北师大版九年级下册 第3章 《圆》高频考点专题训练（一）（Word版 含答案）

第3章 《圆》高频考点专题训练（一）
一．选择题
1．下列说法正确的是（　　）
A．三点确定一个圆
B．同圆中，圆周角等于圆心角的一半
C．平分弦的直径垂直于弦
D．一个三角形只有一个外接圆
2．如图，在⊙O中，弦AB＝8，点C在AB上移动，连接OC，过点C作CD⊥OC交⊙O于点D，则CD的最大值是（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
3．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，AC＝8，BC＝6，CD平分∠ACB交⊙O于点D，则劣弧AD的长为（　　）
A．π B．π C．2π D．π
4．如图所示，在⊙O中，AB为弦，OC⊥AB交AB于点D．且OD＝DC．P为⊙O上任意一点，连接PA，PB，若⊙O的半径为1，则 S△PAB的最大值为（　　）
A．1 B． C． D．
5．如图，在平面直角坐标系中，A（﹣2，2），B（8，2），C（6，6），点P为△ABC的外接圆的圆心，将△ABC绕点O逆时针旋转90°，点P的对应点P′的坐标为（　　）
A．（﹣2，3） B．（﹣3，2） C．（2，﹣3） D．（3，﹣2）
6．如图，AB为半圆⊙O的直径，AB＝10，AC为⊙O的弦，AC＝8，D为的中点，DM⊥AC于M，则DM的长为（　　）
A． B． C．1 D．
7．如图是一个隧道的横截面，它的形状是以O为圆心的圆的一部分，CM＝DM＝2，MO交圆于E，EM＝6，则圆的半径为（　　）
A．4 B．2 C． D．
8．如图，⊙O内切于正方形ABCD，O为圆心，作∠MON＝90°，其两边分别交BC，CD于点N，M，若CM+CN＝4，则⊙O的面积为（　　）
A．π B．2π C．4π D．0.5π
9．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AD与BC的延长线交于点E，BA与CD的延长线交于点F，∠DCE＝85°，∠F＝28°，则∠E的度数为（　　）
A．38° B．48° C．58° D．68°
10．如图，在平面直角坐标系中，⊙P与y轴相切，直线y＝x被⊙P截得的弦AB长为，若点P的坐标为（4，p），则p的值为（　　）
A． B． C． D．
二．填空题
11．如图，等边△ABC的顶点都在⊙O上，点D是⊙O上一点，则∠BDC＝　 　．
12．如图，P为圆O外一点，PA，PB分别切圆O于A，B两点，若PA＝3，则PB的长为　 　．
13．如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接AC，若AC＝AD，且∠DAC＝50°，则∠B的度数为　 　．
14．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，⊙O为ABC的内切圆，OA，OB与⊙O分别交于点D，E，则劣弧DE的长是　 　．
15．如图，⊙O为等边△ABC的外接圆，半径为2，点D在劣弧上运动（不与点A，B重合），连接DA，DB，DC．则四边形ADBC的面积的最大值为　 　．
16．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝﹣2x+4的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，点P在线段AB上，⊙P与x轴交于A、C两点，当⊙P与y轴相切时，AC的长度是　 　．
三．解答题
17．如图，⊙O中的弦AB⊥CD于H，BE⊥AC于E，交CD于F．
（1）求证：HD＝HF．
（2）若∠ABC＝60°，求证：BD等于⊙O的半径．
18．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB上的一点，以CD为直径的⊙O交AC于E，连接BE交CD于P，交⊙O于F，连接DF，∠ABC＝∠EFD．
（1）求证：AB与⊙O相切；
