28.2.1 用解直角三角形解决仰俯角问题（第1课时） 课件（共20张PPT)
文档属性
| 名称 | 28.2.1 用解直角三角形解决仰俯角问题（第1课时） 课件（共20张PPT) |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 2.6MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-01-30 21:07:57 | ||
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文档简介
28.2.2 解直角三角形应用举例
第1课时 仰角，俯角问题
第二十八章 锐角三角函数
人教版数学九年级下册
直角三角形中，由已知的两个元素(至少有1个是边)，求出未知元素的过程，叫解直角三角形。
2. 解直角三角形的依据：
(1)三边之间的关系:
a2＋b2＝c2（勾股定理）；
(2)锐角之间的关系:
∠ A＋∠B＝90?；
(3)边角之间的关系:
锐角三角函数；
1. 解直角三角形：
(1)有角先求角，无角先求边。
(2)有斜用弦，无斜用切；宁乘毋除，取原避中。
3. 解直角三角形的原则：
知识回顾
1
能运用解直角三角形知识解决仰角和俯角有关的实际问题.(重点、难点)
2
进一步体会数形结合、转化、方程的数学思想，并从这些问题中归纳出常见的基本模型及解题思路. (重点)
学习目标
仰角和俯角
在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；
从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角.
水平线
视 线
视 线
仰角
俯角
探究新知
利用解直角三角形解决仰俯角问题
合作探究
直升飞机在跨江大桥AB的上方P点处，此时飞机离地面的高度PO=450m，且A、B、O三点在一条直线上，测得大桥两端的俯角分别为α=30°，β=45°，求大桥的长AB .
β
α
P
A
B
O
450m
解：由题意可知
∠OAP=∠α=30°，∠OBP=∠β=45°
?
在Rt△OBP中，∠POB=90°, ∠OBP=45°
∴ ∠OBP=∠OPB
∴OB=OP=450m
∴大桥的长AB为：OA-OB =
?
探究新知
利用解直角三角形解决仰俯角问题
变式1
直升飞机在长400m的跨江大桥AB的上方P点处，且A、B、O三点在一条直线上，在大桥的A、B两端测得飞机的仰角分别为30°和 45°，求飞机的高度PO .
β
α
P
A
B
O
400m
?
解法一：
?
解法二：
利用解直角三角形解决仰俯角问题
变式2
直升飞机在高为 200m 的大楼 AB 上方 P 点处，从大楼的顶部和底部测得飞机的仰角为30° 和 45°，求飞机的高度 PO .
45°
30°
P
O
B
A
200m
C
分析：过点 A 作 AC⊥OP 于点 C，构建直角三角形 ACP 和矩形 ABOC，利用矩形的性质和解直角三角形的知识解决问题。
答案：飞机的高度 PO为
?
利用解直角三角形解决仰俯角问题
变式3
直升飞机在高为 200m 的大楼 AB 左侧 P 点处，测得大楼的顶部仰角为 45°，测得大楼底部俯角为 30°，求飞机与大楼之间的水平距离.
分析：过点 P 作 PC⊥AB 于点 C，构建直角三角形 ACP 和直角三角形 BCP ，设PC长为x，用 x 表示出AC，BC的长，以AB为等量关系，利用方程思想解决问题。
200m
45°
30°
P
B
A
C
答案:飞机与大楼之间的水平距离为
?
利用解直角三角形解决仰俯角问题
常见基本模型
模型四
模型一
A
D
B
E
C
α
模型二
β
α
A
B
C
D
模型三
β
α
A
B
C
D
α
β
A
B
C
D
?
30°
60°
B
C
A
D
答：这栋楼高约为277.1m.
解：如图，a = 30°，β= 60°， AD＝120．
针对练习
2. 建筑物BC上有一旗杆AB，由距BC为40m的D处观察旗杆顶部A的仰角为54°，观察底部B的仰角为45°，求旗杆的高度（精确到0.1m）.
(参考数据：sin54°≈0.81， cos54°≈0.59， tan54°≈1.38)
B
A
C
D
在Rt△ACD中，∠ACD=90°，
∴ BC=CD=40m.
∴ AB = AC-BC=55.2-40=15.2 (m).
答：旗杆的高度约为15.2m
解：由题意可知，∠BDC=45°，∠ADC=54°，CD=40m , AC⊥CD
在Rt△BCD中，∠BCD=90°， ∠BDC=45°
?
A
B
D
C
E
F
M
答：该塔约有45m.
解：由题意可知，∠AEM=30°，∠AFM=60°，
DE=CF=BM=1.5m , EF=CD=50m , EM⊥AB
设AM为 x m，
∵
?
?
∴
?
?
∵EF=EM-FM=50m
∴
?
解得：
?
