高中数学人教A版(2019)选择性必修第一册张一章1.3.2空间向量运算的坐标表示-课件(共22张PPT)
文档属性
| 名称 | 高中数学人教A版(2019)选择性必修第一册张一章1.3.2空间向量运算的坐标表示-课件(共22张PPT) |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 2.3MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-01-28 21:34:51 | ||
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文档简介
空间向量运算的坐标表示
问题1 有了空间向量的坐标表示，你能类比平面向量的坐标运算，得出空间向量运算的坐标表示并给出证明吗？
问题1 有了空间向量的坐标表示，你能类比平面向量的坐标运算，得出空间向量运算的坐标表示并给出证明吗？
平面向量有哪些运算？
?
加法，减法，数乘，数量积
问题1 有了空间向量的坐标表示，你能类比平面向量的坐标运算，得出空间向量运算的坐标表示并给出证明吗？
平面向量有哪些运算？
?
问题1 有了空间向量的坐标表示，你能类比平面向量的坐标运算，得出空间向量运算的坐标表示并给出证明吗？
加法，减法，数乘，数量积
这些运算的坐标表示是什么？
?
平面向量有哪些运算？
?
{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}
平面向量运算的坐标表示
空间向量运算的坐标表示
设
{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}
平面向量运算的坐标表示
空间向量运算的坐标表示
设
{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}
平面向量运算的坐标表示
空间向量运算的坐标表示
设
{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}
平面向量运算的坐标表示
空间向量运算的坐标表示
设
{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}
平面向量运算的坐标表示
空间向量运算的坐标表示
设
{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}
平面向量运算的坐标表示
空间向量运算的坐标表示
设
你能类比平面向量运算的坐标表示，猜想空间向量运算的坐标表示吗？
?
{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}
平面向量运算的坐标表示
空间向量运算的坐标表示
设
设
你能类比平面向量运算的坐标表示，猜想空间向量运算的坐标表示吗？
?
{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}
平面向量运算的坐标表示
空间向量运算的坐标表示
设
设
你能类比平面向量运算的坐标表示，猜想空间向量运算的坐标表示吗？
?
{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}
平面向量运算的坐标表示
空间向量运算的坐标表示
设
设
你能类比平面向量运算的坐标表示，猜想空间向量运算的坐标表示吗？
?
{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}
平面向量运算的坐标表示
空间向量运算的坐标表示
设
设
你能类比平面向量运算的坐标表示，猜想空间向量运算的坐标表示吗？
?
{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}
平面向量运算的坐标表示
空间向量运算的坐标表示
设
设
你能类比平面向量运算的坐标表示，猜想空间向量运算的坐标表示吗？
?
下面我们证明空间向量数量积运算的坐标表示.
下面我们证明空间向量数量积运算的坐标表示.
设 为空间的一个单位正交基底，
下面我们证明空间向量数量积运算的坐标表示.
设 为空间的一个单位正交基底，
则
下面我们证明空间向量数量积运算的坐标表示.
设 为空间的一个单位正交基底，
则
所以
下面我们证明空间向量数量积运算的坐标表示.
设 为空间的一个单位正交基底，
则
所以
下面我们证明空间向量数量积运算的坐标表示.
设 为空间的一个单位正交基底，
则
所以
因为
下面我们证明空间向量数量积运算的坐标表示.
设 为空间的一个单位正交基底，
则
所以
因为
下面我们证明空间向量数量积运算的坐标表示.
设 为空间的一个单位正交基底，
则
所以
因为
所以
{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}
平面向量运算的坐标表示
空间向量运算的坐标表示
设
设
设
{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}
平面向量运算的坐标表示
空间向量运算的坐标表示
设
设
设
设
问题2 平面向量的坐标运算可以帮助我们解决平行、垂直等位置关系以及距离等度量问题.空间向量的坐标运算是否仍然可以帮助我们解决这些问题？
如何用平面向量的坐标运算刻画平面向量的平行和垂直？
?
