26.1.2 反比例函数的图象和性质应用（第2课时） 课件（共25张PPT)

26.1.2 反比例函数的图象和性质
第2课时 反比例函数的图象和性质的综合运用
第二十六章 反比例函数
人教版数学九年级下册
k>0
k<0
形状
位置
增减性
图象的发展趋势
对称性
反比例函数的图象和性质
双曲线
两支曲线分别位于第一，三象限
两支曲线分别位于第二，四象限
在每一象限内,
y随x的增大而减小
在每一象限内,
y随x的增大而增大
无限接近于坐标轴，但不会与坐标轴相交
⑴. 反比例函图象是轴对称图形，也是
中心对称图形。
⑵. k值相反的两个反比例函数图象关于
坐标轴对称。
复习导入
1
理解反比例函数的系数 k 的几何意义，并将其灵活运用于坐标系中图形的面积计算中. (重点、难点)
2
能够解决反比例函数与一次函数的综合性问题.
(重点、难点)
3
体会“数”与“形”的相互转化，学习数形结合的思想方法，进一步提高对反比例函数相关知识的综合运
用能力. (重点、难点)
学习目标
一、反比例函数解析式中 k 的几何意义
1. 在反比例函数 的图象上分别取点A，B，C向
x 轴、y 轴作垂线，围成面积分别为S1 ，S2 ，S3的
矩形， 通过计算说明S1 ，S2 ，S3有什么数量关系？
合作探究
S1=S2=S3=4
猜想：反比例函数图象上任意一点向坐标轴作垂线，
这一点与坐标轴围成的矩形面积与k的关系
矩形面积与k值相等
探究新知
一、反比例函数解析式中 k 的几何意义
合作探究
1. 在反比例函数 的图象上分别取点A，B，C向
x 轴、y 轴作垂线，围成面积分别为S1 ，S2 ，S3的
矩形，则S1 ，S2 ，S3有什么数量关系？
S1=S2=S3=4
猜想：反比例函数图象上任意一点向坐标轴作垂线，
这一点与坐标轴围成的矩形面积与k的关系
矩形面积与|K|相等
一、反比例函数解析式中 k 的几何意义
若点P是 图象上的任意一点，作 PM⊥x 轴于M，
作 PN⊥y 轴于N，矩形 PMON的面积与k的关系是:
S矩形 PMON = PM · PN
= |m| · |n|
= |mn|
= |K|
面积性质(1)
归纳：反比例函数图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点与坐标轴围成的矩形面积为|K|。
反比例函数图象的面积不变性。
一、反比例函数解析式中 k 的几何意义
若点P是 图象上的任意一点，作 PM⊥x 轴于M，
作 PN⊥y 轴于N，连接OP，则Rt△POM和Rt △PON
的面积和k的关系是:
S△POM= S△PON= |K|
?
思 考
一、反比例函数解析式中 k 的几何意义
面积性质(2)
归纳：反比例函数图象上任意一点向x轴或y轴作垂线，这一点与坐标轴和原点围成的直角三角形的面积为 |K|。
?
例1：如图所示，点A在反比例函数 的图象上，
AC垂直 x 轴于点 C，且 △AOC 的面积为 3，求该反
比例函数的表达式．
解：∵点 A 在反比例函数的图象上，且AC⊥X轴，
∴ S△AOC＝ |K|＝3，
∴ |K|＝6，
又∵反比例函数的图象位于第一，三象限
∴ K>0，
∴ K＝6， ∴反比例函数的表达式为
?
例题讲解
1. 如图，过反比例函数 图象上的一点 P，
作 PA⊥x 轴于A. 若△POA 的面积为 6，
则 k = .
-12
y
x
O
P
A
2. 若点 P 是反比例函数图象上的一点，过点 P 分别向x 轴、y 轴作垂线，垂足分别为点 M，N，若四边形PMON 的面积为 3，则这个反比例函数的关系式是 。
或
针对练习
3. 如图，P，C是函数 (x>0) 图象上的任意两点，PA，CD 分别垂直 x 轴于A，D。
(1)若△POA的面积为 S1，则S1= ；
(2)若梯形CEAD的面积为 S2，△POE的面积为S3，则S3 和 S2 的大小关系是S2 S3.
