北师大版九年级下册第三章圆高频考点专题练习一遍过（一）（Word版，附答案）

《圆》高频考点专题练习一遍过（一）
1．如图所示，已知AB为⊙O的直径，CD是弦，且AB⊥CD于点E，连接AC、OC、BC．
（1）求证：∠ACO＝∠BCD；
（2）若EB＝8，CD＝24，求⊙O的直径．
2．如图，已知以Rt△ABC的边AB为直径作△ABC的外接圆⊙O，∠B的平分线BE交AC于D，交⊙O于E，过E作EF∥AC交BA的延长线于F．
（1）求证：EF是⊙O切线；
（2）若AB＝15，EF＝10，求AE的长．
3．已知：如图，△ABC内接于⊙O，点D在OC的延长线上，sinB＝，∠CAD＝30°．
（1）求证：AD是⊙O的切线；
（2）若OD⊥AB，BC＝5，求AD的长．
4．已知“6”字形图中，FM是大⊙O的直径，BC与大⊙O相切于B，OB与小⊙O相交于A，AD∥BC，CD∥BH∥FM，DH⊥BH于H，设∠FOB＝30°，OB＝4，BC＝6．
（1）求证：AD为小⊙O的切线；
（2）求DH的长．（结果保留根号）
5．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线AD交BC于D，点O在AB上，经过A、D两点的⊙O交AB于E．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若AC＝6，BC＝8，求⊙O的半径．
6．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，O是AB上一点，以O为圆心OB为半径的圆与AB交于点E，与AC交于点D，连接DE、DE、OC，若DE∥OC．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若AD＝2，AE＝1，求CD的长．
7．如图，已知AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，OC∥弦AD．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若过点D作DE⊥AB于E交AC于P，试求的值．
8．如图，已知在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O交BC于F，连接OC交⊙O于D，连接BD并延长交AC于E，BC＝AB．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）求的值．
9．如图，已知AB是⊙O的直径，直线CD经过⊙O上一点C，AD⊥DC，AC平分∠DAB．
（1）求证：直线CD为⊙O的切线；
（2）若AD＝2，AC＝，求AB的长．
10．如图所示，MN是⊙O的切线，B为切点，BC是⊙O的弦且∠CBN＝45°，过C的直线与⊙O，MN分别交于A，D两点，过C作CE⊥BD于点E．
（1）求证：CE是⊙O的切线；
（2）若∠D＝30°，BD＝2+2，求⊙O的半径r．
参考答案
1．（1）证明：∵AB⊥CD，
∴，
∴∠A＝∠BCD，
∵OA＝OC，
∴∠A＝∠ACO，
∴∠ACO＝∠BCD；
（2）解：设⊙O的半径为r，则OC＝r，OE＝OA﹣BE＝r﹣8，
∵AB⊥CD，
∴CE＝DE＝CD＝×24＝12，
在Rt△OCE中，122+（r﹣8）2＝r2，解得r＝13，
∴⊙O的直径＝2r＝26．
2．（1）证明：连接OE，
∵∠B的平分线BE交AC于D，
∴∠CBE＝∠ABE．
∵EF∥AC，
∴∠CAE＝∠FEA．
∵∠OBE＝∠OEB，∠CBE＝∠CAE，
∴∠FEA＝∠OEB．
∵∠AEB＝90°，
∴∠FEO＝90°．
∴EF是⊙O切线．
（2）解：在△FEA与△FBE中，
∵∠F＝∠F，∠FEA＝∠FBE，
∴△FEA∽△FBE，
∴＝＝，
∴AFBF＝EFEF，
∴AF×（AF+15）＝10×10，
解得AF＝5．
∴BF＝20．
∴＝，
∴BE＝2AE，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，
∴AE2+BE2＝152，
∴AE2+（2AE）2＝225，
∴AE＝3．
3．证明：连接OA，
（1）∵sinB＝，
∴∠B＝30°，
∠AOC＝60°，
又∵OA＝OC，
∴△AOC是等边三角形，
∴∠OAC＝60°，
∴∠OAD＝60°+30°＝90°，
