9.4矩形、菱形、正方形(1)-苏科版八年级数学下册
培优训练
一、选择题
1、如图，在矩形ABCD中，AB＜BC，AC，BD相交于点O，则图中等腰三角形的个数是(
)
A．8
B．6
C．4
D．2
（1题）
（3题）
（4题）
（5题）
2、矩形具有而平行四边形不具有的性质是( )
A．对角线互相平分
B．对角相等
C．邻角互补
D．对角线相等
3、如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，以下说法错误的是(
)
A．∠ABC＝90°
B．AC＝BD
C．OA＝OB
D．OA＝AD
4、如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠AOB＝60°，AC＝6
cm，
则AB的长是( )
A．3
cm
B．6
cm
C．10
cm
D．12
cm
5、如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD于点E，若∠DAE∶∠BAE＝3∶1，则∠EAC的度数是(
)
A．18°
B．36°
C．45°
D．72°
6、在矩形ABCD中，对角线AC＝10cm，AB：BC＝4：3，则它的周长为（ ）cm．
A．14
B．20
C．28
D．30
7、如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，过对角线交点O作EF⊥AC交AD于点E.交BC于点F，
则DE的长是(
)
A．1
B．
C．2
D．
（7题）
（8题）
（9题）
（12题）
8、如图，在矩形COED中，点D的坐标是（1，3），则CE的长是（ ）
A．3
B．
C．
D．4
9、如图，点P是矩形ABCD的边AD上的一动点，矩形的两条边AB，BC的长分别是6和8，
则点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是( )
A．4.8
B．5
C．6
D．7.2
10、在?ABCD中，AB＝3，BC＝4，连接AC，BD，
当?ABCD的面积最大时，下列结论正确的有( )
①AC＝5;
②∠BAD＋∠BCD＝180°；③AC⊥BD;
④AC＝BD.
A．①②③
B．①②④
C．②③④
D．①③④
二、填空题
11、在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若∠AOB＝60°，AC＝10，则AB＝_____.
12、如图，矩形ABCD的对角线交于点O，若∠ACB＝30°，AB＝2，则OC的长为_______．
13、如图在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，如果∠ADO＝75°，那么∠AOD的度数是___
（13题）
（14题）
（15题）
14、如图，矩形ABCD的两对角线交于点O，过点O作AC的垂线EF，分别交AD，BC于点E，F，连接CE，已知△CDE的周长为24
cm，则矩形ABCD的周长是__
__
cm.
15、如图，在矩形ABCD中，AE平分∠BAD，且BE∶EC＝2∶3，若CE＝6，则CD的长为_____
16、如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，若AC＝4，
则四边形OCED的周长为________
（16题）
（17题）
（18题）
（9题）
17、如图，矩形ABCD中，∠BAC＝60°，以点A为圆心，以任意长为半径作弧分别交AB，AC于M，N两点，再分别以点M，N为圆心，以大于MN的长为半
径作弧交于点P，作射线AP交BC于点E，若BE＝1，则矩形ABCD的面积等于_______．
18、如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点E是BC上一点，且AB＝BE，∠1＝15°，
则∠2＝_______.
19、如图，在矩形ABCD中，AD＝8，对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BD，垂足为点E，且AE平分∠BAC，则AB的长为_________．
三、解答题
20、如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别在边AD，BC上，且DE＝CF，连接OE，OF，求证：OE＝OF.
21、如图，四边形ABCD是矩形，对角线AC、BD相交于点O，CE∥BD，交AB的延长线于点E.
求证：△ACE是等腰三角形．
22、如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F在BD上，BE＝DF.
(1)求证：AE＝CF；
(2)若AB＝6，∠COD＝60°，求矩形ABCD的面积．
23、如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，EB∥DF且BE与DF之间的距离为3，求AE的长.
24、如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，延长CE，BA交于点F，连接AC，DF.
(1)求证：四边形ACDF是平行四边形；
(2)当CF平分∠BCD时，写出BC与CD的数量关系，并说明理由．
25、如图所示，在矩形ABCD中，AE⊥BD于点E，∠DAE∶∠BAE＝3∶1，求∠BAO和∠EAO的度数．
26、如图，矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，点O是对角线BD的中点，过点O的直线分别交AB，CD边于点E，F.
(1)求证：四边形DEBF是平行四边形；
(2)当DE＝DF时，求EF的长．
9.4矩形、菱形、正方形(1)-苏科版八年级数学下册
培优训练（答案）
一、选择题
1、如图，在矩形ABCD中，AB＜BC，AC，BD相交于点O，则图中等腰三角形的个数是(
C
)
A．8
B．6
C．4
D．2
2、矩形具有而平行四边形不具有的性质是( D )
A．对角线互相平分
B．对角相等
C．邻角互补
D．对角线相等
3、如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，以下说法错误的是(
D
)
A．∠ABC＝90°
B．AC＝BD
C．OA＝OB
D．OA＝AD
4、如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠AOB＝60°，AC＝6
cm，
则AB的长是( A )
A．3
cm
B．6
cm
C．10
cm
D．12
cm
5、如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD于点E，若∠DAE∶∠BAE＝3∶1，则∠EAC的度数是(
C
)
A．18°
B．36°
C．45°
D．72°
6、在矩形ABCD中，对角线AC＝10cm，AB：BC＝4：3，则它的周长为（ ）cm．
A．14
B．20
C．28
D．30
【解答】解：设AB＝4xcm，则BC＝3xcm，
∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝90°，AB＝CD，AD＝BC，
∴AC＝＝＝5x（cm），∴5x＝10cm，∴x＝2cm，
∴AB＝8cm，BC＝6cm，∴矩形ABCD的周长＝2（8+6）＝28（cm），故选：C．
7、如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，过对角线交点O作EF⊥AC交AD于点E.交BC于点F，
则DE的长是( B )
A．1
B．
C．2
D．
8、如图，在矩形COED中，点D的坐标是（1，3），则CE的长是（ ）
A．3
B．
C．
D．4
【解答】解：∵四边形COED是矩形，∴CE＝OD，
∵点D的坐标是（1，3），∴OD＝＝，∴CE＝，
故选：C．
9、如图，点P是矩形ABCD的边AD上的一动点，矩形的两条边AB，BC的长分别是6和8，
则点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是( A
)
A．4.8
B．5
C．6
D．7.2
10、在?ABCD中，AB＝3，BC＝4，连接AC，BD，
当?ABCD的面积最大时，下列结论正确的有( B )
①AC＝5;
②∠BAD＋∠BCD＝180°；③AC⊥BD;
④AC＝BD.
A．①②③
B．①②④
C．②③④
D．①③④
二、填空题
11、在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若∠AOB＝60°，AC＝10，则AB＝__5
____.
12、如图，矩形ABCD的对角线交于点O，若∠ACB＝30°，AB＝2，则OC的长为___2_____．
13、如图在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，如果∠ADO＝75°，那么∠AOD的度数是_30°__
14、如图，矩形ABCD的两对角线交于点O，过点O作AC的垂线EF，分别交AD，BC于点E，F，连接CE，已知△CDE的周长为24
cm，则矩形ABCD的周长是__48
__
cm.
15、如图，在矩形ABCD中，AE平分∠BAD，且BE∶EC＝2∶3，若CE＝6，则CD的长为_4_____
16、如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，若AC＝4，
则四边形OCED的周长为_____8____
17、如图，矩形ABCD中，∠BAC＝60°，以点A为圆心，以任意长为半径作弧分别交AB，AC于M，N两点，再分别以点M，N为圆心，以大于MN的长为半
径作弧交于点P，作射线AP交BC于点E，若BE＝1，则矩形ABCD的面积等于___
3_____．
18、如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点E是BC上一点，且AB＝BE，∠1＝15°，
则∠2＝____30°
____.
19、如图，在矩形ABCD中，AD＝8，对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BD，垂足为点E，且AE平分∠BAC，则AB的长为____
_____．
三、解答题
20、如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别在边AD，BC上，且DE＝CF，连接OE，OF，求证：OE＝OF.
证明：∵四边形ABCD是矩形，∴OA＝OC＝OB＝OD，AD∥BC，
∴∠ADO＝∠OBC＝∠OCB.
又∵DE＝CF，OC＝OD，∴△DOE≌△COF，∴OE＝OF
21、如图，四边形ABCD是矩形，对角线AC、BD相交于点O，CE∥BD，交AB的延长线于点E.
求证：△ACE是等腰三角形．
证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD，AB∥CD，∠ABC＝90°，AB＝CD，∴AE∥CD，
∵CE∥BD，∴四边形BECD是平行四边形，∴BD＝CE，
∴AC＝CE，∴△ACE是等腰三角形
22、如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F在BD上，BE＝DF.
(1)求证：AE＝CF；
(2)若AB＝6，∠COD＝60°，求矩形ABCD的面积．
(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD，∠ABC＝90°，
∵BE＝DF，∴OE＝OF，
在△AOE和△COF中，∴△AOE≌△COF(SAS)，∴AE＝CF
(2)解：∵OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD，∴OA＝OB，∵∠AOB＝∠COD＝60°，
∴△AOB是等边三角形，∴OA＝AB＝6，∴AC＝2OA＝12，
在Rt△ABC中，BC＝＝6，∴矩形ABCD的面积＝AB·BC＝6×6＝36
23、如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，EB∥DF且BE与DF之间的距离为3，求AE的长.
解：如图，过点D作DG⊥BE，垂足为G，则GD＝3.
∵∠A＝∠G，∠AEB＝∠GED，AB＝GD＝3，
∴△AEB≌△GED.
∴AE＝EG.
设AE＝EG＝x，则ED＝4－x，
在Rt△DEG中，ED2＝GE2＋GD2，
即x2＋32＝(4－x)2，解得x＝.
24、如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，延长CE，BA交于点F，连接AC，DF.
(1)求证：四边形ACDF是平行四边形；
(2)当CF平分∠BCD时，写出BC与CD的数量关系，并说明理由．
解：(1)∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴∠FAE＝∠CDE，
∵E是AD的中点，∴AE＝DE，
又∵∠FEA＝∠CED，∴△FAE≌△CDE，∴CD＝FA，
又∵CD∥AF，∴四边形ACDF是平行四边形
(2)BC＝2CD.
