北师大版九年级数学下册第三章圆高频考点专题练习一遍过（五）（Word版，附答案）

《圆》高频考点专题练习一遍过（五）
1．如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与BC相交于点D，与CA的延长线相交于点E，过点D作DF⊥AC于点F．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）若AC＝3AE，DF＝，则CF＝　
　．
2．已知，如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，OF⊥BC于点F，交⊙O于点E，AE与BC交于点H，点D为OE的延长线上一点，且∠ODB＝∠AEC．
（1）求证：BD是⊙O的切线；
（2）求证：CE2＝EHEA；
（3）若⊙O的半径为，sinA＝，求BH的长．
3．如图，在⊙O的内接△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝2AC，过点A作BC的垂线m交⊙O于另一点D，垂足为H，点E为上异于A，B的一个动点，射线BE交直线m于点F，连接AE，连接DE交BC于点G．
（1）求证：△FED∽△AEB；
（2）若＝，AC＝2，连接CE，求AE的长；
（3）在点E运动过程中，若BG＝CG，求tan∠CBF的值．
4．如图，AB为⊙O的直径，弦BC，DE相交于点F，且DE⊥AB于点G，过点C作⊙O的切线交DE的延长线于点H．
（1）求证：HC＝HF；
（2）若⊙O的半径为5，点F是BC的中点，tan∠HCF＝m，写出求线段BC长的
思路．
5．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AC为直径，＝，BE⊥DC交DC的延长线于点E．
（1）求证：∠1＝∠BCE；
（2）求证：BE是⊙O的切线；
（3）若EC＝1，CD＝3，求cos∠DBA．
6．如图，在平面直角坐标系中，△ABC内接于⊙P，AB是⊙P的直径，A（﹣1，0）C（3，2），BC的延长线交y轴于点D，点F是y轴上的一动点，连接FC并延长交x轴于点E．
（1）求⊙P的半径；
（2）当∠A＝∠DCF时，求证：CE是⊙P的切线．
7．如图，在⊙O中，点D是⊙O上的一点，点C是直径AB延长线上一点，连接BD，CD，且∠A＝∠BDC．
（1）求证：直线CD是⊙O的切线；
（2）若CM平分∠ACD，且分别交AD，BD于点M，N，当DM＝2时，求MN的长．
8．如图，AB为⊙O的直径，AE是⊙O的弦，C是弧AE的中点，弦CG⊥AB于点D，交AE于点F，过点C作⊙O的切线，交BA延长线于点P，连接BE
（1）求证：PC∥AE
（2）若sinP＝，CF＝5，求BE的长．
9．如图，AB为⊙O的直径，C为半圆上一动点，过点C作⊙O的切线l，过点B作BD⊥l，垂足为D，BD与⊙O交于点E，连接OC，CE，AE，AE交OC于点F．
（1）求证：△CDE≌△EFC；
（2）若AB＝4，连接AC．
①当AC＝　
　时，四边形OBEC为菱形；
②当AC＝　
　时，四边形EDCF为正方形．
10．如图，点C是以AB为直径的⊙O上一点，CD是⊙O切线，D在AB的延长线上，作AE⊥CD于E．
（1）求证：AC平分∠BAE；
（2）若AC＝2CE＝6，求⊙O的半径；
（3）请探索：线段AD，BD，CD之间有何数量关系？请证明你的结论．
参考答案
1．（1）证明：连接OD，
∵OB＝OD，
∴∠B＝∠ODB，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∴∠ODB＝∠C，
∴OD∥AC，
∵DF⊥AC，
∴OD⊥DF，
∴DF是⊙O的切线；
（2）解：连接BE，AD，
∵AB是直径，
∴∠AEB＝90°，
∵AB＝AC，AC＝3AE，
∴AB＝3AE，CE＝4AE，
∴BE＝＝2AE，
∴＝，
∵∠DFC＝∠AEB＝90°，
∴DF∥BE，
∴△DFC∽△BEC，
∴＝＝，
∴DF＝FC，
∵DF＝，