∴AD是⊙O的切线；
（2）∵OC⊥AB，OC是半径，
∴BE＝AE，
∴OD是AB的垂直平分线，
∴∠DAE＝60°，∠D＝30°，
在Rt△ACE中，AE＝cos30°×AC＝，
∴在Rt△ADE中，AD＝2AE＝5．
4．（1）证明：∵BC与大⊙O相切于B，
∴OB⊥BC．
∵AD∥BC，
∴OB⊥AD，即OA⊥AD，
∴AD为小⊙O的切线．
（2）解：∵AD∥BC，CD∥BH，∴四边形BCDG是平行四边形．
∴DG＝BC＝6．
∵∠FOB＝30°，BH∥FM，
∴∠OBG＝30°，∠BGA＝60°＝∠DGH．
在Rt△DGH中，
DH＝DGsin60°＝6×＝3．
5．证明：（1）连接OD，（1分）
∵∠BAC的平分线AD交BC于D，
∴∠OAD＝∠CAD；
又∵∠OAD＝∠ODA，
∴∠ODA＝∠CDA，
∴OD∥AC．
∵∠ACB＝90°，
∴OD⊥BC，（3分）
∴BC是⊙O的切线．∵AC＝6，BC＝8，
∴AB＝10；
过C作CH⊥AB于H，
则CH＝＝，（5分）
连接OC，设⊙O的半径为r；
则S△ABC＝S△OBC+S△OAC＝，（6分）
∴，
∴．（8分）
6．证明：（1）连接OD，
∵DE∥OC，
∴∠DEB＝∠COB，∠DOC＝∠ODE．
∵∠ODE＝∠OED，
∴∠DOC＝∠BOC．
∵OD＝OD，OC＝OC，
∴∠CDO＝∠CBO＝90°．
∴∠ODA＝90°．
∴AC是⊙O的切线．
解：（2）设半径为x，则x2+4＝（x+1）2
∴x＝1.5
∴AB＝4．
∵BC＝CD，
∴CD2+16＝（CD+2）2
∴CD＝3．
7．（1）证明：连接OD，BD；
∵OC∥弦AD，
∴∠BOC＝∠A，∠ADO＝DOC．
∵OA＝OD，
∴∠A＝∠COD．
∴∠COD＝∠BOC．
∵OC＝OC，OB＝OD，
∴△OCD≌△OCB．
∴∠B＝∠ODC＝90°．
∴CD是⊙O的切线．
（2）解：∵BC是⊙O的切线，
∴∠OBC＝90°．
∵DE⊥AB，
∴∠AED＝90°．
∴∠OBC＝∠AED．
∵OC∥弦AD，
∴∠BOC＝∠EAD．
∴△OBC∽△AED．
∴BC：DE＝OB：AE．
∵PE∥BC，
∴△ABC∽△AEP．
∴BC：EP＝AB：AE．
∵AB＝2OB，
∴DE＝2PE．
∴PD＝PE．
∴PD：ED＝1：2．
8．（1）证明：连接AF，则AF⊥BC；
∵AB＝AC，且AF⊥BC，
∴F是BC的中点，即CF＝BC＝AC；
在Rt△ACF中，AC＝FC，则∠FCA＝45°；
即△ABC是等腰直角三角形，故AB⊥AC，
∵AB是⊙O的直径，
∴AC是⊙O的切线．
（2）解：连接AD，则AD⊥BE；
∵∠EDC＝∠ODB，而∠ODB＝∠OBD，
∴∠EDC＝∠OBD；
由弦切角定理知：∠DAE＝∠OBD，故∠EDC＝∠DAE，
易得：△CDE∽△CAD，
∴，而；
即?；
由（1）知：AB＝AC，故＝1．
9．证明：（1）连OC．
∵AD⊥DC，
∴∠ADC＝90°．
∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC＝∠CAB．
又OC＝OA，
∴∠CAB＝∠ACO，
∴∠DAC＝∠ACO，
∴OC∥AD．
∴∠OCD＝180°﹣∠ADC＝90°．
又OC是⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线．解：连接BC；
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°．
又∠ADC＝90°，
∴∠ADC＝∠ACB＝90°，
由（1）可知∠DAC＝∠CAB，
∴△ACD∽△ABC．
∴而AD＝2．
∴，
∴，
故AB的长为．（8分）
10．（1）证明：连接OB、OC．
∵MN是⊙O的切线，
∴OB⊥MN．
∵∠CBN＝45°，
∴∠OBC＝45°，∠BCE＝45°．
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB＝45°．
∴∠OCE＝90°，
∴CE是⊙O的切线；
（2）解：∵OB⊥BE，CE⊥BE，OC⊥CE，
∴四边形BOCE是矩形，
又OB＝OC，
∴四边形BOCE是正方形，
∴BE＝CE＝OB＝OC＝r．
在Rt△CDE中，
∵∠D＝30°，CE＝r，
∴DE＝r．
∵BD＝2+2，
∴r+r＝2+2，
∴r＝2，即⊙O的半径为2．