证明：∵CF平分∠BCD，∴∠DCE＝45°，
∵∠CDE＝90°，∴△CDE是等腰直角三角形，∴CD＝DE，
∵E是AD的中点，∴AD＝2CD，
∵AD＝BC，∴BC＝2CD
25、如图所示，在矩形ABCD中，AE⊥BD于点E，∠DAE∶∠BAE＝3∶1，求∠BAO和∠EAO的度数．
解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠DAB＝90°，AO＝AC，BO＝BD，AC＝BD.
∴∠BAE＋∠DAE＝90°，AO＝BO.
又∵∠DAE∶∠BAE＝3∶1，
∴∠BAE＝22.5°，∠DAE＝67.5°.
∵AE⊥BD，∴∠ABE＝90°－∠BAE＝90°－22.5°＝67.5°.
∵AO＝BO，∴∠BAO＝∠ABE＝67.5°.
∴∠EAO＝∠BAO－∠BAE＝67.5°－22.5°＝45°.
26、如图，矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，点O是对角线BD的中点，过点O的直线分别交AB，CD边于点E，F.
(1)求证：四边形DEBF是平行四边形；
(2)当DE＝DF时，求EF的长．
(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴∠DFO＝∠BEO，
又因为∠DOF＝∠BOE，OD＝OB，
∴△DOF≌△BOE(AAS)，∴DF＝BE，
又因为DF∥BE，∴四边形BEDF是平行四边形
(2)解：∵四边形BEDF是平行四边形，∴OE＝OF，DF＝BE，
∵DE＝DF，∴DE＝BE，EF⊥BD，
设AE＝x，则DE＝BE＝8－x，
在Rt△ADE中，根据勾股定理，有AE2＋AD2＝DE2，∴x2＋62＝(8－x)2，解得x＝，
∴DE＝8－＝，
在Rt△ABD中，根据勾股定理，有AB2＋AD2＝BD2，∴BD＝＝10，
∴OD＝BD＝5，在Rt△DOE中，根据勾股定理，有DE2－OD2＝OE2，
∴OE＝＝，
∴EF＝2OE＝9.4矩形、菱形、正方形(2)-苏科版八年级数学下册
培优训练
一、选择题
1、下列关于矩形的说法中,正确的是
( )
A.对角线相等的四边形是矩形
B.矩形的对角线相等且互相平分
C.对角线互相平分的四边形是矩形
D.矩形的对角线互相垂直且平分
2、已知平行四边形ABCD,下列条件中,不能判定这个平行四边形为矩形的是
( )
A.∠A=∠B
B.∠A=∠C
C.AC=BD
D.AB⊥BC
3、如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是( )
A．AB＝CD
B．AD＝BC
C．∠AOB＝45°
D．∠ABC＝90°
（3题）
（5题）
（6题）
4、在?ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，再添加一个条件，仍不能判定四边形ABCD是矩形的是( )
A．AB＝AD
B．OA＝OB
C．AC＝BD
D．DC⊥BC
5、如图，在平行四边形ABCD中，M，N是BD上两点，BM＝DN，连接AM，MC，CN，NA，添加一个条件，使四边形AMCN是矩形，这个条件是( )
A．OM＝AC
B．MB＝MO
C．BD⊥AC
D．∠AMB＝∠CND
6、如图，已知在四边形ABCD中，AB＝DC，AD＝BC，连接AC，BD，AC与BD交于点O，若AO＝BO，AD＝3，AB＝2，则四边形ABCD的面积为（ ）
A．4
B．5
C．6
D．7
7、如图，在?ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且OA＝OD，∠OAD＝55°，
则∠OAB的度数为（ ）
A．35°
B．40°
C．45°
D．50°
（7题）
（10题）
（11题）
（12题）
8、四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，下列各组条件中，不能判定四边形ABCD为矩形的是( )
A．AB＝CD，AD＝BC，AC＝BD
B．AO＝CO，BO＝DO，∠BAD＝90°
C．AO＝CO，BO＝DO，∠AOB＝90°
D．∠BAD＝∠ABC＝∠BCD＝∠CDA
9、平行四边形的四个内角平分线相交所构成的四边形一定是( )
A．一般平行四边形
B．一般四边形
C．对角线垂直的四边形
D．矩形
10、如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，点P为斜边AB上一动点，过点P作PE⊥AC于点E，PF⊥BC于点F，连接EF，则线段EF的最小值为( )
A．1.2
B．2.4
C．2.5
D．4.8
二、填空题
11、如图是一个平行四边形的活动框架,若改变框架的形状,则∠α也随之变化.当∠α是 度时,这个平行四边形是矩形.?
12、如图,在四边形ABCD中,∠C=∠D=90°,若再添加一个条件,就能推出四边形ABCD是矩形,你所添加的条件是
.(写出一个条件即可)?
13、用一把刻度尺来判断一个零件是不是矩形的方法是先测量两组对边是否分别相等,然后测量两条对角线是否相等,这样做的依据是?
14、如图，在四边形ABCD中，AB＝DC，AD＝BC，请再添加一个条件，使四边形ABCD是矩形．你添加的条件是
．（写出一种即可）
15、如图，已知?ABCD，下列条件：①AC＝BD；②AB＝AD；③∠1＝∠2；④AB⊥BC中，能说明?ABCD是矩形的有
(填写序号)．
（15题）
（16题）
（17题）
16、如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到E，使DE=AD，连接EB，EC，DB，如果还需要再添加一个条件，使四边形DBCE成为矩形，则可以添加的条件是_________（填序号）
①AB=BE；
②DE⊥DC；
③∠ADB=90°；④CE⊥DE。
17、如图，点M是矩形ABCD的边AD的中点，点P为BC上一点，PE⊥MC于点E，PF⊥MB于点F，当AB，BC满足条件________时，四边形PEMF为矩形．
18、如图，将平行四边形ABCD的边DC延长到E，使CE＝CD，连接AE交BC于F，∠AFC＝n∠D，
当n＝
时，四边形ABEC是矩形．
（18题）
（19题）
（20题）
19、如图，在?ABCD中，O是边BC的中点，连接DO并延长，交AB的延长线于点E，连接BD，EC.若∠A＝50°，则当∠BOD＝_______°时，四边形BECD是矩形．
20、如图，在矩形ABCD中，AB＝20
cm，BC＝4
cm，点P从点A开始沿折线A→B→C→D以4
cm/s的速度移动，点Q从点C开始沿CD边以1
cm/s的速度移动．如果点P，Q分别从点A，C同时出发，当其中一点到达点D时，另一点也随之停止运动．设运动时间为t
s，则当t为_____时，四边形APQD为矩形．
三、解答题
21、如图,在△ABC中,AB=AC,AD是BC边上的中线,四边形ADBE是平行四边形.求证:四边形ADBE是矩形.
22、如图所示,E是?ABCD的边AB的中点,且EC=ED.求证:四边形ABCD是矩形.
23、已知：如图，在?ABCD中，BA＝BD，M，N分别是AD和BC的中点．求证：四边形BNDM是矩形．
24、如图,已知AB∥DE,AB=DE,AF=CD,∠CEF=90°.求证:
(1)△ABF≌△DEC;
(2)四边形BCEF是矩形.
25、如图，在△ABC中，AB＝AC，点D为边BC上一点，以AB，BD为邻边作?ABDE，连接AD、EC．
（1）求证：△ADC≌△ECD；
（2）若BD＝CD，求证：四边形ADCE是矩形．
26、已知:如图,在△ABC中,AB=AC,AD是△ABC的中线,AN为△ABC的外角∠CAM的平分线,CE∥AD,交AN于点E.求证:四边形ADCE是矩形.
27、已知:如图,在?ABCD中,AF,BH,CH,DF分别是∠BAD,∠ABC,∠BCD,∠ADC的平分线.
求证:四边形EFGH为矩形.
28、如图,矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,E,F,G,H分别是OA,OB,OC,OD的中点.
求证:四边形EFGH是矩形.
29、如图,在四边形ABCD中,AB=CD,AD=BC,对角线AC,BD相交于点O,且OA=OD.
求证:四边形ABCD是矩形.
30、如图,点A,B,C,D在同一条直线上,AB=BC,△AEC≌△BFD,连接BE,CF,EF.
(1)求证:BE=CF;
(2)当∠A=∠D时,求证:四边形BCFE是矩形.
31、如图,在△ABC中,O是边AC上的一个动点,过点O作直线MN∥BC,交∠ACB的平分线于点E,交△ABC的外角∠ACD的平分线于点F.
(1)求证:OE=OF;
(2)若CE=12,CF=5,求OC的长;
(3)连接AE,AF,当点O在边AC上运动到什么位置时,四边形AECF是矩形?请说明理由.
9.4矩形、菱形、正方形(2)-苏科版八年级数学下册
培优训练（答案）
一、选择题
1、下列关于矩形的说法中,正确的是
( B )
A.对角线相等的四边形是矩形
B.矩形的对角线相等且互相平分
C.对角线互相平分的四边形是矩形
D.矩形的对角线互相垂直且平分
2、已知平行四边形ABCD,下列条件中,不能判定这个平行四边形为矩形的是
( B )
A.∠A=∠B
B.∠A=∠C
C.AC=BD
D.AB⊥BC
3、如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是( D )
A．AB＝CD
B．AD＝BC
C．∠AOB＝45°
D．∠ABC＝90°
4、在?ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，再添加一个条件，仍不能判定四边形ABCD是矩形的是( A )
A．AB＝AD
B．OA＝OB
C．AC＝BD
D．DC⊥BC
5、如图，在平行四边形ABCD中，M，N是BD上两点，BM＝DN，连接AM，MC，CN，NA，添加一个条件，使四边形AMCN是矩形，这个条件是(A )
A．OM＝AC
B．MB＝MO
C．BD⊥AC
D．∠AMB＝∠CND
6、如图，已知在四边形ABCD中，AB＝DC，AD＝BC，连接AC，BD，AC与BD交于点O，若AO＝BO，AD＝3，AB＝2，则四边形ABCD的面积为（ ）
A．4
B．5
C．6
D．7
【解答】解：∵AB＝DC，AD＝BC，∴四边形ABCD为平行四边形，
∴AO＝OC，BO＝DO，
∵AO＝BO，∴AC＝BD，∴四边形ABCD为矩形，
∵AD＝3，AB＝2，∴四边形ABCD的面积为：AD?AB＝2×3＝6，故选：C．
7、如图，在?ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且OA＝OD，∠OAD＝55°，
则∠OAB的度数为（ ）
A．35°
B．40°
C．45°
D．50°
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD，
∵OA＝OD，∴AC＝BD，∴四边形ABCD是矩形，∴∠DAB＝90°，
∵∠OAD＝55°，∴∠OAB＝∠DAB﹣∠OAD＝35°
故选：A．
8、四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，下列各组条件中，不能判定四边形ABCD为矩形的是( C )
A．AB＝CD，AD＝BC，AC＝BD
B．AO＝CO，BO＝DO，∠BAD＝90°
C．AO＝CO，BO＝DO，∠AOB＝90°
D．∠BAD＝∠ABC＝∠BCD＝∠CDA
9、平行四边形的四个内角平分线相交所构成的四边形一定是( D )
A．一般平行四边形
B．一般四边形
C．对角线垂直的四边形
D．矩形
10、如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，点P为斜边AB上一动点，过点P作PE⊥AC于点E，PF⊥BC于点F，连接EF，则线段EF的最小值为( D )
A．1.2
B．2.4
C．2.5
D．4.8
二、填空题
11、如图是一个平行四边形的活动框架,若改变框架的形状,则∠α也随之变化.当∠α是 90 度时,这个平行四边形是矩形.?