问题2 平面向量的坐标运算可以帮助我们解决平行、垂直等位置关系以及距离等度量问题.空间向量的坐标运算是否仍然可以帮助我们解决这些问题？
{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}
平面向量的特殊位置关系
空间向量的特殊位置关系
设
{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}
平面向量的特殊位置关系
空间向量的特殊位置关系
设
当 时，
{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}
平面向量的特殊位置关系
空间向量的特殊位置关系
设
当 时，
{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}
平面向量的特殊位置关系
空间向量的特殊位置关系
设
当 时，
{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}
平面向量的特殊位置关系
空间向量的特殊位置关系
设
设
当 时，
{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}
平面向量的特殊位置关系
空间向量的特殊位置关系
设
设
当 时，
当 时，
{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}
平面向量的特殊位置关系
空间向量的特殊位置关系
设
设
当 时，
当 时，
{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}
平面向量的特殊位置关系
空间向量的特殊位置关系
设
设
当 时，
当 时，
{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}
平面向量的特殊位置关系
空间向量的特殊位置关系
设
设
当 时，
当 时，
能否表示为 ？
?
当 时，
设
能否表示为 ？
?
当 时，
设
能否表示为 ？
至少一个不为0.
?
至少一个不为0.
当 时，
设
能否表示为 ？
?
至少一个不为0.
例如：当 与平面 平行时， .此时 无意义.
当 时，
设
能否表示为 ？
?
因此，只有 均不为0时，
当 时，
设
能否表示为 ？
?
因此，只有 均不为0时，
特殊地， 与任意向量平行.
当 时，
当 时，
设
能否表示为 ？
?
{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}
平面向量的特殊位置关系
空间向量的特殊位置关系
设
设
当 时，
当 时，
{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}
平面向量的特殊位置关系
空间向量的特殊位置关系
设
设
当 时，
当 时，
{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}
平面向量的特殊位置关系
空间向量的特殊位置关系
设
设
当 时，
当 时，
能否用空间向量的坐标表示长度和夹角？
?
{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}
平面向量的长度和夹角
空间向量的长度和夹角
设
{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}
平面向量的长度和夹角
空间向量的长度和夹角
设
{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}
平面向量的长度和夹角
空间向量的长度和夹角
设
{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}
设 则
平面向量的长度和夹角
空间向量的长度和夹角
设
{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}
设 则
平面向量的长度和夹角
空间向量的长度和夹角
设
{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}
设 则
平面向量的长度和夹角
空间向量的长度和夹角
设
设
{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}
设 则
平面向量的长度和夹角
空间向量的长度和夹角
设
设
{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}
设 则
平面向量的长度和夹角
空间向量的长度和夹角
设
设
{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}
设 则
平面向量的长度和夹角
空间向量的长度和夹角
设
设
设 则
{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}
设 则
平面向量的长度和夹角
空间向量的长度和夹角
设
设
设 则
{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}
设 则
平面向量的长度和夹角
空间向量的长度和夹角
设
设
设 则
你能证明空间两点间的距离公式吗？
?
如图，建立空间直角坐标系 ，
你能证明空间两点间的距离公式吗？
?
如图，建立空间直角坐标系 ，
设 ， 是空间中任意两点，
你能证明空间两点间的距离公式吗？
?
如图，建立空间直角坐标系 ，
设 ， 是空间中任意两点，
则
你能证明空间两点间的距离公式吗？
?
如图，建立空间直角坐标系 ，
设 ， 是空间中任意两点，
于是
则
你能证明空间两点间的距离公式吗？
?
如图，建立空间直角坐标系 ，
设 ， 是空间中任意两点，
于是
则
你能证明空间两点间的距离公式吗？
?
如图，建立空间直角坐标系 ，
设 ， 是空间中任意两点，
于是
所以
则
你能证明空间两点间的距离公式吗？
?
如图，建立空间直角坐标系 ，
设 ， 是空间中任意两点，
于是
所以
这就是空间两点间的距离公式.
则
你能证明空间两点间的距离公式吗？
?
为点 到原点 的距离.
一般到特殊
{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}
设 则
平面向量的长度和夹角
空间向量的长度和夹角
设
设
设 则
问题3 如图，在棱长为2的正方体 中， 分别是
的中点.
(1)求证 ;
如何用向量刻画两条直线垂直？
?
问题3 如图，在棱长为2的正方体 中， 分别是
的中点.
(1)求证 ;
如何用向量刻画两条直线垂直？
?
问题3 如图，在棱长为2的正方体 中， 分别是
的中点.
(1)求证 ;
如何用向量刻画两条直线垂直？
?
问题3 如图，在棱长为2的正方体 中， 分别是
的中点.
