1.1.3 等腰三角形(知识清单+经典例题+夯实基础+提优特训+中考链接)

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名称 1.1.3 等腰三角形(知识清单+经典例题+夯实基础+提优特训+中考链接)
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资源类型 试卷
版本资源 北师大版
科目 数学
更新时间 2021-01-29 08:27:11

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北师大版八年级数学下册第1章三角形的证明
1.1
等腰三角形
第3课时
等腰三角形3
【知识清单】
等腰三角形的判定
1.定理:有两个角相等的三角形是等腰三角形(简写成“等角对等边”。)
2.
反证法:先假设命题的结论不成立,然后推导出
与定义、公理、已证定理或已知条
件相矛盾的结果,从而证明命题的结论一定成立,这种证明方法称为反证法
.
【经典例题】
例题1、如图,在△ABC中,点D、E分别在边AC、AB上,BD与CE交于点O,给出下列三个条件:①∠EBO=∠DCO;②BE=CD;③BO=CO.
(1)上述三个条件中,由哪两个条件可以判定△ABC是等腰三角形?(用序号写出所有成立的情形);
(2)请选择(1)中的一种情形,写出证明过程.
【考点】全等三角形的判定与性质;等腰三角形的判定.
【分析】(1)由①②;①③.两个条件可以判定△ABC是等腰三角形,
(2)先求出∠ABC=∠ACB,即可证明△ABC是等腰三角形.
【解答】(1)①②;①③.
(2)选①③证明如下,
∵OB=OC,
∴∠OBC=∠OCB,
∵∠EBO=∠DCO,
∴∠EBO+∠OBC=∠DCO+∠OCB,
即∠ABC=∠ACB,
∴△ABC是等腰三角形.
【点评】本题主要考查了等腰三角形的判定,解题的关键是找出相等的角求∠ABC=∠ACB.
例题2、用反证法证明:等腰三角形的底角都是锐角.
已知:△ABC中,AB=AC,求证:∠B、∠C都是锐角.
【考点】?反证法.
【分析】首先假设结论“∠B、∠C都是锐角”不成立,即它的反面“∠B,∠C不都是锐角”成立,然后从这个假设出发进行推理,设法推出矛盾.
【解答】证明:假设∠B、∠C不都是锐角,
  