12、如图,在四边形ABCD中,∠C=∠D=90°,若再添加一个条件,就能推出四边形ABCD是矩形,你所添加的条件是 ∠A=90°(答案不唯一) .(写出一个条件即可)?
13、用一把刻度尺来判断一个零件是不是矩形的方法是先测量两组对边是否分别相等,然后测量两条对角线是否相等,这样做的依据是?
两组对边分别相等的四边形是平行四边形,对角线相等的平行四边形是矩形
14、如图，在四边形ABCD中，AB＝DC，AD＝BC，请再添加一个条件，使四边形ABCD是矩形．你添加的条件是
．（写出一种即可）
【解答】解：若四边形ABCD的对角线相等，
则由AB＝DC，AD＝BC可得．△ABD≌△BAC≌△DAC≌△CDB，
所以四边形ABCD的四个内角相等分别等于90°即直角，所以四边形ABCD是矩形，
故答案为：对角线相等（答案不唯一）．
15、如图，已知?ABCD，下列条件：①AC＝BD；②AB＝AD；③∠1＝∠2；④AB⊥BC中，能说明?ABCD是矩形的有
①④
(填写序号)．
16、如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到E，使DE=AD，连接EB，EC，DB，如果还需要再添加一个条件，使四边形DBCE成为矩形，则可以添加的条件是___①③④
______（填序号）
①AB=BE；
②DE⊥DC；
③∠ADB=90°；④CE⊥DE。
17、如图，点M是矩形ABCD的边AD的中点，点P为BC上一点，PE⊥MC于点E，PF⊥MB于点F，当AB，BC满足条件___BC＝2AB
______时，四边形PEMF为矩形．
18、如图，将平行四边形ABCD的边DC延长到E，使CE＝CD，连接AE交BC于F，∠AFC＝n∠D，
当n＝
时，四边形ABEC是矩形．
【解答】解：当∠AFC＝2∠D时，四边形ABEC是矩形．
∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC∥AD，∠BCE＝∠D，
由题意易得AB∥EC，AB＝EC，
∴四边形ABEC是平行四边形．
∵∠AFC＝∠FEC+∠BCE，
∴当∠AFC＝2∠D时，则有∠FEC＝∠FCE，
∴FC＝FE，
∴四边形ABEC是矩形，
故答案为：2．
19、如图，在?ABCD中，O是边BC的中点，连接DO并延长，交AB的延长线于点E，连接BD，EC.若∠A＝50°，则当∠BOD＝___100°_____°时，四边形BECD是矩形．
20、如图，在矩形ABCD中，AB＝20
cm，BC＝4
cm，点P从点A开始沿折线A→B→C→D以4
cm/s的速度移动，点Q从点C开始沿CD边以1
cm/s的速度移动．如果点P，Q分别从点A，C同时出发，当其中一点到达点D时，另一点也随之停止运动．设运动时间为t
s，则当t为__4___时，四边形APQD为矩形．
三、解答题
21、如图,在△ABC中,AB=AC,AD是BC边上的中线,四边形ADBE是平行四边形.求证:四边形ADBE是矩形.
证明:∵AB=AC,AD是BC边上的中线,∴AD⊥BC,∴∠ADB=90°.
又∵四边形ADBE是平行四边形,∴四边形ADBE是矩形.
22、如图所示,E是?ABCD的边AB的中点,且EC=ED.求证:四边形ABCD是矩形.
证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD=BC,AD∥BC.
∵E是边AB的中点,∴AE=BE.
又∵ED=EC,∴△AED≌△BEC,∴∠A=∠B.
∵AD∥BC,∴∠A+∠B=180°,∴∠A=∠B=90°,
∴平行四边形ABCD是矩形.
23、已知：如图，在?ABCD中，BA＝BD，M，N分别是AD和BC的中点．求证：四边形BNDM是矩形．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，BA＝DC，
∵BA＝BD，∴BA＝BD＝DC，
∵M、N分别是AD和BC的中点，∴BM⊥AD，DM＝AD，BN＝BC，
∴DM＝BN，又∵DM∥BN，∴四边形BMDN是平行四边形，
∵BM⊥AD，∴∠BMD＝90°，∴四边形BMDN是矩形．
24、如图,已知AB∥DE,AB=DE,AF=CD,∠CEF=90°.求证:
(1)△ABF≌△DEC;
(2)四边形BCEF是矩形.
证明 (1)∵AB∥DE,∴∠A=∠D,在△ABF与△DEC中,
∴△ABF≌△DEC(SAS).
(2)∵△ABF≌△DEC,∴EC=BF,∠ECD=∠BFA,
∴∠ECF=∠BFC,∴EC∥BF,∴四边形BCEF是平行四边形.
∵∠CEF=90°,∴四边形BCEF是矩形.
25、如图，在△ABC中，AB＝AC，点D为边BC上一点，以AB，BD为邻边作?ABDE，连接AD、EC．
（1）求证：△ADC≌△ECD；
（2）若BD＝CD，求证：四边形ADCE是矩形．
【解答】证明：（1）∵四边形ABDE是平行四边形（已知），
∴AB∥DE，AB＝DE（平行四边形的对边平行且相等）；
∴∠B＝∠EDC（两直线平行，同位角相等）；
又∵AB＝AC（已知），
∴AC＝DE（等量代换），∠B＝∠ACB（等边对等角），
∴∠EDC＝∠ACD（等量代换）；
∵在△ADC和△ECD中，，∴△ADC≌△ECD（SAS）；
（2）∵四边形ABDE是平行四边形（已知），
∴BD∥AE，BD＝AE（平行四边形的对边平行且相等），
∴AE∥CD；
又∵BD＝CD，∴AE＝CD（等量代换），
∴四边形ADCE是平行四边形（对边平行且相等的四边形是平行四边形）；
在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，
∴AD⊥BC（等腰三角形的“三合一”性质），
∴∠ADC＝90°，
∴?ADCE是矩形．
26、已知:如图,在△ABC中,AB=AC,AD是△ABC的中线,AN为△ABC的外角∠CAM的平分线,CE∥AD,交AN于点E.求证:四边形ADCE是矩形.
证明:∵在△ABC中,AB=AC,AD是△ABC的中线,∴AD⊥BC,AD平分∠BAC,
∴∠ADC=90°,∠CAD=∠BAC.
∵AN为△ABC的外角∠CAM的平分线,∴∠CAN=∠CAM,
∴∠DAE=∠CAD+∠CAN=
(∠BAC+∠CAM)=×180°=90°.
∵CE∥AD,AD⊥BC,∴CE⊥BC,∴∠ECD=90°,∴四边形ADCE是矩形.
27、已知:如图,在?ABCD中,AF,BH,CH,DF分别是∠BAD,∠ABC,∠BCD,∠ADC的平分线.
求证:四边形EFGH为矩形.
证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠DAB+∠ADC=180°.
∵AF,DF分别平分∠DAB,∠ADC,
∴∠FAD=∠BAF=∠DAB,∠ADF=∠CDF=∠ADC,
∴∠FAD+∠ADF=90°,∴∠AFD=90°.
同理可得∠BHC=∠HEF=90°.
∴四边形EFGH是矩形.
28、如图,矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,E,F,G,H分别是OA,OB,OC,OD的中点.
求证:四边形EFGH是矩形.
证明:∵矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,
∴OA=OB=OC=OD.
又∵E,F,G,H分别是OA,OB,OC,OD的中点,∴OE=OF=OG=OH,
∴四边形EFGH是平行四边形,EG=HF,
∴?EFGH是矩形.
29、如图,在四边形ABCD中,AB=CD,AD=BC,对角线AC,BD相交于点O,且OA=OD.
求证:四边形ABCD是矩形.
证明:∵在四边形ABCD中,AB=CD,AD=BC,
∴四边形ABCD是平行四边形,
∴AC=2OA,BD=2OD.
又∵OA=OD,∴AC=BD,
∴四边形ABCD是矩形.
30、如图,点A,B,C,D在同一条直线上,AB=BC,△AEC≌△BFD,连接BE,CF,EF.
(1)求证:BE=CF;
(2)当∠A=∠D时,求证:四边形BCFE是矩形.
证明:(1)∵△AEC≌△BFD,∴AE=BF,∠EAB=∠FBC.
∵AB=BC,∴△ABE≌△BCF(SAS),∴BE=CF.
(2)∵△ABE≌△BCF,∴∠ABE=∠BCF,∴BE∥CF.
又∵BE=CF,∴四边形BCFE是平行四边形.
又∵△AEC≌△BFD,∴∠ACE=∠D.
又∵∠A=∠D,∴∠ACE=∠A,∴AE=CE.
又∵AB=BC,∴EB⊥AC,即∠EBC=90°,∴四边形BCFE是矩形.
31、如图,在△ABC中,O是边AC上的一个动点,过点O作直线MN∥BC,交∠ACB的平分线于点E,交△ABC的外角∠ACD的平分线于点F.
