江西省南昌市八一中学、洪都中学、十七中三校2021届高三上学期期末联考数学（理）试题 Word版含答案解析

2020-2021学年度第一学期高三期末联考理科数学试卷
一?选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.
1．若集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．设复数(其中，为虚数单位)，则“”是“为纯虚数”的（ ）
A．充要条件 B．既不充分又不必要条件 C．充分不必要条件 D．必要不充分条件
3．设等差数列的前项和为，若，则 （ ）
A．4 B．6 C．10 D．12
4．已知，且，则向量与夹角的大小为（ ）
A． B． C． D．
5．2020年是“干支纪年法”中的庚子年.“干支纪年法”是中国历法上自古以来使用的纪年方法，甲、乙、丙、 丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被称为“十天干”，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥叫做“十二地支”.“天干”以“甲”字开始，“地支”以“子”字开始，两者按干支顺序相配，组成了干支纪年法，其相配顺序为：甲子、乙丑、丙寅、…癸酉，甲戌、乙亥、丙子、…癸未，甲申、乙酉、丙戌、…癸巳，….共得到60个组合，周而复始，循环记录.今年国庆节是小明10岁生日，那么他80岁生日时的年份是“干支纪年法”中的（ ）
A．己亥年 B．戊戌年 C．庚戌年 D．辛丑年
6．在(x2＋3x＋2)5的展开式中x的系数为（ ）
A．140 B．240 C．360 D．800
7．已知定义在R上的奇函数满足，且当时，
，则的值为（ ）
A．2 B． C． D．
8．若，，则（ ）
A． B．0
C． D．或0
9．某三棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的表面积为（ ）
A． B．
C． D．
10．已知函数，其中，且，若对一切恒成立，则（ ）.
A． B．
C．是偶函数 D．是奇函数
11．已知双曲线，过的右焦点作垂直于渐近线的直线交两渐近线于、两点、两点分别在一、四象限，若，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
12．已知函数，，若，，则 的最小值为（ ）．
A． B． C． D．
二?填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．某程序框图如图所示，若运行该程序后输出_______.
14．4位顾客将各自的帽子随意放在衣帽架上，然后，每人随意取走一顶帽子，则4人取的都不是自己的帽子有________.种取法
15．在某地区某高传染性病毒流行期间，为了建立指标显示疫情已受控制，以便向该地区居民显示可以过正常生活，有公共卫生专家建议的指标是“连续7天每天新增感染人数不超过5人”，根据连续7天的新增病例数计算，下列各个选项中，一定符合上述指标的是_______
①平均数； ②标准差； ③平均数且标准差；
④平均数且极差小于或等于2； ⑤众数等于1且极差小于或等于4.
16．如图所示，在三棱锥中，，，，则三棱锥的外接球的表面积为______.
三?解答题：本大题共70分.解答应写出文字说明?证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22?23题为选考题，考生根据要求作答.
17．已知各项均为正数的数列的前n项和满足，且.
（1）求的通项公式：
（2）设数列满足，并记为的前n项和，求.
18．如图，已知三棱台中，平面平面ABC，是正三角形，侧面是等腰梯形，，E为AC的中点.
（1）求证：；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
19．2020年国庆节期间，我国高速公路继续执行“节假日高速公路免费政策”.某路桥公司为掌握国庆节期间车辆出行的高峰情况，在某高速公路收费站点记录了3日上午9:20~10:40这一时间段内通过的车辆数，统计发现这一时间段内共有600辆车通过该收费站点，它们通过该收费站点的时刻的频率分布直方图如下图所示，其中时间段9:20~9:40记作、9:40~10:00记作，10:00~10:20记作，10:20~10:40记作，例如：10点04分，记作时刻64.