（2）若AD＝2，BD＝3，则⊙O的直径＝　 　；
（3）若PC＝2PF，BF＝a，求CP（用a的代数式表示）．
19．如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，且＝，连接CD，交AB于点E，连接BC，BD．
（1）若∠AOD＝130°，求∠BEC的度数；
（2）∠ABD的平分线交CD于点F，求证：BC＝CF．
20．国庆假期，小明做数学题时遇到了如下问题：
如图1，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BC是⊙O的直径，直线l经过点A，∠ABD＝∠DAE＝30°．试说明直线l与⊙O相切．
小明添加了适当的辅助线后，得到了图2的图形，并利用它解决了问题．
（1）请你根据小明的思考，写出解决这一问题的过程；
（2）图2中，若AD＝，AB＝4，求DC的长．
21．在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝4，O是BC边上的点且⊙O与AB、AC都相切，切点分别为D、E．
（1）求⊙O的半径；
（2）如果F为上的一个动点（不与D、E），过点F作⊙O的切线分别与边AB、AC相交于G、H，连接OG、OH，有两个结论：①四边形BCHG的周长不变，②∠GOH的度数不变．已知这两个结论只有一个正确，找出正确的结论并证明；
（3）探究：在（2）的条件下，设BG＝x，CH＝y，试问y与x之间满足怎样的函数关系，写出你的探究过程并确定自变量x的取值范围，并说明当x＝y时F点的位置．
参考答案
一．选择题
1．解：A、平面内不共线的三点确定一个圆，所以A错误；
B、在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，所以B错误；
C、平分弦（非直径）的直径垂直于弦，所以C错误；
D、三角形的外心到三角形各个顶点的距离都相等，所以D正确．
故选：D．
2．解：作OH⊥AB于H，连接OA、OD，如图，
∴AH＝BH＝AB＝×8＝4，
∵CD⊥OC，
∴CD＝，
而OD为定值，OC最小时，CD最大，
∴当OC＝OH时，CD的值最大，
∴CD的最大值为4．
故选：B．
3．解：连接OD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
在Rt△ABC中，AC＝8，BC＝6，由勾股定理得AB＝10，
∴AO＝5，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠ACB＝45°，
由圆周角定理得∠AOD＝2∠ACD＝90°，
∴劣弧AD的长为＝π．
故选：D．
4．解：连接OA，如图，
∵OC⊥AB，
∴AD＝BD，
∵OD＝DC，
∴OD＝OA＝，
∴AD＝＝，AB＝2AD＝．
当点P为AB所对的优弧的中点时，△APB的面积最大，此时PD＝PO+OD＝1+＝．
∴△APB的面积的最大值为＝＝＝．
故选：C．
5．解：如图，
过点C作CD⊥AB于点D，
∵A（﹣2，2），B（8，2），C（6，6），
∴D（6，2）
∴AB＝10，BD＝2，CD＝4
∴BC2＝BD2+CD2＝20
AD＝8，
∴AC2＝CD2+AD2＝80
∴AB2＝BC2+AC2
∴△ABC是直角三角形
∴△ABC的外接圆的圆心P在斜边AB的中点处
如图，取AB的中点P，
∴P（3，2），
连接OP，将OP绕点O逆时针旋转90至P′，
作PG⊥x轴于点G，P′H⊥x轴于点H，
∴∠PGO＝∠P′HO＝90°
∴∠POG＝∠OP′H，
OP＝OP′
∴△OPG≌△P′OH（AAS）
∴OH＝PG＝2，P′H＝OG＝3
∴P′（﹣2，3）．
故选：A．
6．解：如图，连接OD交AC于H，连接BC．
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∴BC＝＝6，
∵＝，
∴OD⊥AB，
∵∠OAH＝∠CAB，∠AOH＝∠ACB＝90°，
∴△AOH∽△ACB，