(1)求证:OE=OF;
(2)若CE=12,CF=5,求OC的长;
(3)连接AE,AF,当点O在边AC上运动到什么位置时,四边形AECF是矩形?请说明理由.
解:(1)证明:∵CF平分∠ACD,且MN∥BD,
∴∠ACF=∠FCD=∠CFO,∴OF=OC.
同理可得OC=OE,∴OE=OF.
(2)由(1)知∠OCF=∠OFC,∠OCE=∠OEC,∴∠OCF+∠OCE=∠OFC+∠OEC.
而∠OCF+∠OCE+∠OFC+∠OEC=180°,∴∠ECF=∠OCF+∠OCE=90°,
∴EF===13,
∴OC=EF=
.
(3)当点O运动到AC的中点时,四边形AECF是矩形.
理由:由(1)知OE=OF,
当点O运动到AC的中点时,有OA=OC,
∴四边形AECF是平行四边形.
又∵∠ECF=90°,∴平行四边形AECF是矩形.9.4矩形、菱形、正方形(3)-苏科版八年级数学下册
培优训练
一、选择题
1、菱形不具备的性质是(
)
A．四条边都相等
B．对角线一定相等
C．是轴对称图形
D．是中心对称图形
2、如图，菱形ABCD中，∠D＝150°，则∠1＝(
)
A．30°
B．25°
C．20°
D．15°
（2题）
（3题）
（4题）
3、如图，在?ABCD中，AB＝BC，下列结论错误的是(
)
A．四边形ABCD是菱形
B．AB＝AD
C．AO＝OC，BO＝OD
D．∠BAD＝∠ABC
4、如图所示，菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝2，E、F分别是BC、CD的中点，连接AE、EF、AF，则△AEF的周长为(
)
A．2
B．3
C．4
D．3
5、如图，菱形ABCD中，AB=15，∠ADC=120°，则B、D两点之间的距离为（ ）
A．15
B．
C．7.5
D．
（5题）
（7题）
（8题）
（9题）
6、菱形的周长为32cm，一个内角的度数是60°，则两条对角线的长分别是（
）
A．8cm和4cm
B．4cm和8cm
C．8cm和8cm
D．4cm和4cm
7、如图，菱形ABCD的对角线AC，BD的长分别为6
cm，8
cm，则这个菱形的周长为( )
A．5
cm
B．10
cm
C．14
cm
D．20
cm
8、如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝80°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，垂足为点E，连接DF，则∠CDF等于(
)
A．50°
B．60°
C．70°
D．80°
9、如图．剪两张对边平行且宽度相同的纸条随意交叉叠放在一起，转动其中一张，重合部分构成一个四边形，则下列结论中不一定成立的是（
）
A．∠ABC=∠ADC,∠BAD=∠BCD
B．AB=BC
C．AB=CD
,AD=BC
D．∠DAB+∠BCD=180?
10、如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为菱形，O(0，0)，A(4，0)，∠AOC＝60°，
则对角线交点E的坐标为(
)
A．(2，)
B．(，2)
C．(，3)
D．(3，)
（10题）
（11题）
（12题）
（13题）
二、填空题
11、如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边BC，AB，CA上，且DE∥CA，DF∥BA.小聪认为如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形，小聪的说法
．(填“正确”或“不正确”)
12、在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若∠ABC＝140°，
则∠BAD＝________°，∠ABD＝________°，∠BCA＝________°；
13、如图，菱形ABCD的边长为2
cm，E是BC的中点，且AE⊥BC，则菱形ABCD的面积为_____.
14、如图，P是菱形ABCD的对角线AC上一点，PE⊥AD于点E，且PE＝3
cm，
则点P到AB的距离为__
__
cm.
（14题）
（15题）
（17题）
（20题）
15、如图，在菱形ABCD中，AB＝5，AO＝3，点E在BC的延长线上，∠E＝∠ABC，DE＝
16、菱形ABCD的周长为48cm，∠BAD：∠ABC=1：2，则BD=_____，菱形的面积是______．
17、如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若AC＝8
cm，BD＝6
cm，
则该菱形的面积为________cm2，周长为________cm.
18、已知菱形ABCD的面积为24
cm2，若对角线AC＝6
cm，则这个菱形的边长为____
cm.
19、四边形ABCD是菱形，∠BAD＝60°，AB＝6，对角线AC与BD相交于点O，点E在AC上，
若OE＝，则CE的长为_________
20、如图，点P是边长为1的菱形ABCD对角线AC上的一个动点，点M，N分别是AB，BC边的中点，则MP＋PN的最小值是______.
三、解答题
21、已知：如图，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，DE∥AC交BC于点E，DF∥BC交AC
于点F.
四边形DECF是菱形吗？为什么？
22、如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC和BD相交于点O，AC＝8
cm，BD＝6
cm，DH⊥AB于H.
(1)求菱形ABCD的面积；
(2)求DH的长．
23、如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，BD＝12
cm，AC＝6
cm.求菱形的周长．
24、已知：如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，DE∥AC，AE∥BD.
（1）求证：四边形AODE是矩形；
（2）若AB=6，∠BCD=120°，求四边形AODE的面积.
25、如图，在菱形ABCD中，点P是BC边上一点，连接AP，点E，F是AP上的两点，连接DE，BF，使得∠AED＝∠ABC，∠ABF＝∠BPF.
求证：(1)△ABF≌△DAE；
(2)DE＝BF＋EF.
26、已知：如图，在菱形ABCD中，F为边BC的中点，DF与对角线AC交于点M，过M作ME⊥CD于点E，∠1＝∠2.
(1)若CE＝1，求BC的长；
(2)求证：AM＝DF＋ME.
9.4矩形、菱形、正方形(3)-苏科版八年级数学下册
培优训练（答案）
一、选择题
1、菱形不具备的性质是(
B
)
A．四条边都相等
B．对角线一定相等
C．是轴对称图形
D．是中心对称图形
2、如图，菱形ABCD中，∠D＝150°，则∠1＝(
D
)
A．30°
B．25°
C．20°
D．15°
3、如图，在?ABCD中，AB＝BC，下列结论错误的是(
D
)
A．四边形ABCD是菱形
B．AB＝AD
C．AO＝OC，BO＝OD
D．∠BAD＝∠ABC
4、如图所示，菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝2，E、F分别是BC、CD的中点，连接AE、EF、AF，则△AEF的周长为(
B
)
A．2
B．3
C．4
D．3
5、如图，菱形ABCD中，AB=15，∠ADC=120°，则B、D两点之间的距离为（ A ）
A．15
B．
C．7.5
D．
6、菱形的周长为32cm，一个内角的度数是60°，则两条对角线的长分别是（C
）
A．8cm和4cm
B．4cm和8cm
C．8cm和8cm
D．4cm和4cm
7、如图，菱形ABCD的对角线AC，BD的长分别为6
cm，8
cm，则这个菱形的周长为(D )
A．5
cm
B．10
cm
C．14
cm
D．20
cm
8、如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝80°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，垂足为点E，连接DF，则∠CDF等于(
B
)
A．50°
B．60°
C．70°
D．80°
9、如图．剪两张对边平行且宽度相同的纸条随意交叉叠放在一起，转动其中一张，重合部分构成一个四边形，则下列结论中不一定成立的是（
）
A．∠ABC=∠ADC,∠BAD=∠BCD
B．AB=BC
C．AB=CD
,AD=BC
D．∠DAB+∠BCD=180?
解析：∵四边形ABCD是用两张等宽的纸条交叉重叠放在一起而组成的图形，∴AB∥CD，AD∥BC,
∴四边形ABCD是平行四边形（对边相互平行的四边形是平行四边形）．
过点A分别作BC，CD边上的高为AE，AF，连接AC，则AE=AF(两纸条相同，纸条宽度相同)，
∴在平行四边形ABCD中．S△ABC=S△ACD，即BC?AE=CD?AF，∴BC=CD，AB=BC．故B中结论成立；
∴平行四边形ABCD为菱形（邻边相等的平行四边形是菱形），
∴∠ABC=∠ADC，∠BAD=∠BCD（菱形的对角相等），故A中结论成立；
AB=CD，AD=BC（平行四边形的对边相等），故C中结论成立：
当四边形ABCD是矩形时，有∠DAB+∠BCD=180?．故D中结论不一定成立，故选D．
10、如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为菱形，O(0，0)，A(4，0)，∠AOC＝60°，
则对角线交点E的坐标为(
D
)
A．(2，)
B．(，2)
C．(，3)
D．(3，)
二、填空题
11、如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边BC，AB，CA上，且DE∥CA，DF∥BA.小聪认为如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形，小聪的说法正确
．(填“正确”或“不正确”)
12、在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若∠ABC＝140°，
则∠BAD＝________°，∠ABD＝________°，∠BCA＝________°；
答案：
40，70，20
13、如图，菱形ABCD的边长为2
cm，E是BC的中点，且AE⊥BC，则菱形ABCD的面积为__2cm2
____.
14、如图，P是菱形ABCD的对角线AC上一点，PE⊥AD于点E，且PE＝3
cm，
则点P到AB的距离为__3
__
cm.
15、如图，在菱形ABCD中，AB＝5，AO＝3，点E在BC的延长线上，∠E＝∠ABC，DE＝8
16、菱形ABCD的周长为48cm，∠BAD：∠ABC=1：2，则BD=_____，菱形的面积是______．
答案：12cm；72cm2
17、如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若AC＝8
cm，BD＝6
cm，
则该菱形的面积为________cm2，周长为________cm.
答案：24，20
18、已知菱形ABCD的面积为24
cm2，若对角线AC＝6
cm，则这个菱形的边长为__5
__
cm.
19、四边形ABCD是菱形，∠BAD＝60°，AB＝6，对角线AC与BD相交于点O，点E在AC上，
若OE＝，则CE的长为___4或2______
20、如图，点P是边长为1的菱形ABCD对角线AC上的一个动点，点M，N分别是AB，BC边的中点，则MP＋PN的最小值是__1
____.
三、解答题
21、已知：如图，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，DE∥AC交BC于点E，DF∥BC交AC
于点F.
