空间向量及其加减与数乘运算

(共34张PPT)
复习回顾：
平面向量
1、定义：
既有大小又有方向的量。
几何表示法:用有向线段表示
字母表示法：
用小写字母表示，或者用表示向量的
有向线段的起点和终点字母表示。
相等向量：长度相等且方向相同的向量
A
B
C
D
2、平面向量的加法、减法与数乘运算
向量加法的三角形法则
a
b
向量加法的平行四边形法则
b
a
向量减法的三角形法则
a
b
a －
b
a ＋
b
a (k>0)
k
a (k<0)
k
向量的数乘
a
3、平面向量的加法、减法与数乘运算律
加法交换律：
加法结合律：
数乘分配律：
推广:
（1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始
向量的起点指向末尾向量的终点的向量；
（2）首尾相接的若干向量若构成一个封闭图
形，则它们的和为零向量。
正东
正北
向上
F3
F3=15N
已知F1=10N,
F2=15N，
F1
F2
这三个力两两之间的夹角都为90度,
它们的合力的大小为多少N
这需要进一步来认识空间中的向量
起点
终点
平面向量
概念
加法
减法
数乘
运算
运
算
律
定义
表示法
相等向量
减法:三角形法则
加法:三角形法则或
平行四边形法则
空间向量及其加减与数乘运算
空间向量
具有大小和方向的量
数乘:ka,k为正数,负数,零
加法交换律
加法结合律
数乘分配律
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
C
A
B
D
b
a
平面向量
概念
加法
减法
数乘
运算
运
算
律
定义
表示法
相等向量
减法:三角形法则
加法:三角形法则或
平行四边形法则
空间向量及其加减与数乘运算
空间向量
具有大小和方向的量
数乘:ka,k为正数,负数,零
加法交换律
加法结合律
数乘分配律
a
b
a
b
a
b
+
O
A
b
B
C
a (k>0)
k
a (k<0)
k
空间向量的数乘
空间向量的加减法
a
b
a
b
O
A
B
b
结论：空间任意两个向量都是共面向量，所以它们可用
同一平面内的两条有向线段表示。
因此凡是涉及空间任意两个向量的问题，平面向量中有
关结论仍适用于它们。
思考：它们确定的平面是否唯一？
思考：空间任意两个向量是否可能异面？
平面向量
概念
加法
减法
数乘
运算
运
算
律
定义
表示法
相等向量
减法:三角形法则
加法:三角形法则或
平行四边形法则
空间向量及其加减与数乘运算
空间向量
具有大小和方向的量
数乘:ka,k为正数,负数,零
加法交换律
加法结合律
数乘分配律
加法交换律
数乘分配律
加法:三角形法则或
平行四边形法则
减法:三角形法则
数乘:ka,k为正数,负数,零
加法结合律
成立吗？
a
b
c
O
B
C
a
b
+
a
b
c
O
B
C
b
c
+
(平面向量)
向量加法结合律在空间中仍成立吗
a
b
+
c
+
(
)
a
b
+
c
+
(
)
A
A
( a + b )+ c = a +( b + c )
a
b
c
O
A
B
C
a
b
+
a
b
c
O
A
B
C
b
c
+
(空间向量)
a
b
+
c
+
(
)
a
b
+
c
+
(
)
( a + b )+ c = a +( b + c )
向量加法结合律：
空间中
推广:
（1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始
向量的起点指向末尾向量的终点的向量；
（2）首尾相接的若干向量若构成一个封闭图
形，则它们的和为零向量。
平面向量
概念
加法
减法
数乘
运算
运
算
律
定义
表示法
相等向量
减法:三角形法则
加法:三角形法则或
平行四边形法则
空间向量
具有大小和方向的量
数乘:ka,k为正数,负数,零
加法交换律
加法结合律
数乘分配律
小结
加法交换律
数乘分配律
加法结合律
类比思想 数形结合思想
数乘:ka,k为正数,负数,零
?
例如:
定义:
我们知道平面向量还有数乘运算.
类似地,同样可以定义空间向量的数乘运算,其运算律是否也与平面向量完全相同呢
显然,空间向量的数乘运算满足分配律及结合律
例1：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，化简下列向量
表达式，并标出化简结果的向量。(如图)
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
A
B
C
D
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
A
B
C
D
a
平行六面体：平行四边形ABCD平移向量
到A1B1C1D1的轨迹所形成的几何体.
a
记做ABCD-A1B1C1D1
例1：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，化简下列向量
表达式，并标出化简结果的向量。(如图)
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
G
M
始点相同的三个不共面向量之和，等于以这三个向量
为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所示向量
F1
F2
F1=10N
F2=15N
F3=15N
F3
例2：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，
求满足下列各式的x的值。
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
例2：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，
求满足下列各式的x的值。
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
例2：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，
求满足下列各式的x的值。
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
例2：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，
求满足下列各式的x的值。
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
A
B
M
C
G
D
练习1
在空间四边形ABCD中,点M、G分别是BC、CD边的中点,化简
A
B
M
C
G
D
(2)原式
练习1
在空间四边形ABCD中,点M、G分别是BC、CD边的中点,化简
A
B
C
D
D
C
B
A
练习2
在立方体AC1中,点E是面AC’ 的中心,求下列各式中的x,y.
E
A
B
C
D
D
C
B
A
练习2
E
在立方体AC1中,点E是面AC’ 的中心,求下列各式中的x,y.
A
B
C
D
D
C
B
A
练习2
E
在立方体AC1中,点E是面AC’ 的中心,求下列各式中的x,y.
作业
A
M
C
G
D
B