(1)求证 ;
如何用向量刻画两条直线垂直？
?
问题3 如图，在棱长为2的正方体 中， 分别是
的中点.
(1)求证 ;
判断垂直的依据
如何用向量刻画两条直线垂直？
?
问题3 如图，在棱长为2的正方体 中， 分别是
的中点.
(1)求证 ;
判断垂直的依据
如何建立空间直角坐标系？
?
如何用向量刻画两条直线垂直？
?
问题3 如图，在棱长为2的正方体 中， 分别是
的中点.
(1)求证 ;
判断垂直的依据
如何用向量刻画两条直线垂直？
?
问题3 如图，在棱长为2的正方体 中， 分别是
的中点.
(1)求证 ;
如何建立空间直角坐标系？
?
判断垂直的依据
如何用向量刻画两条直线垂直？
?
问题3 如图，在棱长为2的正方体 中， 分别是
的中点.
(1)求证 ;
如何建立空间直角坐标系？
?
空间直角坐标系
(1)求证 ;
以 为原点， 所在直线为 轴， 轴， 轴，
(1)求证 ;
建立如图所示的空间直角坐标系 则
以 为原点， 所在直线为 轴， 轴， 轴，
(1)求证 ;
建立如图所示的空间直角坐标系 则
以 为原点， 所在直线为 轴， 轴， 轴，
所以
(1)求证 ;
建立如图所示的空间直角坐标系 则
以 为原点， 所在直线为 轴， 轴， 轴，
又
所以
(1)求证 ;
建立如图所示的空间直角坐标系 则
以 为原点， 所在直线为 轴， 轴， 轴，
又
所以
所以
(1)求证 ;
建立如图所示的空间直角坐标系 则
以 为原点， 所在直线为 轴， 轴， 轴，
又
所以
所以
所以
(1)求证 ;
建立如图所示的空间直角坐标系 则
以 为原点， 所在直线为 轴， 轴， 轴，
又
所以
所以 ，
所以
所以
(1)求证 ;
建立如图所示的空间直角坐标系 则
以 为原点， 所在直线为 轴， 轴， 轴，
又
所以
所以 ，即 .
所以
所以
(1)求证 ;
建立如图所示的空间直角坐标系 则
以 为原点， 所在直线为 轴， 轴， 轴，
问题3 如图，在棱长为2的正方体 中， 分别是
的中点.
(2)求 与 所成角的余弦值.
向量的数量积
分析：
问题3 如图，在棱长为2的正方体 中， 分别是
的中点.
(2)求 与 所成角的余弦值.
向量的数量积
向量夹角的余弦值
分析：
问题3 如图，在棱长为2的正方体 中， 分别是
的中点.
(2)求 与 所成角的余弦值.
直线夹角的余弦值
向量的数量积
向量夹角的余弦值
分析：
问题3 如图，在棱长为2的正方体 中， 分别是
的中点.
(2)求 与 所成角的余弦值.
两条直线的夹角与两向量的夹角有区别吗？
直线夹角的余弦值
向量的数量积
向量夹角的余弦值
分析：
?
问题3 如图，在棱长为2的正方体 中， 分别是
的中点.
(2)求 与 所成角的余弦值.
有区别，取值范围不同.
两条直线的夹角与两向量的夹角有区别吗？
?
有区别，取值范围不同.
直线夹角的范围
向量夹角的范围
两条直线的夹角与两向量的夹角有区别吗？
?
有区别，取值范围不同.
当 与 所成的角为锐角或直角时：
直线 与 所成的角和向量的夹角相等.
直线夹角的范围
向量夹角的范围
两条直线的夹角与两向量的夹角有区别吗？
?
有区别，取值范围不同.
当 与 所成的角为锐角或直角时：
直线 与 所成的角和向量的夹角相等.
当 与 所成的角为钝角时：
直线 与 所成的角为向量夹角的补角.
直线夹角的范围
向量夹角的范围
两条直线的夹角与两向量的夹角有区别吗？
?
(2)求 与 所成角的余弦值.
解：因为
(2)求 与 所成角的余弦值.
所以
解：因为
(2)求 与 所成角的余弦值.
所以
解：因为
(2)求 与 所成角的余弦值.
所以
所以
解：因为
(2)求 与 所成角的余弦值.
所以
所以
所以
解：因为
(2)求 与 所成角的余弦值.