四边形DECF是菱形吗？为什么？
解：四边形DECF是菱形．理由如下：
∵DE∥FC，DF∥EC，∴四边形DECF为平行四边形．
由AC∥DE，知∠2＝∠3.
∵CD平分∠ACB，∴∠1＝∠2，
∴∠1＝∠3，∴DE＝EC，
∴平行四边形DECF为菱形．
22、如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC和BD相交于点O，AC＝8
cm，BD＝6
cm，DH⊥AB于H.
(1)求菱形ABCD的面积；
(2)求DH的长．
解：(1)∵四边形ABCD是菱形，AC＝8
cm，BD＝6
cm，
∴S菱形ABCD＝AC·BD＝×6×8＝24(cm2)．
(2)∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA＝OC＝AC＝4
cm，OB＝OD＝3
cm，
∴在直角三角形AOB中，AB＝＝＝5
cm，
∴DH＝＝4.8
cm.
23、如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，BD＝12
cm，AC＝6
cm.求菱形的周长．
解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AO＝AC，BO＝
BD.
∵AC＝6
cm，BD＝12
cm，
∴AO＝3
cm，BO＝6
cm.
在Rt△ABO中，由勾股定理，得AB＝＝＝3
cm，
∴菱形的周长＝4AB=4×3=12cm.
24、已知：如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，DE∥AC，AE∥BD.
（1）求证：四边形AODE是矩形；
（2）若AB=6，∠BCD=120°，求四边形AODE的面积.
解答：（1）证明：∵DE∥AC，AE∥BD，∴四边形AODE是平行四边形，
∵在菱形ABCD中，AC⊥BD，∴?AOD=90,
∴平行四边形AODE是是矩形；
（2）∵∠BCD=120°，AB∥CD，∴∠ABC=180°-120°=60°，
∵AB=BC，∴△ABC是等边三角形，∴OA=×6=3,
OD=OB=6×=3,
∴四边形AODE的面积=OAOD=9
25、如图，在菱形ABCD中，点P是BC边上一点，连接AP，点E，F是AP上的两点，连接DE，BF，使得∠AED＝∠ABC，∠ABF＝∠BPF.
求证：(1)△ABF≌△DAE；
(2)DE＝BF＋EF.
证明：(1)∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，AD∥BC.
∴∠BPA＝∠DAE.
∵∠ABC＝∠AED，∴∠BAF＝∠ADE.
∵∠ABF＝∠BPF，∠BPA＝∠DAE，∴∠ABF＝∠DAE.
∵AB＝DA，∴△ABF≌△DAE(ASA)．
(2)∵△ABF≌△DAE，
∴BF＝AE，AF＝DE.
∵AF＝AE＋EF＝BF＋EF，∴DE＝BF＋EF.
26、已知：如图，在菱形ABCD中，F为边BC的中点，DF与对角线AC交于点M，过M作ME⊥CD于点E，∠1＝∠2.
(1)若CE＝1，求BC的长；
(2)求证：AM＝DF＋ME.
(1)解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD，∴∠1＝∠ACD，
∵∠1＝∠2，∴∠ACD＝∠2，∴MC＝MD，
∵ME⊥CD，∴CD＝2CE，
∵CE＝1，∴CD＝2，∴BC＝CD＝2
(2)证明：如图，∵F为边BC的中点，∴BF＝CF＝BC，∴CF＝CE，
在菱形ABCD中，AC平分∠BCD，∴∠ACB＝∠ACD，
在△CEM和△CFM中，∵∴△CEM≌△CFM(SAS)，∴ME＝MF，
延长AB交DF的延长线于点G，
∵AB∥CD，∴∠G＝∠2，
∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠G，∴AM＝MG，
在△CDF和△BGF中，∵,∴△CDF≌△BGF(AAS)，∴GF＝DF，
由图形可知，GM＝GF＋MF，∴AM＝DF＋ME9.4矩形、菱形、正方形(4)-苏科版八年级数学下册
培优训练
一、选择题
1、如图,四边形ABCD的两条对角线相交于点O,且互相平分.添加下列条件,仍不能判定四边形ABCD为菱形
的是
( )
A.AD=CD
B.AB=AD
C.AC=BD
D.∠BAC=∠BCA
（1题）
（5题）
（6题）
（7题）
2、下列条件中,能够判定一个四边形是菱形的是
( )
A.对角线互相垂直平分
B.对角线互相平分且相等
C.对角线相等且互相垂直
D.对角线互相垂直
3、能够判别一个四边形是菱形的条件是（
）
A.
对角线相等且互相平分
B.
对角线互相垂直且相等
C.
对角线互相平分
D.
一组对角相等且一条对角线平分这组对角
4、如图，下列条件之一能使□ABCD是菱形的为（
）
①AC⊥BD；②∠BAD＝90°；③AB＝BC；④AC＝BD
A．①③
B．②③
C．③④
D．①②③
5、已知DE∥AC、DF∥AB，添加下列条件后，不能判断四边形DEAF为菱形的是（
）
A．AD平分∠BAC
B．
AB＝AC且BD＝CD
C．AD为中线
D．EF⊥AD
6、如图,已知在△ABC中,AB=AC,将△ABC沿边BC翻折,得到的△DBC与原△ABC拼成四边形ABDC,则能直接判定四边形ABDC是菱形的依据是
( )
A.一组邻边相等的平行四边形是菱形
B.四条边相等的四边形是菱形
C.对角线互相垂直的平行四边形是菱形
D.对角线互相垂直平分的四边形是菱形
7、如图，将ABCD折叠，使顶点D恰好落在AB边上的点M处，折痕为AN，那么对于结论：
①MN∥BC；②MN=AM；③MN=AN；④四边形ADNM是菱形，其中正确的个数是（
）
A．
1个
B．
2个
C．
3个
D．
4个
8、用尺规在一个平行四边形内作菱形ABCD,如图所示的作法中错误的是
( )
9、四个点A，B，C，D在同一平面内，从①AB∥CD；②AB=CD；③AC⊥BD；④AD=BC；
⑤AD∥BC．这5个条件中任选三个，能使四边形ABCD是菱形的选法有（
）．
A．1种
B．2种
C．3种
D．4种
10、如图．菱形ABCD的对角线AC、BD的交点为O，E、F分别是OA、OC的中点．下列结论：①；②四边形BFDE是菱形；③菱形ABCD的面积为EF·BD；④∠ADE=∠EDO；⑤△DEF是轴对称图形，
其中正确的有（
）
A．5个
B．4个
C．3个
D．2个
（10题）
（11题）
二、填空题
11、如图,在平行四边形ABCD中,添加一个条件 ,使平行四边形ABCD是菱形.?
12、在四边形ABCD中，给出四个条件：①AB=CD，②AD∥BC，③AC⊥BD，④AC平分∠BAD，由其中三个条件推出四边形ABCD是菱形，你认为这三个条件是
．（写四个条件的不给分，只填序号）
13、一组邻边相等且对角线_______
的四边形是菱形．
14、如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为菱形，需要添加的条件是
______（只需填一个）.
（14题）
（15题）
（16题）
15、如图，两个完全相同的三角尺ABC和DEF在直线l上滑动．要使四边形CBFE为菱形，还需添加的一个条件是____
(写出一个即可)．
16、如图所示,在∠MON的两边上分别截取OA,OB,使OA=OB.分别以点A,B为圆心,OA长为半径作弧,两弧交于点C.连结AC,BC,AB,OC.若AB=2
cm,四边形OACB的面积为4
cm2,则OC的长为
cm.
17、如图,在?ABCD中,AC,BD相交于点O,过点C作CE∥BD,交AB的延长线于点E.如果AC⊥BD,
那么∠ACB=
°时,四边形BECD是菱形.
（17题）
（18题）
18、如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边BC，AB，CA上，且DE∥CA，DF∥BA.
下列四种说法：①四边形AEDF是平行四边形；
②如果∠BAC=90°，那么四边形AEDF是矩形；
③如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形；
④如果AD⊥BC且AB=AC，那么四边形AEDF是菱形.
其中正确的有_______
（只填写序号）.
三、解答题
19、如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,AC平分∠BAD,CE∥AD交AB于点E.
(1)求证:四边形AECD是菱形;
(2)若E是AB的中点,试判断△ABC的形状,并说明理由.
20、如图,?ABCD的对角线AC,BD相交于点O,过点O作EF⊥AC,分别交AB,DC于点E,F,连接AF,CE.
(1)若OE=,求EF的长;
(2)判新四边形AECF的形状,并说明理由.
21、如图，在?ABCD中，E，F分别为边AB，CD的中点，连接DE、BF、BD．
（1）求证：△ADE≌△CBF．
（2）若AD⊥BD，则四边形BFDE是什么特殊四边形？请证明你的结论．
22、如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连结OE.
(1)求证：四边形ABCD是菱形；
(2)若AB＝，BD＝2，求OE的长．
23、如图，在平行四边形ABCD中，边AB的垂直平分线交AD于点E，交CB的延长线于点F，连结AF，BE．
（1）求证：△AGE≌△BGF；
（2）试判断四边形AFBE的形状，并说明理由．
24、如图,将一张矩形纸片ABCD进行折叠,具体操作如下:
第一步:先对折,使AD与BC重合,得到折痕MN,展开;
第二步:再折叠一次,使点A落在MN上的点A'处,并使折痕经过点B,得到折痕BE,同时,得到线段BA',EA',展开,如图①;
第三步:再沿EA'所在的直线折叠,点B落在AD上的点B'处,得到折痕EF,同时得到线段B'F,展开,
如图②.
求证:(1)∠ABE=30°;
(2)四边形BFB'E为菱形.
25、已知：如图，在□ABCD中，AE是BC边上的高，将△ABE沿BC方向平移，使点E与点C重合，
得△GFC．
（1）求证：BE＝DG；
（2）若∠B＝60°，当AB与BC满足什么数量关系时，四边形ABFG是菱形？证明你的结论．
26、如图，平行四边形ABCD中，AB⊥AC，AB＝1，BC＝．对角线AC，BD相交于点O，将直线AC绕点O顺时针旋转，分别交BC，AD于点E，F．
（1）证明：当旋转角为90°时，四边形ABEF是平行四边形；
（2）试说明在旋转过程中，线段AF与EC总保持相等；
（3）在旋转过程中，四边形BEDF可能是菱形吗？如果不能，请说明理由；如果能，说明理由并求出此时AC绕点O顺时针旋转的度数．
9.4矩形、菱形、正方形(4)-苏科版八年级数学下册
培优训练（答案）
一、选择题
1、如图,四边形ABCD的两条对角线相交于点O,且互相平分.添加下列条件,仍不能判定四边形ABCD为菱形
的是
( .C )
A.AD=CD
B.AB=AD
C.AC=BD
D.∠BAC=∠BCA
2、下列条件中,能够判定一个四边形是菱形的是
( A )
A.对角线互相垂直平分
B.对角线互相平分且相等
C.对角线相等且互相垂直
D.对角线互相垂直
3、能够判别一个四边形是菱形的条件是（
D
）
A.
