28.1 余弦正切（第2课时） 课件(共19张PPT）

28.1 锐角三角函数
第2课时 余弦和正切
第二十八章 锐角三角函数
人教版数学九年级下册
1
认识并理解余弦、正切的概念进而得到锐角三角函数的概念. (重点)
2
能灵活运用锐角三角函数进行相关运算. (重点、难点)
学习目标
如图：在Rt △ABC中，∠C＝90°，∠A的正弦怎么表示？
问题
在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，当锐角 A 确定时，∠A的对边与斜边的比就随之确定。此时，其他边之间的比是否也确定了呢？
1、sinA 是在直角三角形中定义的，∠A是锐角(注意数形结合，构造直角三角形)。
2、sinA 是一个比值（数值），无单位。
3、sinA 的大小只与∠A的大小有关，而与直角三角形的边长无关。
复习引入
一、余弦的概念
自主探究
如图所示， △ABC 和 △DEF 都是直角三角形， 其中∠A =∠D，∠C =∠F = 90°，则 成立吗？为什么？
A
B
C
D
E
F
方法一：
∵∠A=∠D，∠C=∠F=90°，
∴△ABC ∽△DEF ，
∴
方法二：
∵∠A=∠D，∠C=∠F=90°，
∴∠B=∠E，
∴ sinB = sinE，
∴
在有一个锐角相等的所有直角三角形中，无论直角三角形的大小如何，这个锐角的邻边与斜边的比值也是一个固定值。
探究新知
一、余弦的概念
知识归纳
在直角三角形中，我们把锐角A的邻边与斜边的比叫做
∠A的余弦，
记作 cos A 。
?
?
知识点拨
若：∠A + ∠B=90°
则： sinA = cosB
cosA = sinB
1. 如图，在Rt△ABC中，锐角A的邻边和斜边同时扩大100倍，
cosA的值（ ）
A.扩大100倍 B.缩小100倍
C.不变 D.不能确定
A
B
C
┌
C
2.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，
垂足为D。
A
B
C
D
AD
AB
BD
AB
?
?
针对练习
A
B
C
8
3. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，
sinA＝ ，则cosA= ，sinB= 。
?
4. 在△ABC 中，AB=AC＝4，BC =6，则cosB= 。
5. 已知∠A为锐角，sinA＝ ，则cosA= 。
?
?
?
?
?
二、正切的概念
自主探究
如图所示， △ABC 和 △DEF 都是直角三角形， 其中∠A =∠D，∠C =∠F = 90°，则 成立吗？为什么？
A
B
C
D
E
F
在有一个锐角相等的所有直角三角形中，无论直角三角形的大小如何，这个锐角的对边与邻边的比值也是一个固定值。
∵∠A=∠D，∠C=∠F=90°，
∴△ABC ∽△DEF ，
∴
?
∴
?
探究新知
二、正切的概念
知识归纳
在直角三角形中，我们把锐角A的对边与邻边的比叫做
∠A的正切，
记作 tan A 。
?
?
若：∠A + ∠B=90° 则：tan A· tan B=1
思 考
如果两个角互余，那么这两个角的正切值有什么关系？
1. 如图，平面直角坐标系中，若点 P 坐标为 (3，4)，则 OP 与 x 轴正方向所夹锐角 α 的正切值为 .
2. 如图，△ABC 中一边 BC 与以 AC 为直径的 ⊙O
相切与点 C，若 BC=4，AB=5，则 tanA=___.
?
A
C
A
B
针对练习
三、锐角三角函数
∟
B
A
C
斜边
对边
邻边
对于锐角 A 的每一个值，sinA 有唯一的值和它对应，所以 sinA 是锐角 A 的函数。
同样地，cosA，tanA 也是锐角 A 的函数。
锐角 A 的正弦、余弦、正切都叫做∠A的三角函数。
探究新知
三、锐角三角函数
例：如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AB=10，BC=6，
求sinA，cosA，tanA的值.
A
B
C
10
6
解：由勾股定理得
因此
例题讲解
1. 在Rt△ABC中，∠C = 90°，AC = 12，AB =13.
sinA=______，cosA=______，tanA=____，
sinB=______，cosB=______，tanB=____.
A
B
C
8
2. 如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AC = 8，tanA= ，
则sinA= ，cosB = ．
?
?
针对练习
余弦和正切
余弦函数的概念
性 质
若：∠A + ∠B=90°
则： sinA = cosB
cosA = sinB
tan A· tan B=1
?
正切函数的概念
?
课堂小结
2. 随着锐角 α 的增大，cosα 的值 ( )
A. 增大 B. 减小 C. 不变 D. 不确定
1. 如图，在 Rt△ABC 中，斜边 AB 的长为 m，
∠A=35°，则直角边 BC 的长是 ( )
A.
B.
C.
D.
A
A
B
C
B
当 0°＜α＜90°时，cos α 的值随着角度的增大而减小。
课堂练习
3. 已知 ∠A，∠B 为锐角，
(1) 若∠A =∠B，则 cosA cosB；
(2) 若 tanA = tanB，则∠A ∠B.
(3) 若 tanA · tanB = 1，则 ∠A 与 ∠B 的关系为： .
=
=
∠A +∠B = 90°
4. 如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB = 90°，CD⊥AB，
垂足为 D. 若 AD = 6，CD = 8. 求 tanB 的值.
解: ∵ ∠ACB＝ ∠ADC =90°，
∴∠B+ ∠A=90°，
∠ACD+ ∠A =90°，
∴∠B = ∠ACD，
∴ tan∠B = tan∠ACD =
5. sin70°，cos70°，tan70°的大小关系是 ( )
A. tan70°＜cos70°＜sin70° B. cos70°＜tan70°＜sin70°
C. sin70°＜cos70°＜tan70° D. cos70°＜sin70°＜tan70°
解析：根据锐角三角函数的概念，
知 sin70°＜1，cos70°＜1，tan70°＞1.
又∵cos70°＝sin20°，正弦值随着角的增大而增大，
∴sin70°＞cos70°＝sin20°.
故选D.
D