所以
所以
所以
所以 与 所成角的余弦值是
解：因为
方法提炼
空间直角坐标系
写出点坐标
方法提炼
空间直角坐标系
写出点坐标
向量坐标
方法提炼
空间直角坐标系
写出点坐标
向量运算
向量坐标
方法提炼
空间直角坐标系
写出点坐标
向量运算
特殊位置关系
几何度量问题
向量坐标
方法提炼
空间直角坐标系
写出点坐标
向量运算
特殊位置关系
几何度量问题
向量坐标
平行
垂直
长度
夹角
关注向量的夹角与直线的夹角的区别
方法提炼
空间直角坐标系
写出点坐标
向量运算
特殊位置关系
几何度量问题
向量坐标
关注向量的夹角与直线的夹角的区别
平行
垂直
长度
夹角
问题4 回顾本节课探究空间向量运算的坐标表示的过程，你学到了什么？
1 类比平面向量研究空间向量运算的坐标表示
问题4 回顾本节课探究空间向量运算的坐标表示的过程，你学到了什么？
（1）空间向量运算的坐标表示:
设
相应坐标的和（差）.
实数 乘原来向量的相应坐标.
对应坐标的乘积的和.
1 类比平面向量研究空间向量运算的坐标表示
问题4 回顾本节课探究空间向量运算的坐标表示的过程，你学到了什么？
位置关系
当 时，
1 类比平面向量研究空间向量运算的坐标表示
（2）空间向量运算坐标表示的应用:
设
问题4 回顾本节课探究空间向量运算的坐标表示的过程，你学到了什么？
设 则
1 类比平面向量研究空间向量运算的坐标表示
（2）空间向量运算坐标表示的应用:
设
度量问题
问题4 回顾本节课探究空间向量运算的坐标表示的过程，你学到了什么？
2 关注空间向量与立体几何知识间的联系
问题4 回顾本节课探究空间向量运算的坐标表示的过程，你学到了什么？
2 关注空间向量与立体几何知识间的联系
问题4 回顾本节课探究空间向量运算的坐标表示的过程，你学到了什么？
课后作业
1. 求：
（1） ；
（2） ；
（3） .
2. 且 求 的值.
3.如图，在棱长为1的正方体 中， 为 的中点，
分别在棱 上，
（1）求 的长；
（2）求 与 所成角的余弦值.
谢谢观看
祝同学们学习愉快！
问题1 有了空间向量的坐标表示，你能类比平面向量的坐标运算，得出空间向量运算的坐标表示并给出证明吗？
问题1 有了空间向量的坐标表示，你能类比平面向量的坐标运算，得出空间向量运算的坐标表示并给出证明吗？
平面向量有哪些运算？
?
加法，减法，数乘，数量积
问题1 有了空间向量的坐标表示，你能类比平面向量的坐标运算，得出空间向量运算的坐标表示并给出证明吗？
平面向量有哪些运算？
?
问题1 有了空间向量的坐标表示，你能类比平面向量的坐标运算，得出空间向量运算的坐标表示并给出证明吗？
加法，减法，数乘，数量积
这些运算的坐标表示是什么？
?
平面向量有哪些运算？
?
{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}
平面向量运算的坐标表示
空间向量运算的坐标表示
设
{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}
平面向量运算的坐标表示
空间向量运算的坐标表示
设
{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}
平面向量运算的坐标表示
空间向量运算的坐标表示
设
{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}
平面向量运算的坐标表示
空间向量运算的坐标表示
设
{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}
平面向量运算的坐标表示
空间向量运算的坐标表示
设
{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}
平面向量运算的坐标表示
空间向量运算的坐标表示
设
你能类比平面向量运算的坐标表示，猜想空间向量运算的坐标表示吗？
?
{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}
平面向量运算的坐标表示
空间向量运算的坐标表示
设
设
你能类比平面向量运算的坐标表示，猜想空间向量运算的坐标表示吗？
?
{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}
平面向量运算的坐标表示
空间向量运算的坐标表示
设
设
你能类比平面向量运算的坐标表示，猜想空间向量运算的坐标表示吗？
?
{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}
平面向量运算的坐标表示
空间向量运算的坐标表示
设
设
你能类比平面向量运算的坐标表示，猜想空间向量运算的坐标表示吗？
?