对角线相等且互相平分
B.
对角线互相垂直且相等
C.
对角线互相平分
D.
一组对角相等且一条对角线平分这组对角
4、如图，下列条件之一能使□ABCD是菱形的为（
A
）
①AC⊥BD；②∠BAD＝90°；③AB＝BC；④AC＝BD
A．①③
B．②③
C．③④
D．①②③
5、已知DE∥AC、DF∥AB，添加下列条件后，不能判断四边形DEAF为菱形的是（
）
A．AD平分∠BAC
B．
AB＝AC且BD＝CD
C．AD为中线
D．EF⊥AD
答案：C
解析：由DE∥AC、DF∥AB可知这个四边形是平行四边形，只要能保证对角线互相垂直的条件就可
以判定四边形DEAF为菱形．
6、如图,已知在△ABC中,AB=AC,将△ABC沿边BC翻折,得到的△DBC与原△ABC拼成四边形ABDC,则能直接判定四边形ABDC是菱形的依据是
( B )
A.一组邻边相等的平行四边形是菱形
B.四条边相等的四边形是菱形
C.对角线互相垂直的平行四边形是菱形
D.对角线互相垂直平分的四边形是菱形
7、如图，将ABCD折叠，使顶点D恰好落在AB边上的点M处，折痕为AN，那么对于结论：
①MN∥BC；②MN=AM；③MN=AN；④四边形ADNM是菱形，其中正确的个数是（
C
）
A．
1个
B．
2个
C．
3个
D．
4个
8、用尺规在一个平行四边形内作菱形ABCD,如图所示的作法中错误的是
( C )
9、四个点A，B，C，D在同一平面内，从①AB∥CD；②AB=CD；③AC⊥BD；④AD=BC；
⑤AD∥BC．这5个条件中任选三个，能使四边形ABCD是菱形的选法有（
D
）．
A．1种
B．2种
C．3种
D．4种
10、如图．菱形ABCD的对角线AC、BD的交点为O，E、F分别是OA、OC的中点．下列结论：①；②四边形BFDE是菱形；③菱形ABCD的面积为EF·BD；④∠ADE=∠EDO；⑤△DEF是轴对称图形，
其中正确的有（
）
A．5个
B．4个
C．3个
D．2个
答案B
∵四边形ABCD是菱形，∴BD⊥AC,OA=OC,OB=OD.
∵E为OA的中点，∴AE=OE，
∵S△ADE=AE?OD,S△EOD=OE?OD,
∴S△ADE=S△EOD，故①正确，
∵E、F分别是OA、OC的中点，∵OE=OA,OF=OC,
∵OA=OC,∴
OE=OF,又OB=OD,EF⊥BD,
∴四边形BFDE是菱形，故②正确．
S菱形ABCD=AC?BD，易知EF=AC,
∴S菱形ABCD=EF?BD，故③正确．
由已知条件推不出∠ADE=∠EDO.
由题意得OE=OF,BD⊥EF，∴∠DOE=∠DOF=90?,
又OD=OD，∴△DOE≌△DOF,
∴DE=DF，∴△DEF为等腰三角形，
∴△DEF是轴对称图形，故⑤正确．
二、填空题
11、如图,在平行四边形ABCD中,添加一个条件 AB=BC或AC⊥BD等 ,使平行四边形ABCD是菱形.?
12、在四边形ABCD中，给出四个条件：①AB=CD，②AD∥BC，③AC⊥BD，④AC平分∠BAD，由其中三个条件推出四边形ABCD是菱形，你认为这三个条件是
．（写四个条件的不给分，只填序号）
答案：①③④或②③④
13、一组邻边相等且对角线__互相平分______
的四边形是菱形．
14、如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为菱形，需要添加的条件是
_AB=BC等_____（只需填一个）.
15、如图，两个完全相同的三角尺ABC和DEF在直线l上滑动．要使四边形CBFE为菱形，还需添加的一个条件是__CB＝BF或BE⊥CF__(写出一个即可)．
16、如图所示,在∠MON的两边上分别截取OA,OB,使OA=OB.分别以点A,B为圆心,OA长为半径作弧,两弧交于点C.连结AC,BC,AB,OC.若AB=2
cm,四边形OACB的面积为4
cm2,则OC的长为
4
cm.
17、如图,在?ABCD中,AC,BD相交于点O,过点C作CE∥BD,交AB的延长线于点E.如果AC⊥BD,
那么∠ACB=
30
°时,四边形BECD是菱形.
18、如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边BC，AB，CA上，且DE∥CA，DF∥BA.
下列四种说法：①四边形AEDF是平行四边形；
②如果∠BAC=90°，那么四边形AEDF是矩形；
③如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形；
④如果AD⊥BC且AB=AC，那么四边形AEDF是菱形.
其中正确的有___①②③④_____（只填写序号）.
三、解答题
19、如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,AC平分∠BAD,CE∥AD交AB于点E.
(1)求证:四边形AECD是菱形;
(2)若E是AB的中点,试判断△ABC的形状,并说明理由.
解:(1)证明:∵AB∥CD,CE∥AD,∴四边形AECD是平行四边形.
∵AC平分∠BAD,∴∠CAE=∠CAD.
又∵AD∥CE,∴∠ACE=∠CAD,
∴∠ACE=∠CAE,∴AE=CE,
∴四边形AECD是菱形.
(2)△ABC是直角三角形.理由如下:
∵E是AB的中点,∴AE=BE.
又∵AE=CE,∴BE=CE,∴∠B=∠BCE.
∵∠B+∠BCA+∠BAC=180°,∴2∠BCE+2∠ACE=180°,
∴∠BCE+∠ACE=90°,即∠ACB=90°,∴△ABC是直角三角形.
20、如图,?ABCD的对角线AC,BD相交于点O,过点O作EF⊥AC,分别交AB,DC于点E,F,连接AF,CE.
(1)若OE=,求EF的长;
(2)判新四边形AECF的形状,并说明理由.
解:(1)∵四边形ABCD是平行四边形,∴AO=CO,AB∥DC,∴∠OAE=∠OCF.
∵EF⊥AC,∴∠AOE=∠COF=90°.
在△AEO和△CFO中,,∴△AEO≌△CFO,∴OE=OF.
又OE=,∴OE=OF=,∴EF=OE+OF=3.
(2)四边形AECF是菱形.
理由如下:由(1)知OE=OF.
又∵AO=CO,∴四边形AECF是平行四边形.
∵EF⊥AC,∴四边形AECF是菱形.
21、如图，在?ABCD中，E，F分别为边AB，CD的中点，连接DE、BF、BD．
（1）求证：△ADE≌△CBF．
（2）若AD⊥BD，则四边形BFDE是什么特殊四边形？请证明你的结论．
（1）证明：在平行四边形ABCD中，∠A=∠C，AD=BC，
∵E、F分别为AB、CD的中点，∴AE=CF．
在△AED和△CFB中，，∴△AED≌△CFB（SAS）；
（2）解：若AD⊥BD，则四边形BFDE是菱形．
证明：∵AD⊥BD，∴△ABD是直角三角形，且∠ADB=90°．
∵E是AB的中点，∴DE=AB=BE．
由题意可知EB∥DF且EB=DF，∴四边形BFDE是平行四边形．
∴四边形BFDE是菱形．
22、如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连结OE.
(1)求证：四边形ABCD是菱形；
(2)若AB＝，BD＝2，求OE的长．
解：(1)证明：∵AC平分∠BAD，∴∠DAC＝∠BAC.
∵AB∥DC，∴∠DCA＝∠BAC.∴∠DAC＝∠DCA.∴DA＝DC.
又∵AB＝AD，∴AB＝DC.
又∵AB∥DC，∴四边形ABCD是平行四边形．
又∵AB＝AD，
∴平行四边形ABCD是菱形；
(2)∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC，OB＝OD＝DB＝1，AC⊥BD.
在Rt△ABO中，由勾股定理，得OA＝＝＝2.
∴AC＝2OA＝4.
∵CE⊥AB，OA＝OC，
∴OE＝AC＝2.
23、如图，在平行四边形ABCD中，边AB的垂直平分线交AD于点E，交CB的延长线于点F，连结AF，BE．
（1）求证：△AGE≌△BGF；
（2）试判断四边形AFBE的形状，并说明理由．
（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AE∥BF，∴∠EAG=∠FBG，∵EF是AB的垂直平分线，∴AG=BG，在△AGE和△BGF中，∵∴△AGE≌△BGF（ASA）.
（2）四边形AFBE是菱形．
理由：由（1）得：△AGE≌△BGF，∴AE=BF，又∵AE∥BF，∴四边形AFBE是平行四边形，
∵EF是AB的垂直平分线，∴AF=BF，∴平行四边形AFBE是菱形．
24、如图,将一张矩形纸片ABCD进行折叠,具体操作如下:
第一步:先对折,使AD与BC重合,得到折痕MN,展开;
第二步:再折叠一次,使点A落在MN上的点A'处,并使折痕经过点B,得到折痕BE,同时,得到线段BA',EA',展开,如图①;
第三步:再沿EA'所在的直线折叠,点B落在AD上的点B'处,得到折痕EF,同时得到线段B'F,展开,
如图②.
求证:(1)∠ABE=30°;
(2)四边形BFB'E为菱形.
证明:(1)∵第二步折叠使点A落在MN上的点A'处,并使折痕经过点B,得到折痕BE,
∴∠AEB=∠A'EB.
∵第三步折叠点B落在AD上的点B'处,得到折痕EF,同时得到线段B'F,∴∠A'EB=∠FEB'.