2
=
4. 如图所示，直线与双曲线交于 A，B 两点，
P是线段AB上的点，若设△AOC的面积为S1，
△BOD的面积为S2，△POE的面积为S3 ，则
S1，S2，S3的大小关系为 .
S1 = S2 < S3
F
例2：如图，点A是反比例函数 (x＞0)的图象上任意一点，AB//x轴交反比例函数 (x＜0) 的图象于点 B，以 AB 为边作平行四边形 ABCD，其中点 C，D 在 x 轴上，则 S平行四边形ABCD = .
y
D
B
A
C
x
3
2
5
方法总结：解决反比例函数有关的面积问题，可以把原图形通过切割、平移等变换，转化为较容易求面积的图形.
O
例题讲解
二、反比例函数与一次函数的综合
例3： 已知 A(a， )，B(－1，2)是一次函数 y= kx+b与反比例函数
图象的两个交点，求m的值及一次函数解析式 .
解：把 B (-1，2)代入 中，
得 m =-1×2=-2.
把A(－4， )，B(－1，2)代入y=kx+b中，得
－4k + b = ，
－k + b =2，
k =
解得
b =
所以一次函数的解析式为 y = x + .
?
?
所以A点坐标为 (-4， )
例题讲解
二、反比例函数与一次函数的综合
例4： 如图是一次函数 y1=kx+b 和反比例函数 的图象，观察图象，当 y1﹥y2 时，x 的取值范围为 .
－2
3
y
x
0
-23
解析：y1﹥y2 即一次函数图象处于反比例函数图象的上方时. 观察右图，
可知－2< x <0 或 x >3.
方法总结：对于一些题目，借助函数图象比较
大小更加简洁明了.
例题讲解
2. 如图，一次函数 y1= k1x+b (k1≠0) 的图象
与反比例函数 的图象交于 A，B 两点，
观察图象，当y1＞y2时，
x 的取值范围是 ．
－1
2
y
x
0
A
B
－12
1. 反比例函数 的图象与正比例函数 y = 3x 的图象的交点坐标为 ．
(2，6)，(-2，-6)
针对练习
3. 如图，直线y=ax+b与反比例函数 (x＜0)的图象相交于点A、点B，与x轴交于点C，其中点A的坐标为（-2，4），点B的横坐标为-4.
（1）试确定一次函数及反比例函数的解析式；
（2）求△AOC的面积
（3）试确定 的取值范围
?
面积问题
与一次函数的综合
反比例函数图像和性质的综合运用
常见题型：
联立求交点 ，求解析式
求图形面积
利用图象求自变量取值范围
面积不变性
课堂小结
A. 4 B. 2
C. －2 D.不确定
1. 如图所示， P 是反比例函数 的图象上一点，
过点 P 作 PB ⊥x 轴于点 B，点 A 在 y 轴上，
△ABP 的面积为 2，则 k 的值为( )
O
B
A
P
x
y
A
课堂练习
2. 在同一直角坐标系中，函数 与 y = ax+1 (a≠0) 的图象可能是 ( )
A.
y
x
O
B.
y
x
O
C.
y
x
O
D.
y
x
O
B
3. 如图，直线 y=k1x + b 与反比例函数 (x＞0)
交于A，B两点，其横坐标分别为1和5，
则不等式k1x +b ＞ 的解集是 ．
1＜x＜5
O
B
A
x
y
1
5
4. 如图，反比例函数 与一次函数y=-x+2
的图象交于A，B两点，连接OA，OB，
则△AOB的面积为 。
O
A
y
B
x
6
x
y
O
B
A
5. 如图，直线 y=ax + b 与双曲线 交于两点
A(1，2)，B(m，-4)两点，
(1) 求直线与双曲线的解析式；
(2) 求不等式 ax+b＞ 的解集.
x＞1 或 ＜x＜0.
y = 4x－2
如图，函数 y＝-x与函数 的图象
相交于 A，B 两点，过点 A，B分别作 y 轴
的垂线，垂足分别为C，D，
则四边形ACBD的面积为 ( )
A. 2 B. 4
C. 6 D. 8
D
y
x
O
C
A
B
D