{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}
平面向量运算的坐标表示
空间向量运算的坐标表示
设
设
你能类比平面向量运算的坐标表示，猜想空间向量运算的坐标表示吗？
?
{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}
平面向量运算的坐标表示
空间向量运算的坐标表示
设
设
你能类比平面向量运算的坐标表示，猜想空间向量运算的坐标表示吗？
?
下面我们证明空间向量数量积运算的坐标表示.
下面我们证明空间向量数量积运算的坐标表示.
设 为空间的一个单位正交基底，
下面我们证明空间向量数量积运算的坐标表示.
设 为空间的一个单位正交基底，
则
下面我们证明空间向量数量积运算的坐标表示.
设 为空间的一个单位正交基底，
则
所以
下面我们证明空间向量数量积运算的坐标表示.
设 为空间的一个单位正交基底，
则
所以
下面我们证明空间向量数量积运算的坐标表示.
设 为空间的一个单位正交基底，
则
所以
因为
下面我们证明空间向量数量积运算的坐标表示.
设 为空间的一个单位正交基底，
则
所以
因为
下面我们证明空间向量数量积运算的坐标表示.
设 为空间的一个单位正交基底，
则
所以
因为
所以
{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}
平面向量运算的坐标表示
空间向量运算的坐标表示
设
设
设
{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}
平面向量运算的坐标表示
空间向量运算的坐标表示
设
设
设
设
问题2 平面向量的坐标运算可以帮助我们解决平行、垂直等位置关系以及距离等度量问题.空间向量的坐标运算是否仍然可以帮助我们解决这些问题？
如何用平面向量的坐标运算刻画平面向量的平行和垂直？
?
问题2 平面向量的坐标运算可以帮助我们解决平行、垂直等位置关系以及距离等度量问题.空间向量的坐标运算是否仍然可以帮助我们解决这些问题？
{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}
平面向量的特殊位置关系
空间向量的特殊位置关系
设
{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}
平面向量的特殊位置关系
空间向量的特殊位置关系
设
当 时，
{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}
平面向量的特殊位置关系
空间向量的特殊位置关系
设
当 时，
{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}
平面向量的特殊位置关系
空间向量的特殊位置关系
设
当 时，
{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}
平面向量的特殊位置关系
空间向量的特殊位置关系
设
设
当 时，
{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}
平面向量的特殊位置关系
空间向量的特殊位置关系
设
设
当 时，
当 时，
{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}
平面向量的特殊位置关系
空间向量的特殊位置关系
设
设
当 时，
当 时，
{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}
平面向量的特殊位置关系
空间向量的特殊位置关系
设
设
当 时，
当 时，
{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}
平面向量的特殊位置关系
空间向量的特殊位置关系
设
设
当 时，
当 时，
能否表示为 ？
?
当 时，
设
能否表示为 ？
?
当 时，
设
能否表示为 ？
至少一个不为0.
?
至少一个不为0.
当 时，
设
能否表示为 ？
?
至少一个不为0.
例如：当 与平面 平行时， .此时 无意义.
当 时，
设
能否表示为 ？
?
因此，只有 均不为0时，
当 时，
设
能否表示为 ？
?
因此，只有 均不为0时，
特殊地， 与任意向量平行.
当 时，
当 时，
设
能否表示为 ？
?
{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}
平面向量的特殊位置关系
空间向量的特殊位置关系
设
设
当 时，
当 时，
{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}
平面向量的特殊位置关系
空间向量的特殊位置关系
设
设
当 时，
当 时，
{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}
平面向量的特殊位置关系
空间向量的特殊位置关系
设
设
当 时，
当 时，
能否用空间向量的坐标表示长度和夹角？
?
{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}
平面向量的长度和夹角
空间向量的长度和夹角
设
{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}
平面向量的长度和夹角
空间向量的长度和夹角
设
{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}
平面向量的长度和夹角
空间向量的长度和夹角
设
{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}
设 则
平面向量的长度和夹角
空间向量的长度和夹角
设
{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}
设 则
平面向量的长度和夹角
空间向量的长度和夹角
设
{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}
设 则
平面向量的长度和夹角
空间向量的长度和夹角
设
设
{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}
设 则
平面向量的长度和夹角
空间向量的长度和夹角
设
设
{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}
设 则
平面向量的长度和夹角
空间向量的长度和夹角
设
设
{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}
设 则
平面向量的长度和夹角
空间向量的长度和夹角
设
设
设 则
{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}
设 则
平面向量的长度和夹角
空间向量的长度和夹角
设
设
设 则
{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}
设 则
平面向量的长度和夹角
空间向量的长度和夹角
设
设
设 则
你能证明空间两点间的距离公式吗？
?
