教学过程设计 师生活动
第十五章 整式的乘法与因式分解§15.2.2 完全平方公式 海七中东校初二数学:王小英教学目标 (一)教学知识点 1.完全平方公式的推导及其应用. 2.完全平方公式的几何解释. (二)能力目标 1.经历探索完全平方公式的过程,进一步发展符号感和推理能力. 2.重视学生对算理的理解,有意识地培养学生的思维条理性和表达能力. (三)情感与价值观要求 在灵活应用公式的过程中激发学生学习数学的兴趣,培养创新能力和探索精神. 教学重点 完全平方公式的推导过程、结构特点、几何解释,灵活应用. 教学难点 理解完全平方公式的结构特征并能灵活应用公式进行计算. 教学方法 自主探索法 有了平方差公式的学习基础,学生可以在教师引导下自主探索完全平方公式,最后达到灵活、准确应用公式的目的. 教学过程:一.导入新课 [师]能不能将(a+b)2转化为我们学过的知识去解决呢? [生]可以.我们知道a2=a·a,所以(a+b)2=(a+b)(a+b),这样就转化成多项式与多项式的乘积了. [师]像研究平方差公式一样,我们探究一下(a+b)2的运算结果有什么规律. (出示投影片) 计算下列各式,你能发现什么规律? (1)(p+1)2=(p+1)(p+1)=_______; (2)(m+2)2=_______; (3)(p-1)2=(p-1)(p-1)=________; (4)(m-2)2=________; (5)(a+b)2=________;(6)(a-b)2=________. [生甲](1)(p+1)2=(p+1)(p+1)=p2+p+p+1=p2+2p+1 (2)(m+2)2=(m+2)(m+2)=m2+2m+m·2+2×2=m2+4m+4 (3)(p-1)2=(p-1)(p-1)=p2+p·(-1)+(-1)·p+(-1)×(-1)=p2-2p+1 (4)(m-2)2=(m-2)(m-2)=m2+m·(-2)+(-2)·m+(-2)×(-2)=m2-4m+4 (5)(a+b)2=(a+b)(a+b)=a2+ab+ba+b2=a2+2ab+b2 (6)(a-b)2=(a-b)(a-b)=a2-ab-ab+b2=a2-2ab+b2 [生乙]我还发现(1)结果中的2p=2·p·1,(2)结果中4m=2·m·2,(3)、(4)与(1)、(2)比较只有一次项有符号之差,(5)、(6)更具有一般性。 [师]大家分析得很好.可以用语言叙述吗? [生]两数和(或差)的平方等于这两数的平方和再加(或减)它们的积的2倍. [生]它是一个完全平方的形式,能不能叫完全平方公式呢? [师]很有道理.它和平方差公式一样,使整式运算简便易行.于是我们得到完全平方公式: 文字叙述:两数和(或差)的平方,等于它们的平方和,加(或减)它们的积的2倍. 符号叙述:(a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b2 其实我们还可以从几何角度去解释完全平方差公式. (出示投影片)你能根据图(1)和图(2)中的面积说明完全平方公式吗? [生甲]先看图(1),可以看出大正方形的边长是a+b. [生乙]还可以看出大正方形是由两个小正方形和两个矩形组成,所以大正方形的面积等于这四个图形的面积之和. [生丙]阴影部分的正方形边长是a,所以它的面积是a2;另一个小正方形的边长是b,所以它的面积是b2;另外两个矩形的长都是a,宽都是b,所以每个矩形的面积都是ab;大正方形的边长是a+b,其面积是(a+b)2.于是就可以得出:(a+b)2=a2+ab+b2.这正好符合完全平方公式. [生丁]那么,我们可以用完全相同的方法来研究图(2)的几何意义了. 如图(2)中,大正方形的边长是a,它的面积是a2;矩形DCGE与矩形BCHF是全等图形,长都是a,宽都是b,所以它们的面积都是a·b;正方形HCGM的边长是b,其面积就是b2;正方形AFME的边长是(a-b),所以它的面积是(a-b)2.从图中可以看出正方形AEMF的面积等于正方形ABCD的面积减去两个矩形DCGE和BCHF的面积再加上正方形HCGM的面积.