∵AB=AC,
  
∴∠B=∠C,则∠B、∠C均为直角或均为钝角,
  
∴∠B+∠C≥90°+90°=180°,
  
∴∠A+∠B+∠C>180°,与三角形内角和定理矛盾,
  
∴等腰三角形的底角都是锐角.
  【点评】 评注:①用反证法证明有关问题时,结论的反面要找得准确恰当,如:本例中结论“∠B、∠C都是锐角”的反面不应为“∠B、∠C都不是锐角”,而应为“∠B、∠C不都是锐角”.它有多种含义:①∠B是锐角,∠C不是锐角;②∠C是锐角,∠B不是锐角;③∠B与∠C都不是锐角.
  ②一般地“A且B”的反面应为非“A且B”,即“非A或非B”.
【夯实基础】
1、在△ABC中,已知∠A=62°,∠C=56°,则△ABC是(
).
A.等边三角形
B.等腰三角形
C.钝角三角形
D.
直角三角形
2、如图,一艘海轮位于灯塔P的南偏西65°方向的A处,它以每小时36海里的速度向正北方向航行,1.5小时后到达位于灯塔P的北偏东50°的B处,则B处与灯塔P的距离为(  )
A.
48海里
B.52海里
C.
54海里
D.
64海里
3、已知等腰三角形两角的差为42°,则等腰三角形顶角的度数为(
)
A.32°
B.88°
C.42°或98°
D.32°或88°
4、下列命题:①等腰三角形的高、中线、角平分线三线合一;②等腰三角形一腰上的高与底边的夹角度数等于这个三角形顶角度数的一半;③等腰三角形一定是锐角三角形;④在同一个三角形中,等角对等边.其中真命题的个数是(
)
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
5、如图,∠B=43°,∠ACD=137°,则△ABC是
等腰
三角形.
6、如图,点D在BC上,∠1=∠2,BE=CE,若∠BAD=58°,则∠CAD=
度.
7、在△ABC中,AB=AC,BD是腰AC上的高,∠1与∠2的关系是
.
8、如图,在△ABC中,点D是边BC上一点,已知AB=AD=5cm,
BD=6
cm,∠ADB=2∠C,
求△ABC的面积.
9、如图分别以△ABC的边AB、AC作等边△ABD,△ACE,连接DC,BE.
求证:(1)DC=BE;(2)
∠BPD的度数.
【提优特训】
10、如图,AE平分∠DAC,AE∥BC,则△ABC是(
)
A.等边三角形
B.等腰直角三角形
C.等腰三角形
D.直角三角形
11、用反证法证明命题“两条直线相交有且只有一个交点.”证明的第一步是(
)
A.假设两条直线相交只有一个交点
B.假设有两条直线,相交有不止一个交点.
C.假设两条直线相交没有交点
D.假设两条直线相交有且只有一个交点
12、等腰三角形一腰上的高与腰的夹角为50°,则这个等腰三角形的顶角为(
)
A.40°
B.140°
C.
40°或140°
D.无法确定
13、如图,在△ABC中,已知∠ABC和∠ACB的平分线相交于F,过F作DE∥BC,交AB于点D,交AC于点E,若AB+AC=15,则△ADE的周长为(
)
A.15
B.20
C.
30
D.45
14、如图,在△ABC中,∠A=36°,∠ABC=2∠A,BD,CE分别是∠ABC,∠BCD的平分线,写出图中的所有等腰三角形
.
15、已知等腰三角形的底边BC的长为12cm,且,则腰长AC为
.
16、如图,在△ABC中,AB=AC,BD⊥AC于点D,CE⊥AB于点E,BD与CE相交于点O,连接AO,有如下命题:①∠1=∠2;②OE=OD;③∠3=∠4;④AD=DC;⑤AO所在的直线是线段BC的对称轴.其中是真命题的个数为
(填真命题的序号)
.
17、如图,四边形ABCD中,AB∥CD,AD∥BC,连接AC,△AB′C和△ABC关于AC所在的直线对称,AB′和DC相交于点E,连接BB′.(1)求证:△ABC≌△CDA.(2)请直接写出图中所有的等腰三角形(不添加字母,无需证明);(3)DE和B′E是否相等?若相等请给出证明;若不相等,请说明理由.
18、如图,在△ABC中,点F是DE的中点,点D在AB上,点E在AC延长线上,且BD=CE,连接DE交BC于点F,求证:AB=AC.
【中考链接】
19、(2020?山东菏泽)
如图,将△ABC绕点A顺时针旋转角α,得到△ADE,若点E恰好在CB的
延长线上,则∠BED等于(
)
?A.
B.
C.α
D.180°α
20、(2020?广西桂林)如图,在△ABC中,CA=CB,AD⊥CB,BE⊥CA,AB=5,AD=4,则AE=
.
21、(2020?湖南衡阳)如图,在△ABC中,∠B=∠C,过BC的中点D作DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为点E、F.(1)求证DE=DF;(2)若∠BDE=40°,求∠BAC的度数.
参考答案
1、B
2、C
3、D
4、B
5、等腰
6、58
7、∠1+2∠2=90°
10、C
11、B
12、C
13、A
14、△ABC、△ADB、△BDC、△BEC、△CED
15、17cm或7cm
16、①②③⑤
19、D
20、3
8、如图,在△ABC中,点D是边BC上一点,已知AB=AD=5cm,BD=6
cm,∠ADB=2∠C,
求△ABC的面积.
解:过点A作AG⊥BC,垂足为G,
∴点G为BD的中点(等腰三角形的三线合一),
∵BD=6,∴BG=DG==3
cm,
在Rt△ABG中,AG=(cm),
又∵∠ADB=∠C
+∠DAC,
∠ADB=2∠C,
∴∠C
+∠DAC=2∠C,
∴∠C
=∠DAC,
∴DC=DA=5
cm,
∴BC=BD+DC=6+5=11(
cm),
∴△ABC的面积为=22(cm)2.
9、如图分别以△ABC的边AB、AC作等边△ABD,△ACE,连接DC,BE.
求证:(1)DC=BE;(2)
∠BPD的度数.
证明:(1) ∵△ABD,△ACE都是等边三角形,
∴AD=AB,AC=AE,∠DAB=∠CAE=60°,
∵∠DAB+∠BAC=∠CAE+∠BAC,
即:∠DAC=∠BAE,
在△DAC和△BAE中,