（Ⅰ）估计这600辆车在9:20~10:40时间内通过该收费站点的时刻的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；
（Ⅱ）为了对数据进行分析，现采用分层抽样的方法从这600辆车中抽取10辆，再从这10辆车随机抽取4辆，设抽到的4辆车中，在9:20~10:00之间通过的车辆数为X，求X的分布列；
（Ⅲ）根据大数据分析，车辆在每天通过该收费站点的时刻T服从正态分布，其中可用3日数据中的600辆车在9:20~10:40之间通过该收费站点的时刻的平均值近似代替，用样本的方差近似代替（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）.假如4日全天共有1000辆车通过该收费站点，估计在9:46~10:40之间通过的车辆数（结果保留到整数）.
附：若随机变量T服从正态分布，则，，.
20．椭圆过点，其上?下顶点分别为点A，B，且直线，的斜率之积为.
（1）求椭圆C的方程；
（2）过椭圆C的左顶点作两条直线，分别交椭圆C于另一点S，T.若，求证：直线过定点.
21．已知函数，．
（1）讨论函数的单调性；
（2）当时，不等式恒成立，求的取值范围．
选做题
22．[选修4-4：坐标系与参数方程]
已知在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）曲线的参数方程为（为参数），以为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系.
（1）求直线和曲线的极坐标方程；
（2）若曲线：分别交直线和曲线于点，，求.
23．[选修4-5；不等式选讲]
已知函数，，且的解集为.
（1）求的值；
（2）若，，是正实数，且，求证：.
高三理科数学参考答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 C D C A C B D B A B A C
二、填空题
13. 14.9 15. (4) (5) 16.
三、解答题
17．（1）由，结合，因此
由
得，
又，得
从而是首项为2公差为3的等差数列，
故的通项公式为.
（2）
18．（1）证明：分别取、的中点、，连接、、，
为正三角形，
，
平面平面，平面平面，平面，
平面，
同理可得，平面，
，
、、、四点共面．
等腰梯形中，、分别为、的中点，
，
又，，、平面，
平面，
平面，
．
（2）解：由（1）知，平面，
平面，
，
，，两两垂直，
故以为原点，、、所在的直线分别为、、轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，0，，，2，，，1，，，，，，，，
，2，，，2，，，，，
设平面的法向量为，，，则，即，
令，则，，，，，
设直线与平面所成角为，
则，，
故直线与平面所成角的正弦值为．
19．（Ⅰ）这600辆车在9:20~10:40时间段内通过该收费点的时刻的平均值为：
，即10∶04
（Ⅱ）由频率分布直方图和分层抽样的方法可知，抽取的10辆车中，在10:00前通过的车辆数就是位于时间分组中在20，60这一区间内的车辆数，
即，
所以X的可能的取值为0，1，2，3，4.
所以，，，
，.
所以X的分布列为：
X 0 1 2 3 4
P




（Ⅲ）由（1）得，
所以，
估计在9:46~10:40之间通过的车辆数也就是在46，100通过的车辆数，
由，得
，
所以估计在在9:46~10:40之间通过的车辆数为.
20．（1）解：∵，，
∴，解得，
将，都代入椭圆方程，得，
∴椭圆方程为；
（2）证明：设，，直线的方程为.
将代入椭圆方程，整理得，
，，
由，得.
整理，得，
即.
化简，得，
即.
当时，直线的方程为，恒过左顶点，不合题意
当时，直线的方程为，恒过点.
直线过定点.
21．解：（1）因为，．
所以．
①当时，令，得．
在上单调递减；
令，得，
在上单调递增．
②当时，令，得．
在上单调递减；
令，得或．
在和上单调递增．
③当时，在时恒成立，
在单调递增．
④当时，令，得．
在上单调递减；
令，得或．
在和上单调递增．
综上所述：
当时，在上单调递减，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在和上单调递增；
当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在和上单调递增．
（2）不等式，
等价于．
时，．
设函数，则．
当时，，此时单调递减；
当时，，此时单调递增．
，
．
综上，的取值范围为．
22．（1）直线的参数方程为（为参数），转换为直角坐标方程为：
∴直线的极坐标方程为：
∵曲线的参数方程为 （为参数），转换为直角坐标方程为，整理得：
∴曲线的极坐标方程为：
（2）曲线：分别交直线和曲线于点，，
所以，解得 ．
同理，解得，
所以 .