∴CF＝2．
故答案为：2．
2．（1）证明：如图1中，
∵∠ODB＝∠AEC，∠AEC＝∠ABC，
∴∠ODB＝∠ABC，
∵OF⊥BC，
∴∠BFD＝90°，
∴∠ODB+∠DBF＝90°，
∴∠ABC+∠DBF＝90°，
即∠OBD＝90°，
∴BD⊥OB，
∴BD是⊙O的切线；
（2）证明：连接AC，如图2所示：
∵OF⊥BC，
∴＝，
∴∠CAE＝∠ECB，
∵∠CEA＝∠HEC，
∴△CEH∽△AEC，
∴＝，
∴CE2＝EHEA；
（3）解：连接BE，如图3所示：
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，
∵⊙O的半径为，sin∠BAE＝，
∴AB＝5，BE＝ABsin∠BAE＝5×＝3，
∴EA＝＝4，
∵＝，
∴BE＝CE＝3，
∵CE2＝EHEA，
∴EH＝，
∴在Rt△BEH中，BH＝＝＝．
3．解：（1）∵⊙O的内接△ABC中，∠CAB＝90°，
∴BC是⊙O的直径，
∵点E为上异于A，B的一个动点，
∴∠CEB＝90°，
∴∠ECB+∠EBC＝90°，
∵过点A作BC的垂线m交⊙O于另一点D，垂足为H，
∴∠FHB＝90°，
∴∠FBH+∠HFB＝90°，
∴∠HFB＝∠ECB，
∵∠EAB＝∠ECB，
∴∠EAB＝∠HFB，
∵∠FBA＝∠ADE，
∴△FED∽△AEB；
（2）∵∠CAB＝90°，AB＝2AC，AC＝2，
∴AB＝4，
根据勾股定理得，BC＝2，
∵AD⊥BC，BC是⊙O的直径，
∴DH＝AH＝＝＝，
在Rt△AHB中，根据勾股定理得，BH＝＝，
∵，BC是⊙O的直径，
∴BE＝CE，∠ECB＝∠EBC＝45°，
∵BC＝2，∠BEC＝90°，
∴BE＝CE＝，
∵∠FHB＝90°，∠EBC＝45°，BH＝，
∴FH＝BH＝，BF＝，
∴EF＝BF﹣BE＝，FD＝FH+DH＝，
∵△FED∽△AEB，
∴，
∴，
∴AE＝；
（3）如图，过点G作GT⊥CE于T，
∵∠CEB＝90°，
∴TG∥EB，
∴＝，∠CGT＝∠CBF，
∴tan∠CBF＝tan∠CGT＝，
∵，
∴∠CED＝∠ABC，
∴tan∠CED＝tan∠ABC，
∴，
∵，BG＝CG，
∴ET＝CT，，
∴，
∴tan∠CBF＝tan∠CGT＝．
4．（1）证明：连接OC，如图1．
∵CH是⊙O的切线，
∴∠2+∠1＝90°，
∵DE⊥AB，
∴∠3+∠4＝90°，
∵OB＝OC，
∴∠1＝∠4，
∴∠2＝∠3，
又∵∠5＝∠3，
∴∠2＝∠5，
∴HC＝HF．
（2）求解思路如下：
思路一：连接OF，如图2．
①OF过圆心且点F是BC的中点，由垂径定理可得BC＝2CF，∠OFC＝90°；
②由∠6与∠1互余，∠2与∠1互余可得∠6＝∠2，从而可知tan∠6＝m；
③在Rt△OFC中，由，可设OF＝x，CF＝mx，由勾股定
理，得x2+（mx）2＝52，可解得x的值；
④由BC＝2CF＝2mx，可求BC的长．
思路二：连接AC，如图3．
①由AB是⊙O的直径，可得△ACB是直角三角形，知∠6与∠4互余，
又DE⊥AB可知∠3与∠4互余，得∠6＝∠3；
②由∠6＝∠3，∠3＝∠2，可得∠6＝∠2，从而可知tan∠6＝m；
③在Rt△ACB中，由，可设AC＝x，BC＝mx，
由勾股定理，得x2+（mx）2＝102，可解得x的值；
④由BC＝mx，可求BC的长．
5．解：（1）过点B作BF⊥AC于点F，
在△ABF与△DBE中，
∴△ABF≌△DBE（AAS）
∴BF＝BE，
∴∠1＝∠BCE
（2）连接OB，
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ABC＝90°，即∠1+∠BAC＝90°，
∵∠BCE+∠EBC＝90°，且∠1＝∠BCE，
∴∠BAC＝∠EBC，
∵OA＝OB，
∴∠BAC＝∠OBA，
∴∠EBC＝∠OBA，
∴∠EBC+∠CBO＝∠OBA+∠CBO＝90°，
∴BE是⊙O的切线；
（3）由（2）可知：∠EBC＝∠CBF＝∠BAC，
在△EBC与△FBC中，
，
