江西省南昌市八一中学、洪都中学、十七中三校2021届高三上学期期末联考数学（文）试题 Word版含答案

2020-2021学年度第一学期高三期末联考文科数学试卷
一?选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.
1．若集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．设复数(其中，为虚数单位)，则“”是“为纯虚数”的（ ）
A．充要条件 B．既不充分又不必要条件 C．充分不必要条件 D．必要不充分条件
3．设等差数列的前项和为，若，则 （ ）
A．4 B．6 C．10 D．12
4．已知，且，则向量与夹角的大小为（ ）
A． B． C． D．
5．函数，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
6.若变量，满足约束条件则目标函数的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．
7．若，则（ ）
A． B． C． D．
8．已知是面积为的等边三角形，且其顶点都在球的球面上，若球的体积为，则到平面的距离为（ ）
A． B． C．1 D．
9．某三棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的表面积为（ ）
A． B．
C． D．
10．已知抛物线上一点P，直线，过点P作，垂足为A，圆上有一动点N，则最小值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
11．已知奇函数定义域为，且为偶函数，若，则（ ）
A． B． C． D．0
12．已知双曲线，过的右焦点作垂直于渐近线的直线交两渐近线于、两点、两点分别在一、四象限，若，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
二?填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．某程序框图如图所示，若运行该程序后输出_______.
14．在中，角，，的对边分别是，，，若，，则__________．
15．在某地区某高传染性病毒流行期间，为了建立指标显示疫情已受控制，以便向该地区居民显示可以过正常生活，有公共卫生专家建议的指标是“连续7天每天新增感染人数不超过5人”，根据连续7天的新增病例数计算，下列各个选项中，一定符合上述指标的是_______
①平均数； ②标准差； ③平均数且标准差；
④平均数且极差小于或等于2； ⑤众数等于1且极差小于或等于4.
16．已知三棱锥中，平面平面，，则三棱锥的外接球的大圆面积为________．
三?解答题：本大题共70分.解答应写出文字说明?证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22?23题为选考题，考生根据要求作答.
17．已知各项均为正数的数列的前n项和满足，且.
（1）求的通项公式：
（2）设数列满足，并记为的前n项和，求.
18．随着支付宝和微信支付的普及，“扫一扫”已经成了人们的日常，人人都说现在出门不用带钱包，有部手机可以走遍中国.移动支付如今成了我们生活中不可缺少的一部分了，在某程度上还大大的促进了消费者的消费欲望，带动了经济的发展.某校高三年级班主任对该班50名同学对移动支付是否关注进行了问卷调查，并对参与调查的同学的性别以及意见进行了分类，得到的数据如下表所示：
男 女 合计
对移动支付关注 24 12 36
对移动支付不关注 4 10 14
合计 28 22 50
（1）如果随机调查这个班的一名学生，那么抽到对移动支付不关注的男生的概率是多少？
（2）现按照分层抽样从对移动支付关注的同学中抽取6人，再从6人中随机抽取2人，求2人中至少有1人是女生的概率.
（3）根据表中的数据，能否有的把握认为消费者对移动支付的态度与性别有关系？
参考公式：.
临界值表：
0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
19．如图，在四棱锥中，底面直角梯形，∥CD，，平面，是棱上的一点.
（1）证明：平面平面；
（2）已经，，若分别是的中点，求点到平面的距离.
20．椭圆过点，其上?下顶点分别为点A，B，且直线，的斜率之积为.
（1）求椭圆C的方程；
（2）过椭圆C的左顶点作两条直线，分别交椭圆C于另一点S，T.若，求证：直线过定点.
21．已知（
（1）当a＝0时，求f（x）的极值；
（2）当a＞0时，讨论f（x）的单调性；
（3）若对任意的a∈（2, 3），x?1, x2∈[1, 3]，恒有（m－ln3）a－2ln3＞|f（x1）－f（x?2）|成立，求实数m的取值范围.