∴＝＝
∴＝＝
∴OH＝，AH＝，
∵DH＝OD﹣OH＝5﹣＝，
∵DM⊥AC，
∵∠DMH＝∠AOH＝90°，∠DHM＝∠AHO，
∴△DMH∽△AOH，
∴＝，
∴＝，
∴DM＝1，
故选：C．
7．解：连接OC，
∵M是⊙O弦CD的中点，
根据垂径定理：EM⊥CD，
设圆的半径是x，
在Rt△COM中，有OC2＝CM2+OM2，
即：x2＝22+（6﹣x）2，
解得：x＝，
所以圆的半径长是．
故选：D．
8．解：设⊙O与正方形ABCD的边CD切于E，与BC切于F，
连接OE，OF，
则四边形OECF是正方形，
∴CF＝CE＝OE＝OF，∠OEM＝∠OFN＝∠EOF＝90°，
∵∠MON＝90°，
∴∠EOM＝∠FON，
∴△OEM≌△OFN（ASA），
∴EM＝NF，
∴CM+CN＝CE+CF＝4，
∴OE＝2，
∴⊙O的面积为4π，
故选：C．
9．解：∠B＝∠DCE﹣∠F＝57°，
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠EDC＝∠B＝57°，
∴∠E＝180°﹣∠DCE﹣∠EDC＝38°，
故选：A．
10．解：如图，作PF⊥x轴于F，交AB于D，作PE⊥AB于E，连结PB，
∵⊙P与y轴相切于点C，⊙P的半径是4，
∴OF＝4，
把x＝4代入y＝x得y＝4，
∴D点坐标为（4，4），
∴DF＝4，
∴△ODF为等腰直角三角形，
∴△PED也为等腰直角三角形，
∵PE⊥AB，
∴AE＝BE＝AB＝×4＝2，
在Rt△PBE中，PB＝4，
∴PE＝＝2，
∴PD＝PE＝2，
∴PF＝PD+DF＝4+2，
∴p＝4+2，
故选：B．
二．填空题（共6小题）
11．解：∵△ABC为等边三角形，
∴∠BAC＝60°，
当点在上，如图1，∠BDC＝∠BAC＝60°；
当点在上，如图2，∵∠BDC+∠BAC＝180°，
∴∠BDC＝180°﹣60°＝120°，
综上所述，∠BDC的度数为60°或120°．
故答案为60°或120°．
12．解：∵PA，PB分别切圆O于A，B两点，
∴PB＝PA＝3．
故答案为3．
13．解：∵AC＝AD，且∠DAC＝50°，
∴∠D＝∠ACD＝＝65°，
∴∠B＝180°﹣∠D＝180°﹣65°＝115°，
故答案为：115°．
14．解：∵∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，
∴AB＝＝10，
∵⊙O为ABC的内切圆，
∴OD＝＝2，OB平分∠BAC，OC平分∠ABC，
∴∠AOB＝90°+∠C＝90°+×90°＝135°，
∴劣弧DE的长＝＝π．
故答案为π．
15．解：如图，将△ADC绕点C逆时针旋转60°，得到△BHC，
∴CD＝CH，∠DAC＝∠HBC，
∵四边形ACBD是圆内接四边形，
∴∠DAC+∠DBC＝180°，
∴∠DBC+∠HBC＝180°，
∴点D，点B，点H三点共线，
∵DC＝CH，∠CDH＝60°，
∴△DCH是等边三角形，
∵四边形ADBC的面积S＝S△ADC+S△BDC＝S△CDH＝CD2，
∴当CD最大时，四边形ADBC的面积最大，
∴当CD为⊙O的直径时，CD的值最大，
即CD＝4，
∴四边形ADBC的面积的最大值为CD2＝4，
故答案为：4．
16．解：∵一次函数y＝﹣2x+4的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，
∴A（2，0），B（0，4），
∴OA＝2，OB＝4，
如图，设⊙P与y轴相切于点D，连接PD，
∴PD⊥OB，
∵OA⊥OB，
∴PD∥OA，
∴＝＝，
设PD＝PC＝x，则BD＝2x，
∴OD＝OB﹣BD＝4﹣2x，
作PE⊥OA于点E，
∴四边形OEPD是矩形，
∴PD＝OE＝x，PE＝OD＝4﹣2x，
∴AE＝CE＝OA﹣OE＝2﹣x，
∴PC2＝PE2+CE2，
∴x2＝（4﹣2x）2+（2﹣x）2，
解得x＝，
∵＞2，不符合题意舍去，
∴x＝，
∵PE⊥AC，根据垂径定理，得
AC＝2AE＝2（2﹣x）＝4﹣（5﹣）＝﹣1．
