12.3.1等腰三角形第一课时(性质)

(共29张PPT)
用一张长方形纸片，每个人的长方形的大小和形状可以不一样，按要求和步骤制作出一个三角形。
你发现了什么
探索:
1、所制作的三角形是什么形状的三角形？
3、所制作的三角形的对称轴是什么？
做一做：
2、所制作的三角形是轴对称图形吗？
动手做一做
A
C
B
△ABC是什么三角形
看一看
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.
腰和底边的夹角叫做底角.
A
C
B
腰
腰
底边
顶角
底角
底角
等腰三角形中，相等的
两边都叫做腰.
另一边叫做底边.
两腰的夹角叫做顶角.
概念就像螺丝钉——微小但非常重要！
1、等腰三角形一腰为3cm,底为4cm,则它的周长是 ；
2、等腰三角形的一边长为3cm,另一边长为4cm,则它的周长是 ；
3、等腰三角形的一边长为3cm,另一边长为8cm,则它的周长是 。
10 cm
10 cm 或 11 cm
19 cm
小试牛刀
　　 把剪出的等腰三角形ABC沿折痕对折，找出其中重合的线段和角.
重合的线段 重合的角
　
A
C
B
D
AB＝AC
BD＝CD
AD＝AD
∠B ＝ ∠C.
∠BAD ＝ ∠CAD
∠ADB ＝ ∠ADC
等腰三角形除了两腰相等以外, 你还能发现它的其他性质吗
大胆猜想
猜想与论证
等腰三角形的两个底角相等。
已知：△ABC中，AB=AC
求证：∠B= C
分析：1.如何证明两个角相等？
　　2.如何构造两个全等的三角形？
猜想
A
B
C
D
如何构造两个全等的三角形
A
B
C
则有∠1＝∠2
D
1
2
在△ABD和△ACD中
证明: 作顶角的平分线AD，
AB＝AC
∠1＝∠2
AD＝AD
（公共边）
∴ △ABD≌ △ACD
（SAS）
∴ ∠B＝∠C
（全等三角形对应角相等）
A
B
C
则有 BD＝CD
D
在△ABD和△ACD中
证明: 作△ABC 的中线AD
AB＝AC
BD＝CD
AD＝AD
（公共边）
∴ △ABD≌ △ACD
（SSS）
∴ ∠B＝∠C
（全等三角形对应角相等）
A
B
C
则有 ∠ADB＝∠ADC ＝90
D
在Rt△ABD和Rt△ACD中
证明: 作△ABC 的高线AD
AB＝AC
AD＝AD
（公共边）
∴ Rt△ABD≌Rt△ACD
（HL）
∴ ∠B＝∠C
（全等三角形对应角相等）
猜想与论证
等腰三角形的两个底角相等。
已知：△ABC中，AB=AC
求证：∠B= C
分析：1.如何证明两个角相等？
　　2.如何构造两个全等的三角形？
性质1
(简称：等边对等角)
A
B
C
D
猜想
用几何语言表示为：
在△ABC中，
∵ AC=AB（已知）
∴ ∠B=∠C (等边对等角）
⒈等腰三角形一个底角为75°,它的另外两个
角为_____ __；
⒉等腰三角形一个角为70°,它的另外两个角
为___________________；
⒊等腰三角形一个角为110°,它的另外两个角
为___________。
75°、30°
70°、40°或55°、55°
35°、35°
小试牛刀
想一想:
刚才的证明除了能得到∠B＝∠C 你还能发现什么
重合的线段 重合的角
　
A
B
D
C
AB＝AC
BD＝CD
AD＝AD
∠B ＝ ∠C.