∵∠AEB+∠A'EB+∠FEB'=180°,∴∠AEB=∠A'EB=∠FEB'=60°,∴∠ABE=30°.
(2)∵沿EA'所在的直线折叠,点B落在AD上的点B'处,∴BE=B'E,BF=B'F.
∵AD∥BC,∴∠BFE=∠FEB'=60°,
∴△BEF是等边三角形,∴BE=BF,
∴BE=B'E=B'F=BF,
∴四边形BFB'E为菱形.
25、已知：如图，在□ABCD中，AE是BC边上的高，将△ABE沿BC方向平移，使点E与点C重合，
得△GFC．
（1）求证：BE＝DG；
（2）若∠B＝60°，当AB与BC满足什么数量关系时，四边形ABFG是菱形？证明你的结论．
证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD．
∵AE是BC边上的高，且CG是由AE沿BC方向平移而成．
∴CG⊥AD．∴∠AEB＝∠CGD＝90°．
∵AE＝CG，∴Rt△ABE≌Rt△CDG．∴BE＝DG．
（2）当时，四边形是菱形．
∵，，∴四边形是平行四边形．
∵中，，∴，∴．
∵，∴．
∴．∴四边形是菱形．
26、如图，平行四边形ABCD中，AB⊥AC，AB＝1，BC＝．对角线AC，BD相交于点O，将直线AC绕点O顺时针旋转，分别交BC，AD于点E，F．
（1）证明：当旋转角为90°时，四边形ABEF是平行四边形；
（2）试说明在旋转过程中，线段AF与EC总保持相等；
（3）在旋转过程中，四边形BEDF可能是菱形吗？如果不能，请说明理由；如果能，说明理由并求出此时AC绕点O顺时针旋转的度数．
解：（1）证明：当∠AOF＝90°时，AB∥EF，
又∵AF∥BE，∴四边形ABEF为平行四边形．
（2）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AO＝CO，∠FAO＝∠ECO，∠AOF＝∠COE．∴△AOF≌△COE．∴AF＝EC
（3）四边形BEDF可以是菱形．
理由：如图，连接BF，DE，
由（2）知△AOF≌△COE，得OE＝OF，
∴EF与BD互相平分．∴当EF⊥BD时，四边形BEDF为菱形．
在Rt△ABC中，，∴OA＝1＝AB，又AB⊥AC，
∴∠AOB＝45°，∴∠AOF＝45°，
∴AC绕点O顺时针旋转45°时，四边形BEDF为菱形．9.4矩形、菱形、正方形(5)-苏科版八年级数学下册
培优训练
一、选择题
1、下列说法不正确的是(
)
A．一组邻边相等的矩形是正方形
B．对角线相等的菱形是正方形
C．对角线互相垂直的矩形是正方形
D．有一个角是直角的平行四边形是正方形
2、在四边形ABCD中，O是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的条件是(
)
A．AC＝BD，AB∥CD，AB＝CD
B．AD∥BC，∠A＝∠C
C．AO＝BO＝CO＝DO，AC⊥BD
D．AO＝CO，BO＝DO，AB＝BC
3、正方形具有而菱形不一定具有的性质是(
)
A．四条边都相等
B．对角线互相垂直平分
C．对角线相等
D．对角线平分一组对角
4、如图，已知P是正方形ABCD对角线BD上一点，且BP＝BC，则∠ACP的度数是(
)
A．45°
B．22.5°
C．67.5°
D．75°
(4题)
(5题)
(6题)
(7题)
5、如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且BE＝BF，添加一个条件，仍不能证明四边形BECF为正方形的是(
)
A．BC＝AC
B．CF⊥BF
C．BD＝DF
D．AC＝BF
6、小明在学习了正方形之后，给同桌小文出了道题，从下列四个条件：①AB＝BC；②∠ABC＝90°；
③AC＝BD；④AC⊥BD中选两个作为补充条件，使?ABCD为正方形(如图)，现有下列四种选法，你认为其中错误的是(
)
A．①②
B．②③
C．①③
D．②④
7、如图1－3－21，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且BE＝BF.添加一个条件，仍不能判定四边形ECFB为正方形的是(
)
A．BC＝AC
B．CF⊥BF
C．BD＝DF
D．AC＝BF
8、如图，在正方形ABCD中，E，F分别为AD，BC的中点，P为对角线BD上的一个动点，则下列线段的长等于AP＋EP最小值的是(
)
A．AB
B．DE
C．BD
D．AF
(8题)
(9题)
(10题)
9、如图，在正方形ABCD中．点E，F分别在BC，CD上，△AEF是等边三角形．连接AC交EF于点G.过点G作GH⊥CE于点H，若S△EGH＝3，则S△ADF＝(
)
A．6
B．4
C．3
D．2
10、如图，正方形ABCD中，点E是AD边的中点，BD，CE交于点H，BE、AH交于点G，则下列结论：
①∠ABE＝∠DCE；②AG⊥BE；③S△BHE＝S△CHD；④∠AHB＝∠EHD．其中正确的是（ ）
A．①③
B．①②③④
C．①②③
D．①③④
二、填空题
11、?ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且AC⊥BD，请添加一个条件：
，
使得?ABCD为正方形．
12、下列叙述:①既是矩形又是菱形的四边形是正方形；②有一组邻边相等的矩形是正方形；③有一个角是直角的菱形是正方形；④对角线相等且互相垂直的四边形是正方形。正确的是_______
13、在四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，有下列条件：①OA＝OC，OB＝OD；②OA＝OB＝OC＝OD；③OA＝OB＝OC＝OD，AC⊥BD；④OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD。不能判定四边形ABCD是正方形的是____
14、如图，BD是△ABC的角平分线，DE∥BC，交AB于点E，DF∥AB，交BC于点F，当△ABC满足条件
时，四边形BEDF是正方形．
(14题)
(15题)
(16题)
15、如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△ADE，则∠BED的度数是_______．
16、如图，将边长为8
cm的正方形ABCD折叠，使点D落在BC边的中点E处，点A落在点F处，折痕为MN，则线段CN的长是_______．
17、如图，正方形ABCD的边长为8，在各边上顺次截取AE＝BF＝CG＝DH＝5，
则四边形EFGH的面积是_____
(17题)
(18题)
(19题)
18、如图，将正方形OEFG放在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点E的坐标为(2，3)，
则点F的坐标为___________．
19、如图，在四边形ABCD中，∠ADC＝∠ABC＝90°，AD＝CD，DP⊥AB于P．若四边形ABCD的面积是18，则DP的长是
．
三、解答题
20、如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△ADE，连接BE，CE.
(1)求证：BE＝CE；
(2)求∠BEC的度数．
21、如图，在正方形ABCD中，点M是对角线BD上的一点，过点M作ME∥CD交BC于点E，作MF∥BC交CD于点F，求证：AM＝EF.
22、如图，正方形ABCD的边长为6，菱形EFGH的三个顶点E，G，H分别在正方形ABCD的边AB，CD，DA上，且AH＝2.若DG＝2，求证：菱形EFGH为正方形．
23、已知：如图，在矩形ABCD中，E是BC边一点，DE平分∠ADC，EF∥DC交AD边于点F，连接BD．
（1）求证：四边形EFCD是正方形；
（2）若BE＝1，ED＝2，求BD的长．
24、如图，点O是线段AB上的一点，OA＝OC，OD平分∠AOC交AC于点D，OF平分∠COB，CF⊥OF于点F．
（1）求证：四边形CDOF是矩形；
（2）当∠AOC多少度时，四边形CDOF是正方形？并说明理由．
25、如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E是BD延长线上的点，且△ACE是等边三角形．
(1)求证：四边形ABCD是菱形；
(2)若∠AED＝2∠EAD，求证：四边形ABCD是正方形．
26、以△ABC的各边，在边BC的同侧分别作三个正方形．他们分别是正方形ABDI，BCFE，ACHG，
试探究：（1）如图中四边形ADEG是什么四边形？并说明理由．
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEG是矩形？
（3）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEG是正方形？
9.4矩形、菱形、正方形(5)-苏科版八年级数学下册
培优训练（答案）
一、选择题
1、下列说法不正确的是(
D
)
A．一组邻边相等的矩形是正方形
B．对角线相等的菱形是正方形
C．对角线互相垂直的矩形是正方形
D．有一个角是直角的平行四边形是正方形
2、在四边形ABCD中，O是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的条件是(
C
)
A．AC＝BD，AB∥CD，AB＝CD
B．AD∥BC，∠A＝∠C
C．AO＝BO＝CO＝DO，AC⊥BD
D．AO＝CO，BO＝DO，AB＝BC
3、正方形具有而菱形不一定具有的性质是(
C
)
A．四条边都相等
B．对角线互相垂直平分
C．对角线相等
D．对角线平分一组对角
4、如图，已知P是正方形ABCD对角线BD上一点，且BP＝BC，则∠ACP的度数是(
)
A．45°
B．22.5°
C．67.5°
D．75°
5、如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且BE＝BF，添加一个条件，仍不能证明四边形BECF为正方形的是(
D
)
A．BC＝AC
B．CF⊥BF
C．BD＝DF
D．AC＝BF
6、小明在学习了正方形之后，给同桌小文出了道题，从下列四个条件：①AB＝BC；②∠ABC＝90°；
③AC＝BD；④AC⊥BD中选两个作为补充条件，使?ABCD为正方形(如图)，现有下列四种选法，你认为其中错误的是(
B
)
A．①②
B．②③
C．①③
D．②④
7、如图1－3－21，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且BE＝BF.添加一个条件，仍不能判定四边形ECFB为正方形的是( D
)
A．BC＝AC
B．CF⊥BF
C．BD＝DF
D．AC＝BF
8、如图，在正方形ABCD中，E，F分别为AD，BC的中点，P为对角线BD上的一个动点，则下列线段的长等于AP＋EP最小值的是(
)
A．AB
B．DE
C．BD
D．AF