∴AB=AM+BM ≈ 45m
例题讲解
在我市迎接奥运圣火的活动中，某校教学楼上悬挂着宣传条幅DC，小丽同学在点A处，测得条幅顶端D的仰角为30°，再向条幅方向前进10米后， 又在点B处测得条幅顶端D的仰角为45°，已知点A、B和C离地面高度都为1.44米，求条幅顶端D点距离地面的高度．(计算结果精确到0.1米)
(参考数据: )
答案：条幅顶端D点距离地面的高度大约15.1米。
针对练习
1．把实际问题转化成数学问题，包括两个方面：
一是：图形转化。即将实际问题的图形转化为几何图形，画出正确的示意图；
二是：条件转化。即将已知条件转化为示意图中的边、角或它们之间的关系.
2．把数学问题转化成解直角三角形问题的方法：
添加适当的辅助线，构造直角三角形。
实际问题
数学问题
构建直角三角形
图形转化
条件转化
解直角三角形
解方程
课堂小结
3. 利用仰俯角解直角三角形常见的基本模型：
模型四
模型一
A
D
B
E
C
α
模型二
β
α
A
B
C
D
模型三
β
α
A
B
C
D
α
β
A
B
C
D
1. 如图，一次课外活动中，小李同学在离旗杆 AB 底部 10m 远的 C 处，用测角仪测得旗杆顶部 A 的仰角为 60°，已知 CD=1m，则 AB= m
2. 如图，从地面上的 C，D 两点测得树顶 A 仰角分别是45°和30°，已知 CD=200m，点 C 在 BD 上，则树高AB等于 （根号保留）．
?
课堂练习
3. 如图，在离铁塔 BE 的120m的 A 处，用测角仪测量塔顶的仰角为 30°，已知测角仪高 AD=1.5m，则塔高 BE= （根号保留）．
4. 如图，两建筑物 AB 和 CD 的水平距离为 30米，从 A 点测得 D点的俯角为 30°，测得 C 点的俯角为60°，则建筑物 CD 的高为 米.
B
C
A
D
C
E
5. 目前世界上最高的电视塔是广州新电视塔．如图所示，新电视塔高AB为610米，远处有一栋大楼，某人在楼底C处测得塔顶B的仰角为45°，在楼顶D处测得塔顶B的仰角为39°，求大楼的高度CD。（精确到1米， tan39°≈0.81 ）
39°
45°
A
B
D
C
E
解：过点 D 作 DE⊥AB 于点 E，
由题意，AC＝AB＝610m，DE＝AC＝610m，
在Rt△BDE中，tan∠BDE＝
故BE＝DE·tan39°．
∵CD＝AE，
∴CD＝AB－DE·tan39° ≈116（米）.
答：大楼的高度CD约为116m.
第1课时 仰角，俯角问题
第二十八章 锐角三角函数
人教版数学九年级下册
直角三角形中，由已知的两个元素(至少有1个是边)，求出未知元素的过程，叫解直角三角形。
2. 解直角三角形的依据：
(1)三边之间的关系:
a2＋b2＝c2（勾股定理）；
(2)锐角之间的关系:
∠ A＋∠B＝90?；
(3)边角之间的关系:
锐角三角函数；
1. 解直角三角形：
(1)有角先求角，无角先求边。
(2)有斜用弦，无斜用切；宁乘毋除，取原避中。
3. 解直角三角形的原则：
知识回顾
1
能运用解直角三角形知识解决仰角和俯角有关的实际问题.(重点、难点)
2
进一步体会数形结合、转化、方程的数学思想，并从这些问题中归纳出常见的基本模型及解题思路. (重点)
学习目标
仰角和俯角
在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；
从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角.
水平线
视 线
视 线
仰角
俯角
探究新知
利用解直角三角形解决仰俯角问题
合作探究
直升飞机在跨江大桥AB的上方P点处，此时飞机离地面的高度PO=450m，且A、B、O三点在一条直线上，测得大桥两端的俯角分别为α=30°，β=45°，求大桥的长AB .
β
α
P
A
B
O
450m
解：由题意可知
∠OAP=∠α=30°，∠OBP=∠β=45°
?
在Rt△OBP中，∠POB=90°, ∠OBP=45°
∴ ∠OBP=∠OPB
∴OB=OP=450m
∴大桥的长AB为：OA-OB =
?
探究新知
利用解直角三角形解决仰俯角问题
变式1
直升飞机在长400m的跨江大桥AB的上方P点处，且A、B、O三点在一条直线上，在大桥的A、B两端测得飞机的仰角分别为30°和 45°，求飞机的高度PO .
β
α
P
A
B
O
400m
?
解法一：
?
解法二：
利用解直角三角形解决仰俯角问题
变式2
直升飞机在高为 200m 的大楼 AB 上方 P 点处，从大楼的顶部和底部测得飞机的仰角为30° 和 45°，求飞机的高度 PO .
