28.2.2 用解直角三角形解决坡度问题（第3课时） 课件（共19张PPT）

28.2.2 解直角三角形应用举例
第3课时 坡度问题
第二十八章 锐角三角函数
人教版数学九年级下册
1
正确理解坡角、坡度(坡比)的概念. (重点)
2
能熟练运用解直角三角形的知识解决有关坡度的实际问题，进一步提高运用解直角三角形知识分析解决问题的综合能力. (难点)
学习目标
A
B
C
如图，从山脚到山顶有两条路AB与BC，问哪条路比较陡？
如何用数量来刻画哪条路陡呢？
思考
问题
新课导入
坡角、坡度的概念
1.坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作 α .
2. 如图所示，坡面的铅垂高度 (h) 和水
平宽度 (l) 的比叫做坡面的坡度 (或坡
比)，记作 i 。
α
?
h
l
探究新知
坡角、坡度的概念
α
4.斜坡的坡角越大，则坡度越大，坡面越陡。
3.坡度通常写成 1∶m 的形式（ m 可以是小数或无理数）
2.坡面的铅垂高度 ( h ) 和水平宽度 ( l ) 的比，没有单位。
点拨
?
1.坡度等于坡角的正切值.
h
l
坡角、坡度的概念
1、斜坡的坡度是 ，则坡角α=______度。
2、斜坡的坡角是45°，则坡比是 _______。
3、斜坡长是12米，坡高6米，则坡比是_______。
4、斜坡长是10米，坡高8米，则坡度是 。
α
l
h
30
1：1
巩固概念
1：0.75
5、某人沿倾斜角为 β 的斜坡前进100m,则他上升的最大高度是( )m
A. B.100sinβ C. D.100cosβ
坡角、坡度的概念
巩固概念
6.某个水库大坝的横断面是梯形，坝内斜坡的坡度 i＝1∶ ，坝外斜坡的坡度 i＝1∶1，那么两个坡角的和为( )
A.90° B.75° C.60° D.105°
?
?
?
B
B
F
E
用解直角三角形解决坡度问题
例：水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m，
坝高23m，斜坡AB的坡度i=1∶3，斜坡CD的
坡度i=1∶2.5，求坝底AD与斜坡AB的
长度 (精确到0.1m).
A
D
B
C
i=1:2.5
23
6
i=1:3
解：分别过点B、C作BE⊥AD，CF⊥AD，垂足分别为点E、 F，
由题意可知BE=CF=23m ， EF=BC=6m.
在Rt△ABE中，
在Rt△DCF中，同理可得
∴AD =AE+EF+FD = 69+6+57.5=132.5 (m).
在Rt△ABE中，由勾股定理可得:
答：坝底AD的长度约为132.5m，
斜坡AB的长度约为72.7m.
例题讲解
E
F
1. 一段路基的横断面是梯形，高为4米，上底的宽是12米，路基的坡面与地面的倾角分别是45°和30°，求路基下底的宽．（精确到0.1米，参考数据： ， ） ?
45°
30°
4米
12米
A
B
C
D
解题思路：
分别过点C、D作CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分别为点E、 F，
易知 CE = DF = 4m，EF = CD = 12m。
在Rt△ADF中，易得 AF = DF = 4m；
在Rt△BCE中，易得
所以：
?
?
针对练习
2. 为了增加抗洪能力，现将横断面如图所示的大坝加高，加高部分的横断面为梯形DCGH，GH∥CD，点G、H分别在AD、BC的延长线上,当新大坝坝顶宽为4.8m时，大坝加高了几米？
i1=1：1.2
i2=1：0.8
B
A
C
D
G
H
6m
解题思路：
分别过点H、G作HM⊥CD，GN⊥CD，垂足分别为点M、N，
则HM：DM=1：1.2，GN：CN=1：0.8，
易证四边形GHMN是矩形
所以 MN = HG = 4.8m，HM = GN 。
设：HM= x m
则DM=1.2x，CN=0.8x
所以 1.2 x+0.8x+4.8=6
解得 x= 0.6
即：大坝加高了0.6米。
M
N
在山脚C处测得山顶A的仰角为45°，沿着坡度为1：2.4的斜坡前进260m到达D点，在D点测得山顶A的仰角为68° ，求山高AB.(结果保留整数，参考数据： sin65°≈0.91， cos65°≈0.42， tan68°≈2.5)
解：分别过点D作DE⊥BC，DF⊥AB，垂足分别为点E、 F，
由题意可知∠ACB=45°， ∠ADF=68°, AB⊥BC
CD=260m， DE：CE= 1：2.4.
在Rt△CDE中，CD=260m， DE：CE= 1：2.4.
∴DE=100m， CE=240m
∵DE⊥BC，DF⊥AB，AB⊥BC
∴四边形BEDF为矩形
∴BF=DE=100m，DF=BE
在Rt△ADF中， ∠ADF=68°,
∴AF=DF·tan∠ADF≈2.5DF,
C
D
B
A
E
F
拓展提高
在山脚C处测得山顶A的仰角为45°，沿着坡度为1：2.4的斜坡前进260m到达D点，在D点测得山顶A的仰角为68° ，求山高AB.(结果保留整数，参考数据： sin65°≈0.91， cos65°≈0.42， tan68°≈2.5)
C
D
B
A
E
F
设：DF为 x m，则AB=(2.5x+100)m， CB=(x+240)m
在Rt△ABC中， ∠ACB=45°,
∴AB=BC
即：2.5x+100 = x+240
解得：
?
∴
?
答：山高AB约为233m
拓展提高
坡度问题
坡角
坡角与坡度的关系
?
坡度
?
坡面与水平面的夹角，记作 α 。
课堂小结
1. 如图，河坝横断面迎水坡AB的坡比是1 : ，
坝高BC=3m，则坡面AB的长度是 ( )
A. 9m B. 6m C. m D. m
A
C
B
B
2. 已知甲、乙两坡的坡角分别为α、β，若甲坡比乙坡更徒些，则下列结论正确的是( )
A.tanαcosβ
C
课堂练习
3. 如图是某水库大坝横断面示意图．其中AB、CD分别表示水库上下底面的水平线，∠ABC=120°，BC的长是50m，
则水库大坝的高度h是（ ）
A． 25 m B． m
C． m D． m
?
?
?
4. 如图，某拦河坝横截面的原设计方案为AH∥BC，坡角∠ABC=60度，坝顶到坝脚的距离AB=6米，为了提高拦河坝的牢固程度，现将坡度定为1:1，由此A需向右平移至D点，则AD长为 。
A
D
H
B
C
A
B
C
D
120°
h
E
F
B
?
沿水库拦河坝的背水坡将坝顶加宽2米，坡度由原来的1：2改为1：2.5，已知坝高6米，坝长50米。
(1)求加宽部分横断面AFEB的面积？
(2)完成这一工程需要多少方土？
1：2
F
E
1：2.5
A
D
B
M
N
1:2
F
E
1:2.5
M
N
A
D
B
解：(1)分别过点A，F作AN⊥BE，FM⊥BE，垂足分别为点N、 M，
由题意可知：AF=MN=2m， AN=FM= 6m.
在Rt△ABN中，AN=6m， AN：BN= 1：2
∴BN=12m
在Rt△FEM中，FM=6m， FM：EM= 1：2.5
∴EM=15m
∴EB=EM+MN–BN = 5m
∴S梯形AFEB = = 21m2
?
(2) V = 21×50 = 1050 (m3)
答：加宽部分横断面AFEB的面积为21m2，完成这一工程需要1050 m3土。