∴△EBC≌△FBC（AAS），
∴CF＝CE＝1，
由（1）可知：AF＝DE＝1+3＝4，
∴AC＝CF+AF＝1+4＝5，
∴cos∠DBA＝cos∠DCA＝＝
6．（1）解：作CG⊥x轴于G，
则AC2＝AG2+CG2＝（3+1）2+（2）2＝24，
由射影定理得：AC2＝AGAB，
∴AB＝＝6，
∴⊙P的半径为3；
（2）证明：连接PC，
∵AB是⊙P的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠CAB+∠CBA＝90°，
∵PC＝PB，
∴∠PCB＝∠PBC，
∵∠A＝∠DCF＝∠ECB，
∴∠ECB+∠PCB＝90°，
∵C在⊙P上，
∴CE是⊙P的切线．
7．（1）证明：如图，连接OD．
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，即∠A+∠ABD＝90°，
又∵OD＝OB，
∴∠ABD＝∠ODB，
∵∠A＝∠BDC；
∴∠CDB+∠ODB＝90°，即∠ODC＝90°．
∵OD是圆O的半径，
∴直线CD是⊙O的切线；
（2）解：∵CM平分∠ACD，
∴∠DCM＝∠ACM，
又∵∠A＝∠BDC，
∴∠A+∠ACM＝∠BDC+∠DCM，即∠DMN＝∠DNM，
∵∠ADB＝90°，DM＝2，
∴DN＝DM＝2，
∴MN＝＝2．
8．证明：（1）连接OC，如图，
∵PC为⊙O的切线，
∴OC⊥PC，
∵C是弧AE的中点，
∴OC⊥AE，
∴PC∥AE；
（2）设OC与AE交于点H，如图，
∵CG⊥AB，
∴＝，
∴＝，
∴∠ACG＝∠CAE，
∴AF＝CF＝5，
∵PC∥AE，
∴∠EAB＝∠P，
在Rt△ADF中，
∵sin∠P＝sin∠FAD＝＝，
∴DF＝3，AD＝4，
在△OAH和△OCD中
，
∴△OAH≌△OCD，
∴AH＝CD＝5+3＝8，
∴AE＝2AH＝16，
∵∠DAF＝∠EAB，
∴Rt△ADF∽Rt△AEB，
∴DF：BE＝AD：AE，即3：BE＝4：16，
∴BE＝12．
9．（1）证明：如图，
∵BD⊥CD，
∴∠CDE＝90°，
∵AB是直径，
∴∠AEB＝90°，
∵CD是切线，
∴∠FCD＝90°，
∴四边形CFED矩形，
∴CF＝DE，EF＝CD，
在△CDE和△EFC中，
，
∴△CDE≌△EFC．
（2）解：①当AC＝2时，四边形OCEB是菱形．
理由：连接OE．
∵AC＝OA＝OC＝2，
∴△ACO是等边三角形，
∴∠CAO＝∠AOC＝60°，
∵∠AFO＝90°，
∴∠EAB＝30°，
∵∠AEB＝90°，
∴∠B＝60°，∵OE＝OB，
∴△OEB是等边三角形，
∴∠EOB＝60°，
∴∠COE＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∵CO＝OE，
∴△COE是等边三角形，
∴CE＝CO＝OB＝EB，
∴四边形OCEB是菱形．
故答案为2．
②当四边形DEFC是正方形时，
∵CF＝FE，
∵∠CEF＝∠FCE＝45°，
∵OC⊥AE，
∴＝，
∴∠CAE＝∠CEA＝45°，
∴∠ACE＝90°，
∴AE是⊙O的直径，
∴＝，
∴△AOC是等腰直角三角形，
∴AC＝OA＝2．
∴AC＝2时，四边形DEFC是正方形．
故答案为2．
10．（1）证明：连接OC，
∵CD是⊙O切线，
∴OC⊥CD，
∵AE⊥CD，
∴OC∥AE，
∴∠EAC＝∠ACO，
∵OA＝OC，
∴∠CAO＝∠ACO，
∴∠EAC＝∠A＝CAO，
即AC平分∠BAE；
（2）解：连接BC，
∵AE⊥CE，AC＝2CE＝6，
∴sin∠CAE＝＝，
∴∠CAE＝30°，
∴∠CAB＝∠CAE＝30°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴cos∠CAB＝＝，
∴AB＝4，
∴⊙O的半径是2；
（3）CD2＝BDAD，
证明：∵∠DCB+∠BCO＝90°，∠ACO+∠BCO＝90°，
∴∠DCB＝∠ACO，
∴∠DCB＝∠ACO＝∠CAD，
∵∠D＝∠D