苏科版七年级数学下册第7章平面图形得认识-多边形的内角和与外角和教案

多边形的内角和与外角和
【教学目标】
1.学会探究多边形内角和与外角和的规律
2.能灵活应用多边形内角和与外角和的公式
【知识链接】
一.多边形的内角和
1.三角形的内角和等于180°
2.n边形的内角和等于（n－2）180°
3.多边形的内角和随着边数的增加而增加，每增加一条边，它的内角和就增加180°
4.利用公式，已知多边形的边数，可以求内角和，同理，已知内角和也可以求边数
二．多边形的外角和
多边形的外角和为360°，它与边数无关
注意
n边形有2n个外角，而外角和是每个顶点处只取一个外角的和，不是所有外角的和.
知识点一：三角形的内角和的运用
【例题1】下列各组角中，哪一组是同一个三角形的内角(　　)
A．95°，80°，5°
B．63°，70°，67°
C．34°，36°，50°
D．25°，160°，15°
【变式1】已知△ABC中，∠A＝∠B＋∠C，则△ABC的形状是(　　)
A．直角三角形
B．锐角三角形
C．等腰三角形
D．钝角三角形
【变式2】已知△ABC中，∠B是∠A的2倍，∠C比∠A大20°，则∠A等于(　　)
A．40°
B．60°
C．80°
D．90°
【变式3】
下列条件中，能判定△ABC为直角三角形的是(
)．
A．∠A=2∠B一3∠C
B．∠A+∠B=2∠C
C．∠A一∠B=30°
D．∠A=∠B=∠C
【变式4】
(1)如图①，把△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在四边形BCED内部的点A′处，此时∠A与∠1，∠2之间存在什么样的关系？
请你继续探索：
(2)如果把△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在四边形BCED外部的点A′处，如图②，此时∠A与∠1，∠2之间存在什么样的关系？
知识点二：多边形的内角和的运用
【例题2】（1）七边形的内角和是(　　)
A．180°
B．360°
C．900°
D．1080°
（2）已知一个多边形的内角和是900°，则这个多边形是(　　
)
A．五边形
B．六边形
C．七边形
D．八边形
【变式1】如图7－5－10，在四边形ABCD中，如果∠A＋∠B＋∠C＝260°，那么∠D的度数为(　　)
A．120°　
　B．110°
C．100°
　　D．90°
【变式2】已知在一个十二边形中，其中十一个内角的度数和是1680°，求这个十二边形另一个内角的度数．
【变式3】一个多边形的每个内角都等于144°，则这个多边形的边数是(　　)
A．8
B．9
C．10
D．11
【变式4】如图，一块较为精密的模板中，AB，CD的延长线应该相交成80°的角，因交点不在模板上，不便测量，测得∠BAE＝124°，∠DCF＝155°，AE⊥EF，CF⊥EF，此时AB，CD的延长线相交成的角是否符合规定？为什么？
知识点三：多边形的外角和的运用
【例题3】如果一个多边形的每个外角都等于36°，那么它的边数是(　　)
A．9
B．10
C．11
D．12
【变式1】∠1，∠2，∠3，∠4是五边形ABCDE的4个外角，若∠EAB＝120°，则∠1＋∠2＋∠3＋∠4等于(　　)
A．540°
B．360°
C．300°
D．240°
【变式2】一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形是(　　)
A．四边形
B．五边形
C．六边形
D．八边形
【变式3】如图，小亮从点A出发，沿直线前进10米后向左转36°，再沿直线前进10米，再向左转36°……照这样走下去，他第一次回到出发点A时，一共走的路程是________米．
变式3
变式4
【变式4】如图所示的七边形ABCDEFG中，∠1，∠2，∠3，∠4
四个角的外角的度数和为180°，∠5
的外角的度数为60°，BP，DP
分别平分∠ABC，∠CDE，则∠BPD
的度数是(　　)
A．130°
B．120°
C．110°
D．100°
知识点四：多边形模型
【例题4】两条内角平分线
已知：如图，∠B、∠C的平分线BP、CP交于点P
求证：∠BPC=90°+∠A
【变式1】两条外角平分线
已知：如图，∠CBE、∠BCF的平分线BP、CP交于点P
求证：∠P=90°-∠A
【变式2】一条内角平分线和一条外角平分线
已知：如图，∠ABC、∠ACD的平分线BP、CP交于点P
求证：∠P=∠A
【变式3】8字模型和飞镖模型
（1）如图
1，
AD
与
BC
相交于点
O，
∠A+∠B
和∠C+∠D
有怎样的数量关系？为什么？
请直接利用⑴中的结论，解答下列问题：
⑵如图
2
称为
2
环三角形，它的内角和（
∠A+∠B+∠C+∠A1+∠B1+∠C1）是多少度？并说明理由.
⑶如图
3
称为
2
环四边形，
它的内角和
∠A+∠B+∠C+∠D+∠A1+∠B1+∠C1
+∠D1=______度（只要直接写出结论）．
⑷依次规律，请你探究：
2
环
n
边形的内角和为______度.（用含
n
的式子表示，只要直接写出结论）．
【当堂练习】
1.如果一个正方形被截掉一个角后，得到一个多边形，那么这个多边形的内角和是________．
2.如图，∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7等于(　　)
A．450°
B．540°
C．630°
D．720°
3.如图，纸片△ABC中，∠A=55°，∠B=75°，将纸片的一角折叠，使C点落在△ABC内的C’处，则∠1+∠2=
°
4.如图，∠A+∠B+∠C+∠D
+∠E+∠F+∠G=
°
第2题
5.如图，线段AB、CD交于点O，连接AD、BC，我们把形如图1的图形称为“8字形”.
（1）如图（1），直接写出∠A+∠D与∠B+∠C的关系；
（2）如图（2），∠DAB和∠BCD的平分线AP、CP交于点P，且分别与AB、CD交于点M、N，∠D=46°，∠B=30°.
先观察图中还有哪些“8字形”，再利用（1）的结论求∠P的度数；
（3）在（2）中，若∠D=α，∠B=β，直接写出∠P的度数(用含有α、β的式子表示).
【课后作业】
1.在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5，则△ABC为(　　)
A．锐角三角形
B．钝角三角形
C．直角三角形
D．无法确定
2.已知一个多边形的内角和与外角和的比是9：2，则这个多边形的边数是（
）
A.
9
B.
10
C.
11
D.
12
3.如图，在正五边形ABCDE中，连接BE，则∠ABE的度数为（
）
A.
B.
C.
D.
4.已知△ABC中，∠A=x°
（1）如图1，若∠ABC和∠ACB的角平分线相交于点O，则用x表示∠BOC=　　°.
（2）如图2，若∠ABC和∠ACB的三等分线相交于点O1、O2，则用x表示∠BO1C为多少度？请写出求解过程.
（3）如图3，若∠ABC和∠ACB的n等分线相交于点O1、O2、…、On﹣1，则用x表示∠BO1C=　　°