∠BAD ＝ ∠CAD
∠ADB ＝∠ADC
=90°
等腰三角形的 “三线合一”
A
B
C
C
B
A
想一想
在上述问题中，折痕AD
D
是等腰三角形ABC的怎样的线？
线段AD的还具有怎样的性质？
D
由此你能得到什么结论？
等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。
“等腰三角形的性质2”：
线段AD是底边BC的中线
∠BAC的平分线
底边BC上的高
在△ABC中
（1）∵AB=AC，AD⊥BC，
∴∠___=∠___，____=____；
（2）∵AB=AC，AD是中线，
∴∠＿=∠＿，____⊥____；
（3）∵AB=AC，AD是角平分线，
∴____⊥____，____=____。
C
A
B
1
2
D
等腰三角形“三线合一”的性质
用符号语言表示为：
1
2
BＤ
CＤ
1
2
AD
BC
AD
BC
BＤ
CD
例1、如图，在△ABC中 ，AB=AC，点D在AC上，且 BD=BC=AD，求△ABC各角的度数。
A
B
C
D
x
⌒
2x
⌒
2x
⌒
⌒
2x
分析：
1、图中有几个等腰三角形？
（三个：△ABC、△ABD、△BCD）
2、可以得到哪些角相等？
①∠ABC= ∠C= ∠BDC
②∠A=∠ABD=∠CBD
3、若设∠A= x,你还能用含有x的式子表示哪些角？
∠ABC =∠C =∠BDC =2x
∠ABD =∠CBD =x
解：∵AB=AC，BD=BC=AD，
∴∠ABC=∠C=∠BDC，∠A=∠ABD （等边对等角)
设∠A=x °,
则∠BDC= ∠A+ ∠ABD=2x °,
从而∠ABC= ∠C= ∠BDC=2x °,
于是在△ABC中，有∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180，
解得x=36，
∴∠A=x=36°，∠ABC=∠C=2x=72°
答：△ABC个角的度数分别为36°、72°、72°.
1、已知:△ABC 中,AB＝AC,D 是
BC 边上的中点，DF⊥AC 于F ,
DE ⊥ AB 于E . 求证：DE＝DF.
A
B
C
D
E
F
分析：证明两条线段相等的
思路是什么？
证明: ∵DE⊥AB，DF⊥AC（已知）
∴∠BED＝∠CFD
又∵D是BC中点（已知）
∴BD＝DC
∵AB＝AC（已知）
∴∠B＝∠C（等边对等角）
在△DBE与△DCF中
∠DEB＝∠DFC（已证）
∠B＝∠C（已证）
BD＝DC（已证）
∴ △BDE ≌ △CDF（AAS）
∴DE＝DF
已知:△ABC 中,AB＝AC,D 是BC 边上的中点，DF⊥AC 于F，DE ⊥ AB 于E .
求证：DE＝DF.
A
B
C
D
E
F
思考：还有其它证明思路吗？
方法二：连结AD .
∵AB＝AC，BD＝DC（已知）
∴AD是∠BAC 的平分线（等腰三角形三线合一）
又∵DE⊥AB DF⊥AC
∴ DE= DF（角平分线上的点到这个角的两边距离相等）
知识的拓展
（1）若上题中DE、DF 分别是
AB、AC上的中线， DE =DF 还成
立吗？
（2）若DE、DF 分别是∠ADB、∠ADC 的平分线，DE =DF 还成立吗？
由此你能得出什么结论？
A
B
C
D
E
F
A
B
C
D
E
F
1、本节主要教学知识是等腰三角形的两个性质。
等腰三角形的性质
内容
几何语言
性质1
A
B
C
性质2
A
B
C
等腰三角形的
两个底角相等
等腰三角形的顶角
平分线、底边上的
中线底边上的高
互相重合。
∵AB＝AC（已知）
∴∠B＝∠C （等边对等角）
①∵AB＝AC，∠1＝∠2（已知）
∴BD＝DC，AD⊥BC（三线合一）
② ∵AB＝AC，BD＝DC（已知）
∴ ∠1＝∠2， AD⊥BC（三线合一）
③∵ AB＝AC， AD⊥BC （已知）
∴ ∠1＝∠2， BD＝DC（三线合一）
D
1
2
2、本节课学习了数学思想及方法:分类讨论和一题多解，方程思想
3、证明线段（或角）相等的方法：
（1）根据三角形全等；（2）根据角的平分线性质定理及其逆命题；
（3）等边对等角。
谈谈你的收获！
课外作业：
一、P51
练习 12.3 第2，3题
二、预习新课