9、如图，在正方形ABCD中．点E，F分别在BC，CD上，△AEF是等边三角形．连接AC交EF于点G.过点G作GH⊥CE于点H，若S△EGH＝3，则S△ADF＝(
A
)
A．6
B．4
C．3
D．2
10、如图，正方形ABCD中，点E是AD边的中点，BD，CE交于点H，BE、AH交于点G，则下列结论：
①∠ABE＝∠DCE；②AG⊥BE；③S△BHE＝S△CHD；④∠AHB＝∠EHD．其中正确的是（ ）
A．①③
B．①②③④
C．①②③
D．①③④
解：∵四边形ABCD是正方形，E是AD边上的中点，∴AE＝DE，AB＝CD，∠BAD＝∠CDA＝90°，
∴△BAE≌△CDE（SAS），∴∠ABE＝∠DCE，故①正确；
∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝DC，∠ADB＝∠CDB＝45°，DH＝DH，
∴△ADH≌△CDH（SAS），∴∠HAD＝∠HCD，∵∠ABE＝∠DCE,
∴∠ABE＝∠HAD，
∵∠BAD＝∠BAH+∠DAH＝90°，∴∠ABE+∠BAH＝90°，∴∠AGB＝180°﹣90°＝90°，
∴AG⊥BE，故②正确；
∵AD∥BC，∴S△BDE＝S△CDE，∴S△BDE﹣S△DEH＝S△CDE﹣S△DEH，即；S△BHE＝S△CHD，故③正确；
∵△ADH≌△CDH，∴∠AHD＝∠CHD，∴∠AHB＝∠CHB，
∵∠BHC＝∠DHE，∴∠AHB＝∠EHD，故④正确；
故选：B．
二、填空题
11、?ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且AC⊥BD，请添加一个条件：
，
使得?ABCD为正方形．
解：∵?ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且AC⊥BD，∴?ABCD是菱形，
当∠BAD＝90°时，?ABCD为正方形．
故答案为：∠BAD＝90°．
12、下列叙述:①既是矩形又是菱形的四边形是正方形；②有一组邻边相等的矩形是正方形；③有一个角是直角的菱形是正方形；④对角线相等且互相垂直的四边形是正方形。正确的是__
①②③_____
13、在四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，有下列条件：①OA＝OC，OB＝OD；②OA＝OB＝OC＝OD；③OA＝OB＝OC＝OD，AC⊥BD；④OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD。不能判定四边形ABCD是正方形的是_①②④
___
14、如图，BD是△ABC的角平分线，DE∥BC，交AB于点E，DF∥AB，交BC于点F，当△ABC满足条件
∠ABC＝90°
时，四边形BEDF是正方形．
15、如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△ADE，则∠BED的度数是___45°______．
16、如图，将边长为8
cm的正方形ABCD折叠，使点D落在BC边的中点E处，点A落在点F处，折痕为MN，则线段CN的长是__3
cm______．
17、如图，正方形ABCD的边长为8，在各边上顺次截取AE＝BF＝CG＝DH＝5，
则四边形EFGH的面积是__34
___
18、如图，将正方形OEFG放在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点E的坐标为(2，3)，
则点F的坐标为____
(－1，5)
________．
19、如图，在四边形ABCD中，∠ADC＝∠ABC＝90°，AD＝CD，DP⊥AB于P．若四边形ABCD的面积是18，则DP的长是
．
解：如图，过点D作DE⊥DP交BC的延长线于E，
∵∠ADC＝∠ABC＝90°，∴四边形DPBE是矩形，
∵∠CDE+∠CDP＝90°，∠ADC＝90°，∴∠ADP+∠CDP＝90°，∴∠ADP＝∠CDE，
∵DP⊥AB，∴∠APD＝90°，∴∠APD＝∠E＝90°，
在△ADP和△CDE中，，∴△ADP≌△CDE（AAS），
∴DE＝DP，四边形ABCD的面积＝四边形DPBE的面积＝18，
∴矩形DPBE是正方形，∴DP＝＝3．故答案为：3．
三、解答题
20、如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△ADE，连接BE，CE.
(1)求证：BE＝CE；
(2)求∠BEC的度数．
(1)证明：∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝AD＝CD，∠BAD＝∠ADC＝90°.∵△ADE为正三角形，
∴AE＝AD＝DE，∠EAD＝∠EDA＝60°，∴∠BAE＝∠CDE＝150°.
在△BAE和△CDE中，∴△BAE≌△CDE(SAS)，∴BE＝CE
(2)∵AB＝AD，AD＝AE，∴AB＝AE，∴∠ABE＝∠AEB.又∵∠BAE＝150°，∴∠ABE＝∠AEB＝15°.
同理：∠CED＝15°，∴∠BEC＝60°－15°×2＝30°
21、如图，在正方形ABCD中，点M是对角线BD上的一点，过点M作ME∥CD交BC于点E，作MF∥BC交CD于点F，求证：AM＝EF.
证明：连接MC，在正方形ABCD中，∵AD＝CD，∠ADM＝∠CDM，
又DM＝DM，∴△ADM≌△CDM，∴AM＝CM.
∵ME∥CD，MF∥BC，∴四边形CEMF是平行四边形．
又∵∠ECF＝90°，∴?CEMF是矩形，∴EF＝MC.
又∵AM＝CM，∴AM＝EF
22、如图，正方形ABCD的边长为6，菱形EFGH的三个顶点E，G，H分别在正方形ABCD的边AB，CD，DA上，且AH＝2.若DG＝2，求证：菱形EFGH为正方形．
证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠D＝∠A＝90°.
∵四边形EFGH是菱形，∴HG＝HE.
∵DG＝AH＝2，∴Rt△HDG≌Rt△EAH，∴∠DHG＝∠AEH.
又∵∠AEH＋∠AHE＝90°，∴∠DHG＋∠AHE＝90°，∴∠GHE＝90°，∴菱形EFGH为正方形
23、已知：如图，在矩形ABCD中，E是BC边一点，DE平分∠ADC，EF∥DC交AD边于点F，连接BD．
（1）求证：四边形EFCD是正方形；
（2）若BE＝1，ED＝2，求BD的长．
（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠ADC＝∠C＝90°，
∵EF∥DC，∴四边形FECD为平行四边形，
∵DE平分∠ADC，∴∠ADE＝∠CDE，
∵AD∥BC，∴∠ADE＝∠DEC，∴∠CDE＝∠DEC，∴CD＝CE，∴四边形FECD是菱形，
又∵∠C＝90°，∴平行四边形FECD是正方形；
（2）∵四边形FECD是正方形，∴∠CDE＝45°，
∵，∴CE＝CD＝ED?sin45°＝2×＝2，∴BC＝BE+EC＝1+2＝3，
∴BD2＝BC2+CD2＝32+22＝13，∴BD＝．
24、如图，点O是线段AB上的一点，OA＝OC，OD平分∠AOC交AC于点D，OF平分∠COB，CF⊥OF于点F．
（1）求证：四边形CDOF是矩形；
（2）当∠AOC多少度时，四边形CDOF是正方形？并说明理由．
解：（1）证明：∵OD平分∠AOC，OF平分∠COB（已知），∴∠AOC＝2∠COD，∠COB＝2∠COF，
∵∠AOC+∠BOC＝180°，∴2∠COD+2∠COF＝180°，∴∠COD+∠COF＝90°，
∴∠DOF＝90°；
∵OA＝OC，OD平分∠AOC（已知），∴OD⊥AC，AD＝DC（等腰三角形的“三合一”的性质），
∴∠CDO＝90°，
∵CF⊥OF，∴∠CFO＝90°,∴四边形CDOF是矩形；
（2）当∠AOC＝90°时，四边形CDOF是正方形；
理由如下：∵∠AOC＝90°，AD＝DC，∴OD＝DC；
又由（1）知四边形CDOF是矩形，则四边形CDOF是正方形；
因此，当∠AOC＝90°时，四边形CDOF是正方形．
25、如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E是BD延长线上的点，且△ACE是等边三角形．
(1)求证：四边形ABCD是菱形；
(2)若∠AED＝2∠EAD，求证：四边形ABCD是正方形．
证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝CO.
又∵△ACE是等边三角形，∴EO⊥AC，即AC⊥BD，∴四边形ABCD是菱形．
(2)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝CO.
又∵△ACE是等边三角形，∴EO平分∠AEC，∴∠AED＝∠AEC＝×60°＝30°.
又∵∠AED＝2∠EAD，∴∠EAD＝15°，
∴∠ADO＝∠EAD＋∠AED＝15°＋30°＝45°.
∵四边形ABCD是菱形∴∠ADC＝2∠ADO＝90°，∴四边形ABCD是正方形．
26、以△ABC的各边，在边BC的同侧分别作三个正方形．他们分别是正方形ABDI，BCFE，ACHG，
试探究：（1）如图中四边形ADEG是什么四边形？并说明理由．
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEG是矩形？
（3）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEG是正方形？
解：（1）图中四边形ADEG是平行四边形．理由如下：
∵四边形ABDI、四边形BCFE、四边形ACHG都是正方形，
∴AC＝AG，AB＝BD，BC＝BE，∠GAC＝∠EBC＝∠DBA＝90°．
∴∠ABC＝∠EBD（同为∠EBA的余角）．
在△BDE和△BAC中，
，∴△BDE≌△BAC（SAS），
∴DE＝AC＝AG，∠BAC＝∠BDE．
∵AD是正方形ABDI的对角线，∴∠BDA＝∠BAD＝45°．
∵∠EDA＝∠BDE﹣∠BDA＝∠BDE﹣45°，
∠DAG＝360°﹣∠GAC﹣∠BAC﹣∠BAD＝360°﹣90°﹣∠BAC﹣45°＝225°﹣∠BAC
∴∠EDA+∠DAG＝∠BDE﹣45°+225°﹣∠BAC＝180°，∴DE∥AG，
∴四边形ADEG是平行四边形（一组对边平行且相等）．
（2）当四边形ADEG是矩形时，∠DAG＝90°．
则∠BAC＝360°﹣∠BAD﹣∠DAG﹣∠GAC＝360°﹣45°﹣90°﹣90°＝135°，
即当∠BAC＝135°时，平行四边形ADEG是矩形；
（3）当四边形ADEG是正方形时，∠DAG＝90°，且AG＝AD．
由（2）知，当∠DAG＝90°时，∠BAC＝135°．
∵四边形ABDI是正方形，∴AD＝AB．
又∵四边形ACHG是正方形，∴AC＝AG，∴AC＝AB．
∴当∠BAC＝135°且AC＝AB时，四边形ADEG是正方形．
