28.2.1 用解直角三角形解决方位角问题（第2课时） 课件(共18张PPT）

28.2.2 解直角三角形应用举例
第2课时 方位角问题
第二十八章 锐角三角函数
人教版数学九年级下册
1
能熟练运用解直角三角形的知识解决有关方位角的实际问题； (重点)
2
进一步提高运用解直角三角形知识分析解决问题的综合能力. (难点)
学习目标
方位角
指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的角叫做方位角。
南偏西45 °
北偏东37°
37°
北
南
西
东
64°
45°
70°
南偏东70°
北偏西26 °
西南
探究新知
方位角
1. 如图，海岛 C 在海岛 A 的北偏东 50° 方向，在海岛 B 的北偏西 40° 方向，则从海岛 C 看 A，B 两岛的视角∠ACB等于 。
90°
2. 如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，距离灯塔60海里的A处，它以20海里/时的速度沿着正南方向航行5小时后到达位于灯塔P的南偏东25°方向上的B处，这时海轮所在的B处距离灯塔P 海里。
80
P
A
B
25°
65°
北
利用解直角三角形解决方位角问题
例1：如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，距离灯塔80海里的A处，它正沿着正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处，这时，海轮所在的B处距离灯塔P有多远？(参考数据：sin65°≈0.91， cos65°≈0.42， tan65°≈2.14， sin34°≈0.56， cos34°≈0.83， tan34°≈0.67)
C
P
A
B
34°
65°
北
答：海轮所在的B处距离灯塔P约有130海里。
解：过点P作PC⊥AB于C. 由题意可知，∠A=65°，∠B=34°，AP=80海里 ,
∴ PC=AP·sin65°≈72.8海里
在Rt△ACP中，
?
在Rt△BCP中，
∴
?
?
例题讲解
1. 如图，海上B、C两岛分别位于A岛的正东和正北方向，一艘船从A岛出发，以18海里/时的速度向正北方向航行2小时到达C岛，此时测得B岛在C岛的南偏东43°方向，则A、B两岛之间的距离为 ． (结果精确到0.1海里，参考数据：sin43°=0.68， cos43°=0.73，tan43°=0.93)
B
C
A
北
33.5海里
43°
针对练习
2. 如图，某渔船在海面上朝正东方向匀速航行， 在 A 处观测到灯塔 M 在北偏东 60° 方向上，航行半小时后到达 B 处，此时观测到灯塔 M 在北偏东30°方向上，那么该船继续航行到达离灯塔距离最近的位置所需的时间是 ( )
A. 10分钟 B. 15分钟 C. 20分钟 D. 25分钟
B
A
M
B
60°
30°
东
N
北
东
A
C
B
60°
30°
D
E
利用解直角三角形解决方位角问题
例2:如图，海岛A的周围8海里内有暗礁，鱼船跟踪鱼群由西向东航行，在点B处测得海岛A位于北偏东60°，航行12海里到达点C处，又测得海岛A位于北偏东30°，如果鱼船不改变航向继续向东航行．有没有触礁的危险？
解：过A作AF⊥BC于点F，
则AF的长是A到BC的最短距离.
∵BD∥CE∥AF，
∴∠DBA=∠BAF=60°，
∠ACE=∠CAF=30°，
∴∠BAC=∠BAF－∠CAF =30°.
F
例题讲解
利用解直角三角形解决方位角问题
例2:如图，海岛A的周围8海里内有暗礁，鱼船跟踪鱼群由西向东航行，在点B处测得海岛A位于北偏东60°，航行12海里到达点C处，又测得海岛A位于北偏东30°，如果鱼船不改变航向继续向东航行．有没有触礁的危险？
北
东
A
C
B
60°
30°
D
E
F
?
如图所示，A、B两城市相距200km.现计划在这两座城市间修筑一条高速公路(即线段AB)，经测量，森林保护中心P在A城市的北偏东30°和B城市的北偏西45°的方向上．已知森林保护区的范围在以P点为圆心，100km为半径的圆形区域内，请问：计划修筑的这条高速公路会不会穿越保护区?
(参考数据： ≈1.732， ≈1.414)．
A
B
P
30°
45°
E
F
C
?
解：过点P作PC⊥AB，垂足为C．
则∠APC＝30°,∠BPC＝45°, AC＝PC·tan30°, BC＝PC·tan45°.
∵AC＋BC＝AB，
∴PC · tan30°＋PC · tan45°＝200，即： PC＋PC＝200，
解得 PC ≈126.8km＞100km.
答：计划修筑的这条高速公路不会穿越保护区．
?
针对练习
利用解直角三角形解决实际问题的一般过程：
(1)将实际问题抽象为数学问题(画出平面图形，转化为解直角三角形的问题)；
(2)根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等知识去解直角三角形；
(3)得到数学问题答案；
(4)得到实际问题答案；
方位角问题的实际应用题解法：
直接或间接把问题放在直角三角形中，解题时应善于发现直角三角形，用三角函数等知识解决问题。
课堂小结
1. 如图，某船以29.8海里/时的速度向正北方向航行，在A处测得灯塔C在该船的北偏东32°方向上，半小时后该船航行到点B处，发现此时灯塔C与船的距离最短。
(1)在图上标出点B的位置；
(2) 灯塔C到B处的距离约为 海里。
(精确到0.1海里，参考数据：sin32°=0.53，
cos32°=0.85，tan32°=0.62)。
北
东
C
A
B
9.2
课堂练习
2. 如图，海关缉私艇在A处接到情报，在A的北偏西60°方向的B处发现一可疑船只正以24海里/时的速度向正东方向航行，于是该艇立即沿北偏西45°方向前进，经过1小时航行，恰好在C处截住可疑船只，则缉私艇的速度为( )。
北
东
B
C
O
A
?
?
?
?
A
3.国外船只，除特许外，不得进入我国海洋100海里以内的区域，如图，设A、B是我们的观察站，A和B之间的距离为157.73海里，海岸线是过A、B的一条直线，一外国船只在P点，在A点测得∠BAP=45°，同时在B点测得∠ABP=60°，问此时是否要向外国船只发出警告，令其退出我国海域. (结果保留整数，参考数据： ).
P
A
B
C
解：过点P作PC⊥AB，垂足为C．
设PC为 x 海里，
在Rt△ACP中，∠ACP=90°， ∠A=45° ∴ AC=PC= x 海里.
在Rt△ACP中，∠ACP=90°， ∠B=60° ∴ BC= x 海里.
∵AC+BC=AB， ∴ x＋ x＝157.73，
解得 x ≈101＞100.
∴需要向外国船只发出警告，令其退出我国海域。
?
?
?
4. 如图有一个古镇A，它周围800米内有古建筑，乡村路要由西向东修筑，在B点处测得古建筑A在北偏东60°方向上，向前直行1200米到达D点，这时测得古建筑A在D点北偏东30°方向上，如果不改变修筑的方向，你认为古建筑会不会遭到破坏？
答案：AE= 米＞800米，
所以古建筑会遭到破坏.
北
东
A
D
B
60°
30°
E
5. 如图，小岛A在港口P的南偏西45°方向，距离港口80海里处，甲船从小岛A出发，沿AP方向以8海里/时的速度驶向港口；乙船从港口P出发，沿南偏东60°方向，以12海里/时的速度驶离港口。已知两船同时出发。
(1)出发后几小时两船与港口P的距离相等？
(2)出发后几小时乙船在甲船的正东方向？
(精确到0.1h，参考数据： )
北
东
P
A
(1)出发后4小时两船与港口P的距离相等；
(2)出发后约4.8小时乙船在甲船的正东方向。
?
B
C
D
B
C