45°
30°
P
O
B
A
200m
C
分析：过点 A 作 AC⊥OP 于点 C，构建直角三角形 ACP 和矩形 ABOC，利用矩形的性质和解直角三角形的知识解决问题。
答案：飞机的高度 PO为
?
利用解直角三角形解决仰俯角问题
变式3
直升飞机在高为 200m 的大楼 AB 左侧 P 点处，测得大楼的顶部仰角为 45°，测得大楼底部俯角为 30°，求飞机与大楼之间的水平距离.
分析：过点 P 作 PC⊥AB 于点 C，构建直角三角形 ACP 和直角三角形 BCP ，设PC长为x，用 x 表示出AC，BC的长，以AB为等量关系，利用方程思想解决问题。
200m
45°
30°
P
B
A
C
答案:飞机与大楼之间的水平距离为
?
利用解直角三角形解决仰俯角问题
常见基本模型
模型四
模型一
A
D
B
E
C
α
模型二
β
α
A
B
C
D
模型三
β
α
A
B
C
D
α
β
A
B
C
D
?
30°
60°
B
C
A
D
答：这栋楼高约为277.1m.
解：如图，a = 30°，β= 60°， AD＝120．
针对练习
2. 建筑物BC上有一旗杆AB，由距BC为40m的D处观察旗杆顶部A的仰角为54°，观察底部B的仰角为45°，求旗杆的高度（精确到0.1m）.
(参考数据：sin54°≈0.81， cos54°≈0.59， tan54°≈1.38)
B
A
C
D
在Rt△ACD中，∠ACD=90°，
∴ BC=CD=40m.
∴ AB = AC-BC=55.2-40=15.2 (m).
答：旗杆的高度约为15.2m
解：由题意可知，∠BDC=45°，∠ADC=54°，CD=40m , AC⊥CD
在Rt△BCD中，∠BCD=90°， ∠BDC=45°
?
A
B
D
C
E
F
M
答：该塔约有45m.
解：由题意可知，∠AEM=30°，∠AFM=60°，
DE=CF=BM=1.5m , EF=CD=50m , EM⊥AB
设AM为 x m，
∵
?
?
∴
?
?
∵EF=EM-FM=50m
∴
?
解得：
?
∴AB=AM+BM ≈ 45m
例题讲解
在我市迎接奥运圣火的活动中，某校教学楼上悬挂着宣传条幅DC，小丽同学在点A处，测得条幅顶端D的仰角为30°，再向条幅方向前进10米后， 又在点B处测得条幅顶端D的仰角为45°，已知点A、B和C离地面高度都为1.44米，求条幅顶端D点距离地面的高度．(计算结果精确到0.1米)
(参考数据: )
答案：条幅顶端D点距离地面的高度大约15.1米。
针对练习
1．把实际问题转化成数学问题，包括两个方面：
一是：图形转化。即将实际问题的图形转化为几何图形，画出正确的示意图；
二是：条件转化。即将已知条件转化为示意图中的边、角或它们之间的关系.
2．把数学问题转化成解直角三角形问题的方法：
添加适当的辅助线，构造直角三角形。
实际问题
数学问题
构建直角三角形
图形转化
条件转化
解直角三角形
解方程
课堂小结
3. 利用仰俯角解直角三角形常见的基本模型：
模型四
模型一
A
D
B
E
C
α
模型二
β
α
A
B
C
D
模型三
β
α
A
B
C
D
α
β
A
B
C
D
1. 如图，一次课外活动中，小李同学在离旗杆 AB 底部 10m 远的 C 处，用测角仪测得旗杆顶部 A 的仰角为 60°，已知 CD=1m，则 AB= m
2. 如图，从地面上的 C，D 两点测得树顶 A 仰角分别是45°和30°，已知 CD=200m，点 C 在 BD 上，则树高AB等于 （根号保留）．
?
课堂练习
3. 如图，在离铁塔 BE 的120m的 A 处，用测角仪测量塔顶的仰角为 30°，已知测角仪高 AD=1.5m，则塔高 BE= （根号保留）．
4. 如图，两建筑物 AB 和 CD 的水平距离为 30米，从 A 点测得 D点的俯角为 30°，测得 C 点的俯角为60°，则建筑物 CD 的高为 米.
B
C
A
D
C
E
5. 目前世界上最高的电视塔是广州新电视塔．如图所示，新电视塔高AB为610米，远处有一栋大楼，某人在楼底C处测得塔顶B的仰角为45°，在楼顶D处测得塔顶B的仰角为39°，求大楼的高度CD。（精确到1米， tan39°≈0.81 ）
39°
45°
A
B
D
C
E
解：过点 D 作 DE⊥AB 于点 E，
由题意，AC＝AB＝610m，DE＝AC＝610m，
在Rt△BDE中，tan∠BDE＝
故BE＝DE·tan39°．
∵CD＝AE，
∴CD＝AB－DE·tan39° ≈116（米）.
答：大楼的高度CD约为116m.