如图，建立空间直角坐标系 ，
你能证明空间两点间的距离公式吗？
?
如图，建立空间直角坐标系 ，
设 ， 是空间中任意两点，
你能证明空间两点间的距离公式吗？
?
如图，建立空间直角坐标系 ，
设 ， 是空间中任意两点，
则
你能证明空间两点间的距离公式吗？
?
如图，建立空间直角坐标系 ，
设 ， 是空间中任意两点，
于是
则
你能证明空间两点间的距离公式吗？
?
如图，建立空间直角坐标系 ，
设 ， 是空间中任意两点，
于是
则
你能证明空间两点间的距离公式吗？
?
如图，建立空间直角坐标系 ，
设 ， 是空间中任意两点，
于是
所以
则
你能证明空间两点间的距离公式吗？
?
如图，建立空间直角坐标系 ，
设 ， 是空间中任意两点，
于是
所以
这就是空间两点间的距离公式.
则
你能证明空间两点间的距离公式吗？
?
为点 到原点 的距离.
一般到特殊
{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}
设 则
平面向量的长度和夹角
空间向量的长度和夹角
设
设
设 则
问题3 如图，在棱长为2的正方体 中， 分别是
的中点.
(1)求证 ;
如何用向量刻画两条直线垂直？
?
问题3 如图，在棱长为2的正方体 中， 分别是
的中点.
(1)求证 ;
如何用向量刻画两条直线垂直？
?
问题3 如图，在棱长为2的正方体 中， 分别是
的中点.
(1)求证 ;
如何用向量刻画两条直线垂直？
?
问题3 如图，在棱长为2的正方体 中， 分别是
的中点.
(1)求证 ;
如何用向量刻画两条直线垂直？
?
问题3 如图，在棱长为2的正方体 中， 分别是
的中点.
(1)求证 ;
判断垂直的依据
如何用向量刻画两条直线垂直？
?
问题3 如图，在棱长为2的正方体 中， 分别是
的中点.
(1)求证 ;
判断垂直的依据
如何建立空间直角坐标系？
?
如何用向量刻画两条直线垂直？
?
问题3 如图，在棱长为2的正方体 中， 分别是
的中点.
(1)求证 ;
判断垂直的依据
如何用向量刻画两条直线垂直？
?
问题3 如图，在棱长为2的正方体 中， 分别是
的中点.
(1)求证 ;
如何建立空间直角坐标系？
?
判断垂直的依据
如何用向量刻画两条直线垂直？
?
问题3 如图，在棱长为2的正方体 中， 分别是
的中点.
(1)求证 ;
如何建立空间直角坐标系？
?
空间直角坐标系
(1)求证 ;
以 为原点， 所在直线为 轴， 轴， 轴，
(1)求证 ;
建立如图所示的空间直角坐标系 则
以 为原点， 所在直线为 轴， 轴， 轴，
(1)求证 ;
建立如图所示的空间直角坐标系 则
以 为原点， 所在直线为 轴， 轴， 轴，
所以
(1)求证 ;
建立如图所示的空间直角坐标系 则
以 为原点， 所在直线为 轴， 轴， 轴，
又
所以
(1)求证 ;
建立如图所示的空间直角坐标系 则
以 为原点， 所在直线为 轴， 轴， 轴，
又
所以
所以
(1)求证 ;
建立如图所示的空间直角坐标系 则
以 为原点， 所在直线为 轴， 轴， 轴，
又
所以
所以
所以
(1)求证 ;
建立如图所示的空间直角坐标系 则
以 为原点， 所在直线为 轴， 轴， 轴，
又
所以
所以 ，
所以
所以
(1)求证 ;
建立如图所示的空间直角坐标系 则
以 为原点， 所在直线为 轴， 轴， 轴，
又
所以
所以 ，即 .
所以
所以
(1)求证 ;
建立如图所示的空间直角坐标系 则
以 为原点， 所在直线为 轴， 轴， 轴，
问题3 如图，在棱长为2的正方体 中， 分别是
的中点.
(2)求 与 所成角的余弦值.