也就是:(a-b)2=a2-2ab+b2.这也正好符合完全平方公式. 应用举例: 出示投影片: [例1]应用完全平方公式计算: (1)(4m+n)2 (2)(y-)2 (3)(-a-b)2 (4)(b-a)2 [例2]运用完全平方公式计算: (1)1022 (2)992 分析:利用完全平方公式计算,第一步先选择公式;第二步准确代入公式;第三步化简. [例1]解: (1)(4m+n)2=(4m)2+2·4m·n+n2 (a+b)2=a2+2·a·b+b2 =16m2+8mn+n2 (2)方法一: (y-)2=y2-2·y·+()2 (a-b)2=a2-2·a·b+b2 =y2-y+ 方法二:(y-)2 =[y+(-)]2=y2+2·y·(-)+(-)2 (a+b)2=a2+2·a·b+b2 =y2-y+ (3)(-a-b)2=(-a)2-2·(-a)·b+b2=a2+2ab+b2 (4)(b-a)2=b2-2ba+a2=a2-2ab+b2 从(3)、(4)的计算可以发现: (a+b)2=(-a-b)2,(a-b)2=(b-a)2 [例2]解:(1)1022=(100+2)2 =1002+2×100×2+22 =10000+400+4 =10404. (2)992=(100-1)2 =1002-2×100×1+12 =10000-200+1 =9801. [师]请同学们总结完全平方公式的结构特征. [生]公式的左边是一个二项式的完全平方;右边是三项,其中有两项是左边二项式中每一项的平方.而另一项是左边二项式中两项乘积的2倍. [师]说得很好,我们还要正确理解公式中字母的广泛含义:它可以是数字、字母或其他代数式,只要符合公式的结构特征,就可以运用这一公式.随堂练习 课本P181练习1、2 课堂小结(略) 课后作业 检测:1 (2x+3y)2=2 (3x-2y)2=3 (3m-n)2+(2m+n)(2m-n),其中m=2,n=-14 (3xy3)2-(x-3y)2=教学反思:运用学生已有知识引入新课的教学,让学生在自主研究和探索的过程中获取新知,把被动接受变成主动探索。但在实施的过程中有许多不足之处。在讲解完全平方公式特征时,鼓励孩子说出它的特征,尽可能运用教学手段调动孩子参与到学习中来的积极性,让他们主动发现问题的答案,比老师代替学生叙述要好得多,要多组织活动,让课堂的气氛活跃起来,这对教学效果也是有利的。习题设置的难度应适中,驾驭课堂的能力较弱,要改进。学生在课堂中出现的问题教师应及时且适度的给予指出并纠正。同一数学问题可以用不同的方法来解决,是可取的,在以后讲课时要注意改掉不足之处,多听课,汲取其他教师的优点,争取早日成为一名合格的,值得领导和家长信赖的人民教师。 说课材料教材的地位与作用完全平方公式是初中代数的重要组成部分,是学生在掌握单项式乘法,多项式乘法及平方差公式的拓展,对以后学习因式分解,解二元一次方程,配方法,勾股定理及图形面积的计算都有举足轻重的作用。本节安排两课时,这次说课是第一课时。说教法:由本节课实际我采用启发引导,合作交流开展教学。引导学生自主的进行观察,合作,总结规律。说学法:引导学生进行积极思维,鼓励学生合作学习让每个学生都动脑动手,归纳运算法则,培养学生学习的主动性和积极性。(三)导入新课,讲授新知。 对于,可应用多项式乘以多项式法则进行。经过计算去观察、交流、合作,总结此类多项式乘法计算的结果的特征对于书本上的数形结合,应引导学生去思考,并学会用几何背景力,让学生通过用式子表示图形面积的运算而领悟数形结合的数学思想。通过完全平方公式的几何意义进一步理解公式,便于应用公式进行计算。由学生模仿公式完成(2)、(4)考虑可用几种方法完成此题,加强对公式的理解(3)我们可用差的完全平方公式做题,为了避免出行符号的错误,我们先解决符号,可用积的乘方先变符号,这一点要向学正说清楚。例2是对公式的应用,引导孩子如何进行计算,如何计算更简单对于本节课学习安排了一个小检测,一方面检验学生的学习情况,另一方面检验自己的教学成果,以便于查缺补漏。