∴△DAC≌△BAE(SAS),
∴DC=BE;
(2)由△DAC≌△BAE得,
∠ACD=∠AEB
∵∠AFE=∠BFC
∴∠CPF=∠AFE=60°,
∴∠DPB=∠CPF=60°.
17、如图,四边形ABCD中,AB∥CD,AD∥BC,连接AC,△AB′C和△ABC关于AC所在的直线对称,AB′和DC相交于点E,连接BB′.(1)求证:△ABC≌△CDA.(2)请直接写出图中所有的等腰三角形(不添加字母,无需证明);(3)DE和B′E是否相等?若相等请给出证明;若不相等,请说明理由.
(1)证明:∵AB∥CD,
AD∥BC,
∴∠CAB=∠ACD,∠DAC=∠BCA,
在△ABC和△CDA中,
∵,
∴△ABC≌△CDA(ASA);
(2)图中所有的等腰三角形有:△EAC,△ABB′,△CBB′;
(3)DE=B′E.理由如下:
证明:∵△ABC≌△CDA,
∴AD=BC,∠ADC=∠CBA,
∵△AB′C和△ABC关于AC所在的直线对称,
∴∠AB′C=∠ABC,
∴∠ADE=∠CB′E,
∵∠AED=∠CEB′,
∴∠DAE=∠B′CE,
在△ADE和△C
B′E中,
∵,
∴△ADE≌△C
B′E(SAS);
∴△ADE≌△C
B′E.
∴DE=B′E.
18、如图,在△ABC中,点F是DE的中点,点D在AB上,点E在AC延长线上,且BD=CE,连接DE交BC于点F,求证:AB=AC.
证明:过点DG∥AC,交BC于点G,
∵DG∥AC,
∴∠DGF=∠ECF,
∵点F为DE的中点,
∴DF=EF,
在△DGF和△ECF中,

∴△DGF≌△ECF(AAS).
∴DG=CE(全等三角形对应边相等),
∵BD=CE,
∴BD=
DG,
∴∠B=∠1,
∵DG∥AC,
∴∠1=∠2,
∴∠B=∠2,
∴AB=AC.
21、(2020?湖南衡阳)如图,在△ABC中,∠B=∠C,过BC的中点D作DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为点E、F.(1)求证DE=DF;(2)若∠BDE=40°,求∠BAC的度数.
(1)证明:∵点D为BC的中点,
∴BD=CD,
∵DE⊥AB,DF⊥AC,
∴∠BED=∠CFD=90°,
在△BDE和△CDF中,

△BDE≌△CDF(AAS),
DE=DF;
(2)∵∠BDE=40°,
∴∠B=90°40°=50°.
∴∠B=∠C=50°,
∴∠BAC=180∠B∠C
=180°50°50°=80°.
第17题图
例题1图
第8题图
第20题图
第6题图
第2题图
第13题图
第14题图
第21题图
第9题图
第18题图
第19题图
第5题图
第10题图
第7题图
第21题图
第16题图
第18题图
第18题图
第17题图
第9题图
第8题图
第8题图
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精品试卷·第
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