????的夹角
?
向量运算
求出向量????????,????????的夹角
?
转化为向量问题
思路2
????????
?
????????
?
转化求两个平面的
法向量的夹角
建系可求！
α
β
l
????
?
????
?
????
?
如图，在直三棱柱?????????????????1????1????1中，????????=????????=2，????????1=3，∠????????????=90°，????为????????的中点，
?
例
点????，????分别在棱????????1，????????1上，????1????=2????????，????????=2????????1 ．
求平面????????????与平面????1????1????1夹角的
余弦值.

?
问：求两个平面的夹角转化为哪种向量的夹角？
2.两个平面的
法向量的夹角
1.两平面内与交线垂直的直线的方向向量的夹角
思路
解：以????1为原点，????1????1，????1????1，????1????所在直线为????轴、????轴、????轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
?
设平面????1????1????1的法向量为????1，平面????????????的法向量为????2，
则平面????????????与平面????1????1????1的夹角就是????1与????2的夹角或其补角．
?
求平面????????????与平面????1????1????1夹角的余弦值；
?
例
因为????1????⊥平面????1????1????1，
?
因为????(0，1，3)，????(2，0，2)，
????(0，2，1)?，
?
所以平面????1????1????1的一个法向量为????1＝(0，0，1)?．
?
设平面????????????的法向量为????2=????，????，????，
?
又 ????2?????????＝0，????2?????????＝0，?
?
所以2??????????????＝0，?????2????＝0?.??????????
?
所以????????＝(2，?1，?1)，
????????＝(0，1，?2) ．
?
所以 ????＝32????，????＝2????.?????取 ????2=?(3，4，2),
?
=22929.
?
则cos????1，????2=????1?????2|????1|?|????2|
?
=0，0，1?3，4，21×29
?
设平面????????????与平面????1????1????1的夹角为????，
?
即平面????????????与平面????1????1????1夹角
的余弦值为
?
则cos????=cos????1，????2
?
=22929.
?
22929.
?
思考：在例题条件下，如何求“平面????1????1????与平面????1????1????1夹角的余弦值”？
?
问：转化为哪种向量的夹角？
2.两个平面的
法向量的夹角
1.两平面内与交线垂直的直线的方向向量的夹角
思路
一般性！
普适性！
用空间向量求平面????与平面????的夹角????的步骤与方法：
?
例题小结
化为向量问题
进行向量运算
回到图形问题
①转化为求平面????，????的法向量????????，????????的夹角
?
??②计算cos????????，????????=??????????????????????????????????的值
?
③平面????与平面????夹角????的余弦值?????????????cos????=cos????????，????????
?
问题3 本节课主要学习了哪些内容？
两个平面夹角的定义
两个平面夹角的向量求法
类比两条直线夹角的研究方法、研究内容、解决方法研究两个平面的夹角
问题4 研究这些内容主要用了什么方法？
{7DF18680-E054-41AD-8BC1-D1AEF772440D}
两条直线的夹角
两个平面的夹角
定义
范围
向量
求法
问题5 用向量方法解决立体几何中夹角问题的一般步骤是什么？
cos????=cos????，????
?
cos????=cos????????，????????
?
sin????=cos????，????
?
向量化
向量运算
几何化
向量夹角问题
向量夹角
结论
线线角、线面角、面面角问题
线线角、线面、面面角结论
1.如图，正三棱柱?????????????????1????1????1中的所有棱长都为2，求平面????1????????1与平面????????1????夹角的余弦值．
?
课后作业
课后作业
2. 如图，△????????????和△????????????所在平面垂直，且????????＝????????＝????????，∠????????????＝∠????????????＝120°，求：
?
（1）直线????????与直线????????所成角的大小；
（2）直线????????与平面????????????所成角的大小；
（3）平面????????????和平面????????????的夹角的余弦值.