向量的数量积
分析：
问题3 如图，在棱长为2的正方体 中， 分别是
的中点.
(2)求 与 所成角的余弦值.
向量的数量积
向量夹角的余弦值
分析：
问题3 如图，在棱长为2的正方体 中， 分别是
的中点.
(2)求 与 所成角的余弦值.
直线夹角的余弦值
向量的数量积
向量夹角的余弦值
分析：
问题3 如图，在棱长为2的正方体 中， 分别是
的中点.
(2)求 与 所成角的余弦值.
两条直线的夹角与两向量的夹角有区别吗？
直线夹角的余弦值
向量的数量积
向量夹角的余弦值
分析：
?
问题3 如图，在棱长为2的正方体 中， 分别是
的中点.
(2)求 与 所成角的余弦值.
有区别，取值范围不同.
两条直线的夹角与两向量的夹角有区别吗？
?
有区别，取值范围不同.
直线夹角的范围
向量夹角的范围
两条直线的夹角与两向量的夹角有区别吗？
?
有区别，取值范围不同.
当 与 所成的角为锐角或直角时：
直线 与 所成的角和向量的夹角相等.
直线夹角的范围
向量夹角的范围
两条直线的夹角与两向量的夹角有区别吗？
?
有区别，取值范围不同.
当 与 所成的角为锐角或直角时：
直线 与 所成的角和向量的夹角相等.
当 与 所成的角为钝角时：
直线 与 所成的角为向量夹角的补角.
直线夹角的范围
向量夹角的范围
两条直线的夹角与两向量的夹角有区别吗？
?
(2)求 与 所成角的余弦值.
解：因为
(2)求 与 所成角的余弦值.
所以
解：因为
(2)求 与 所成角的余弦值.
所以
解：因为
(2)求 与 所成角的余弦值.
所以
所以
解：因为
(2)求 与 所成角的余弦值.
所以
所以
所以
解：因为
(2)求 与 所成角的余弦值.
所以
所以
所以
所以 与 所成角的余弦值是
解：因为
方法提炼
空间直角坐标系
写出点坐标
方法提炼
空间直角坐标系
写出点坐标
向量坐标
方法提炼
空间直角坐标系
写出点坐标
向量运算
向量坐标
方法提炼
空间直角坐标系
写出点坐标
向量运算
特殊位置关系
几何度量问题
向量坐标
方法提炼
空间直角坐标系
写出点坐标
向量运算
特殊位置关系
几何度量问题
向量坐标
平行
垂直
长度
夹角
关注向量的夹角与直线的夹角的区别
方法提炼
空间直角坐标系
写出点坐标
向量运算
特殊位置关系
几何度量问题
向量坐标
关注向量的夹角与直线的夹角的区别
平行
垂直
长度
夹角
问题4 回顾本节课探究空间向量运算的坐标表示的过程，你学到了什么？
1 类比平面向量研究空间向量运算的坐标表示
问题4 回顾本节课探究空间向量运算的坐标表示的过程，你学到了什么？
（1）空间向量运算的坐标表示:
设
相应坐标的和（差）.
实数 乘原来向量的相应坐标.
对应坐标的乘积的和.
1 类比平面向量研究空间向量运算的坐标表示
问题4 回顾本节课探究空间向量运算的坐标表示的过程，你学到了什么？
位置关系
当 时，
1 类比平面向量研究空间向量运算的坐标表示
（2）空间向量运算坐标表示的应用:
设
问题4 回顾本节课探究空间向量运算的坐标表示的过程，你学到了什么？
设 则
1 类比平面向量研究空间向量运算的坐标表示
（2）空间向量运算坐标表示的应用:
设
度量问题
问题4 回顾本节课探究空间向量运算的坐标表示的过程，你学到了什么？
2 关注空间向量与立体几何知识间的联系
问题4 回顾本节课探究空间向量运算的坐标表示的过程，你学到了什么？
2 关注空间向量与立体几何知识间的联系
问题4 回顾本节课探究空间向量运算的坐标表示的过程，你学到了什么？
课后作业
1. 求：
（1） ；
（2） ；
（3） .
2. 且 求 的值.
3.如图，在棱长为1的正方体 中， 为 的中点，
分别在棱 上，
（1）求 的长；
（2）求 与 所成角的余弦值.
谢谢观看
祝同学们学习愉快！