23．解：（1）因为，
所以等价于，
由有解，得，且解集为.
因为的解集为.
因此.
（2）证明：将（1）中所得带入可知知：，
因为，，为正实数，
方法一：所以由柯西不等式得：
当且仅当时，等号成立.
因此成立..
方法二：
当且仅当时，等号成立.
因此成立..
理科数学单选填空详解
1．C
解：，
，
故，
故选：C.
2．D
若复数是纯虚数，则，，
则不能证得为纯虚数，为纯虚数可以证得，
故“”是“为纯虚数”的必要非充分条件，
故选：D.
3．C
由题意，，，所以，故选C．
4．A
因为,所以，
又因为，，
，
因为，
所以向量与的夹角的大小为.
故选：A
5．C
解：由于一个甲子是60周年，
故小明80岁生日时和20岁生日的“干支纪年法”的年份一样，
故只需在10岁的基础上再向后推算10即可，
由于“天干”以10为周期，故向后推算10后还是“庚”，
“地支”以12为周期， 故向后推算10后还是“戌”，
故他80岁生日时的年份是“干支纪年法”中的庚戌年.
故选：C.
6．B
因为(x2＋3x＋2)5＝(x＋1)5(x＋2)5，
所以(x＋1)5的展开式中x的系数为，常数项为1，
(x＋2)5的展开式中x的系数为，常数项为，
所以原式中x的系数为.
故选：B
7．D
由题意，函数满足，所以函数的周期为，
又由当时，，
因为函数奇函数，所以，所以，
则，，
令，可得，可得，
所以
.
故选：D
8．B
由，可得，
即，
因为，所以，所以，
解得，所以，所以，所以，
又，所以，
所以.
9．A
由三视图可知三棱锥为如图所示，
在△中,,；
在△中,,；
在△中,,；
在△中,,；
故表面积为.
10．B
由知且，
利用辅助角公式可得，其中，
又对一切恒成立，知是的最值，
所以，
即，所以，即，
所以，，可得，
所以，
对于选项A：，
，又因为，则，
当时，，当时，，故选项A不正确；
对于选项B：
，故选项B正确；
对于选项C：是奇函数，故选项C不正确；
对于选项D：是偶函数，故选项D不正确，
故选：B
11．A
解：由题意知：双曲线的右焦点，渐近线方程为，
即，
如下图所示:
由点到直线距离公式可知：，
又，
，
，
即，
设，
由双曲线对称性可知，
而，，
由正切二倍角公式可知：，
即，
化简可得：，
即，
由双曲线离心率公式可知：.
故选：A.
12．C
由题意，，得，
∴，即，
又，得
∵在上单调递增，
∴综上知：，
∴，
令，，则
∴，得；，得；
故在上单调递减，在上单调递增.
∴，
故选：C
13．
输入，，
第一次循环：，；
第二次循环：，；
第三次循环：，；
第四次循环：，，
此时，输出，
故答案为：.
14．9
4人拿的都不是自己的帽子共有种，
15．（4）（5）
①错，举反例：；其平均数，但不符合上述指标；
②错，举反例：；其标准差，但不符合上述指标；
③错，举反例：；其平均数且标准差，但不符合上述指标；
④对，若极差小于，符合上述指标；
若极差小于或等于，有可能⑴；⑵；⑶；⑷；⑸，
在平均数的条件下，只有⑴⑵⑶成立，符合上述指标；
⑤对，在众数等于且极差小于或等于，则最大数不超过，符合指标，所以选⑷⑸.
16．
由题意知：在中，根据余弦定理有：
，，，
∴中有，即为等边三角形，若为中点，连接，可得，而，则在中有，
∴，又且，即面，又由面知：面面，
∴三棱锥的外接球球心：在中，过三等份点作的垂线与的垂直平分线的交点即为球心，所以令外接球半径为R，，则：
，解得，所以由球的表面积，
故答案为：.