选做题
22．[选修4-4：坐标系与参数方程]
已知在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）曲线的参数方程为（为参数），以为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系.
（1）求直线和曲线的极坐标方程；
（2）若曲线：分别交直线和曲线于点，，求.
23．[选修4-5；不等式选讲]
已知函数，，且的解集为.
（1）求的值；
（2）若，，是正实数，且，求证：.
高三上学期期末联考数学（文）参考答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 C D C A A C B C A B B A
二、填空题
13. 14. 15. (4) (5) 16.
三、解答题
17．（1）由，结合，因此
由
得，
又，得
从而是首项为2公差为3的等差数列，
故的通项公式为.
（2）
18．解 (1)由题知:对移动支付不关注的男生有4人,总数50人,所以.
(2)依题意，分层抽样从对移动支付关注的同学中抽取6人,男生应抽取4人,记为 女生应抽取2人,记为 ；从这6人中随机抽取2人，所有的情况为： 共15种,其中“至少有一人是女生”的情况有9中,记事件A,
所以“2人中至少有1人是女生的概率” .
(3)由题意可知,故有97.5%的把握认为消费者对移动支付的态度与性别有关系.
19．解 (1)证明平面平面,所以,又所以平面,又平面,所以平面平面.
(2)连接,,在中,可得,则在中,可得,在直角梯形中,由已知可求得.
,.
分别是的中点,,
在等腰中,可求
到平面的距离为,到平面的距离为
设点到平面的距离为
, .
20．（1）解：∵，，
∴，解得，
将，都代入椭圆方程，得，
∴椭圆方程为；
（2）证明：设，，直线的方程为.
将代入椭圆方程，整理得，
，，
由，得.
整理，得，
即.
化简，得，
即.
当时，直线的方程为，恒过左顶点，不合题意
当时，直线的方程为，恒过点.
直线过定点.
21．解（1）当时，
由,解得，可知在上是增函数，在上是减函数.
∴的极大值为，无极小值.
①当时，在和上是增函数，在上是减函数；
②当时，在上是增函数；
③当时，在和上是增函数，在上是减函数
（3）当时，由（2）可知在上是增函数，
∴.
由对任意的a∈（2, 3），x1, x2∈[1, 3]恒成立，
∴
即对任意恒成立，
即对任意恒成立，
由于当时，，∴.
22．（1）直线的参数方程为（为参数），转换为直角坐标方程为：
∴直线的极坐标方程为：
∵曲线的参数方程为 （为参数），转换为直角坐标方程为，整理得：
∴曲线的极坐标方程为：
（2）曲线：分别交直线和曲线于点，，
所以，解得 ．
同理，解得，
所以 .
23．解：（1）因为，
所以等价于，
由有解，得，且解集为.
因为的解集为.
因此.
（2）证明：将（1）中所得带入可知知：，
因为，，为正实数，
方法一：所以由柯西不等式得：
当且仅当时，等号成立.
因此成立..
方法二：
当且仅当时，等号成立.
因此成立..
单选填空详解
1．C
解：，
，
故，
故选：C.
2．D
若复数是纯虚数，则，，
则不能证得为纯虚数，为纯虚数可以证得，
故“”是“为纯虚数”的必要非充分条件，
故选：D.
3．C
由题意，，，所以，故选C．
4．A
因为,所以，
又因为，，
，
因为，
所以向量与的夹角的大小为.
故选：A
5．A
由，知或
∴或，解得或∴
故选:A
6．C
画出可行域，向上平移基准直线,可得最优解为，
由此求得目标函数的最小值为，

故选:C．
7．B
=.
故选：B
8．C
由题意可知图形如图：是面积为的等边三角形，可得，
∴，可得：，
球的体积，解得，所以到平面的距离为：.
故选：C.
9．A
由三视图可知三棱锥为如图所示，
在△中,,；
在△中,,；
在△中,,；
在△中,,；
故表面积为.
10．B
设抛物线的焦点为，则，因为直线为抛物线的准线，所以，
所以，当且仅当为线段与圆的交点时，等号成立.
故选：B.
11. B
为偶函数，的图象关于直线对称,
，
为上的奇函数，，，
，
，即是周期为8的周期函数，
，，，
，，
，
,
故选B
12．A
解：由题意知：双曲线的右焦点，渐近线方程为，
即，
如下图所示:
由点到直线距离公式可知：，
又，
，
，
即，
设，
由双曲线对称性可知，
而，，
由正切二倍角公式可知：，
即，
化简可得：，
即，
由双曲线离心率公式可知：.
故选：A.
13．
输入，，
第一次循环：，；
第二次循环：，；
第三次循环：，；
第四次循环：，，
此时，输出，
故答案为：.
14．由题意可得，，由正弦定理得，c=2b，
又，则
由余弦定理可得：
故答案为
15．（4）（5）
①错，举反例：；其平均数，但不符合上述指标；
②错，举反例：；其标准差，但不符合上述指标；
③错，举反例：；其平均数且标准差，但不符合上述指标；
④对，若极差小于，符合上述指标；
若极差小于或等于，有可能⑴；⑵；⑶；⑷；⑸，
在平均数的条件下，只有⑴⑵⑶成立，符合上述指标；
⑤对，在众数等于且极差小于或等于，则最大数不超过，符合指标，所以选⑷⑸.
16．解：如下图所示，设的中点为，，连结，因为，所以，又平面平面，所以平面，又因为是等腰直角三角形，所为的外心，，所以球心一定在直线上，，所以球心在线段的延长线上，设，则三棱锥外接球半径，即，解得，所以，所以三棱锥的外接球的大圆面积.