故答案为：﹣1．
三．解答题（共5小题）
17．证明：（1）∵CH⊥AB，
∴∠BFH+∠FBH＝90°，
∵BE⊥AC，
∴∠A+∠ABE＝90°，
∴∠BFH＝∠A，
∵∠A＝∠D，
∴∠BFH＝∠D，
∴BF＝BD，
∵BH⊥FD，
∴HD＝HF；
（2）连接OD、OB，如图，
∵∠BCD+∠CBH＝90°，
∴∠BCH＝90°﹣∠CBH＝90°﹣60°＝30°，
∴∠BOD＝2∠BCD＝60°，
∵OB＝OD，
∴△OBD为等边三角形，
∴BD＝OB，
∴BD等于⊙O的半径．
18．（1）证明：∵∠ACB＝90°，
∴∠CEB+∠CBE＝90°，
∵∠ABC＝∠EFD，∠EFD＝∠FDB+∠FBD，
∴∠EBC＝∠FDB，
∵∠CEB＝∠CDF，
∴∠CDF+∠FDB＝90°，
即∠CDB＝90°，
∴CD⊥AB，
∴AB与⊙O相切；
（2）解：∵∠ACD+∠A＝90°，∠A+∠ABC＝90°，
∴∠ACD＝∠ABC，
∵∠ADC＝∠BDC＝90°，
∴△ACD∽△CBD，
∴＝，
∴CD2＝AD?BD＝2×3＝6，
∴CD＝，
∴⊙O的直径为，
故答案为：．
（3）解：∵CD为⊙O的直径，
∴∠CFD＝90°，
∴∠DCF+∠CDF＝90°，
又∵∠CDB＝90°，
∴∠FDB+∠CDF＝90°，
∴∠FDB＝∠DCF，
∵∠EBC＝∠FDB，
∴∠EBC＝∠DCF，
∴△PCF∽△PBC，
∴＝，
∵PC＝2PF，
∴＝＝
∴PB＝2PC＝4PF，
又PB＝PF+BF，
∴4PF＝PF+BF，
∴PF＝BF＝a，
∵PC＝2PF．
∴PC＝a．
19．解：（1）连接AC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵＝，
∴∠A＝∠ABC＝45°，
∵∠AOD＝130°，
∴∠ACD＝65°，
∵∠BEC是△ACE的外角，
∴∠BEC＝∠A+∠ACD＝110°．
（2）证明：∵BF平分∠ABD，
∴∠EBF＝∠DBF，
∵，
∴∠ABC＝∠CDB，
又∵∠CFB＝∠FBD+∠FDB，∠CBF＝∠ABC+∠EBF，
∴∠CBF＝∠CFB，
∴CF＝BC．
20．（1）证明：过A作直径AF，连接DF，如图2所示：
∵AF是⊙O的直径，
∴∠ADF＝90°，
∴∠AFD+∠FAD＝90°，
∵∠ABD＝∠AFD，∠ABD＝∠DAE，
∴∠AFD＝∠DAE，
∴∠DAE+∠DAF＝90°，
即∠OAE＝90°，
∴OA⊥AE，
∵点A是半径OA的外端，
∴直线l与⊙O相切；
（2）解：过点A作AG⊥BD，垂足为点G，
∴∠AGB＝∠AGD＝90°，
∵∠ABD＝30°，
∴∠AFD＝30°，
∴直径AF＝2AD＝＝BC，
∵∠ABD＝30°，AB＝4，
∴AG＝＝2，BG＝AG＝2，
∴DG＝＝＝，
∴BD＝BG+DG＝，
∵BC是直径，
∴∠BDC＝90°，
∴．
21．解：（1）连接OD、OE、OA，
∵O是BC边上的点且⊙O与AB、AC都相切，
∴OD⊥AB，AC⊥OE，
又∵∠BAC＝90°，且OD＝OE，
∴四边形ADOE为正方形，
∴OE＝AE，
∴∠OAE＝45°；
又∵∠C＝45°，
∴OE＝2，△OAC为等腰直角三角形，
AE＝EC＝AC＝×4＝2，即⊙O的半径是2；
（2）②的结论正确；理由如下：
连接OF、OG、OH，
由题意，GD、GF以及HF、HE与圆相切，
所以GD＝GF，HE＝HF，∠DOG＝∠FOG，∠FOH＝∠HOE，
而∠DOE＝90°，所以可以得到∠GOH＝＝45°．
（3）BG＝x，CH＝y，
易得：GF＝GD＝x﹣2，FH＝HE＝y﹣2，AG＝4﹣x，AE＝4﹣y，
所以GH＝x+y﹣4，
由∠A＝90°，可得GH2＝AG2+AH2，代入上述各数值，
化简可得y＝，由AG≥0，AE≥0，可得x≤4，y≤4，所以2≤x≤4，
当x＝y时，有AG＝AH，由于AB＝AC所以可得GH与BC平行，连接AO，
设AO交GH于F'，有∠OFH＝90°，
所以F'为切点F，即F为AO与圆的交点同时F是的中点．