15.3.1平方差公式教案
教学知识点 张秀君
1．经历探索平方差公式的过程。
2．会推导平方差公式，并能运用公式进行简单运算。
能力训练要求
1．在探索平方差公式的过程中，培养符号感和推理能力。
2．培养学生观察、归纳、概括的能力。
情感与价值观要求
在计算过程中发现规律，并能用符号表示，从而
体会数学的简捷美。
教学重点和难点
（1）平方差公式的推导和应用．
（2）理解平方差公式的结构特征，灵活应用平方差公式．
教学方法：
采用启发式、探索式教学方法。整个探究学习的过程充满了师生之间、学生之间的交流和互动，体现了教师是教学活动的组织者、引导者，而学生才是学习的主体
学习方法：学生积极参与、大胆猜想、自主探索和合作交流。
教学手段：利用多媒体辅助教学。
教学过程：
一、创设情景，引入新课
活动1：
你能用简便方法计算下列各题吗？
（1）2001×1999 （2）998×1002
计算下列各题，你能发现什么规律？
(x+1)(x－1)； (2) (a+2)(a－2)；
（3）(3－x)(3+x) ； (4) (2x+1)(2x－1).
二、新课学习
(a+b)(a－ b)= a2－ ab+ab－ b2=a2－ b2
平方差公式:
(a+b)(a－ b)= a2－ b2
即两数和与这两数差的积等于这两个数的平方差.
活动2 验证
请从这个正方形纸板上，剪下一个边长为b的小正方形，如图1，拼成如图2的长方形，你能根据图中的面积说明平方差公式吗？
.
练一练：
下列多项式乘法中，
能用平方差公式计算的是( ):
（1）(x+1)(1+x)；
（2）(a+b)(b－a) ； （3）(－a+b)(a－b)；
（4）(x2－y)(x+y2)； （5）(－a－b)(a－b)；
（6）(c2－d2)(d2+c2).
活动3 例题学习
例1 运用平方差公式计算：
(1) (3x＋2 )( 3x－2 ) ；(2) (b+2a)(2a－b);
(3) (-x+2y)(-x-2y). (4) (-4a-1)(4a-1)
归纳：
(a+b)(a-b)=a2-b2 的结构特征：
1、公式中的a、b代表数字、单项式或多项式。
2、等式左边：两个数的和与两个数的差的积。等式的右边：两个数的平方差。
3、这两个数的确定：符号相同的是a;符号相反的是b。
例如：(－ m+n) (－ m － n) =（-m）2 － n2.= m2-n2
活动4 练习
1.下面各式的计算对不对？
如果不对，应当 怎样改正？
(1)(x+2)(x－2)=x2－2；
(2)(－3a－2)(3a－2)=9a2－4.
2.根据公式计算.
(1)(x+y)(x－y)；
(2)(a+5)(5－a)；
(3)(xy+z) (xy－z)；
(4)(c－a) (a+c)；
(5)(x－3) (－3－x).
例2 计算
(1) 102×98
(2) (y+2) (y -2) - (y -1) (y+5)
3.利用平方差公式计算：
（1）199×201
（2）(－2x2－y)(－2x2+y)
（3）51×49
（4）(3x+4)(3x-4)-(2x+3)(3x-2)
拓展练习
–3x(x+1)(x-1)-x(3x+2)(2-3x)
(x+3) (x-3) (x2+9) (x4+81)
三、小结
通过本节课的学习我有哪些收获？
四、作业：第156页 习题 15.2 第1题
五、课堂检测
1.（ x+2)( x-2)
2. (-2b-5)(2b-5) 3. 51×49
4. 化简求值：
（m+2n)(m-2n)-(2m-n)(-2m-n)
其中m=8 n=-8
六、板书设计
15.2.1平方差公式
1.平方差公式: (a+b)(a- b)=a2-b2
即两个数的和与这两个数的差的积
等于这两个数的平方差.
2.例题讲解
例题1
(1) (3x+2)(3x-2)
(2) (b+2a)(2a-b)
(3) (-x+2y)(-x-2y)
(4) (-4a-1)(4a-1)
例题2 计算
(1) 102×98
(2) (y+2)(y -2) - (y -1)(y+5)《平方差公式》说课稿
一、说教材。 张秀君
1、说课内容：
人教版《义务教育课程标准实验教科书·数学》八年级上册“15.2乘法公式”（第一课时）。
2、本课在教材中的地位、作用和意义：
《平方差公式》是在学习了有理数运算、列简单的代数式、一次方程及不等式、整式的加减及整式乘法等知识的基础上，在学生已经掌握了多项式乘法之后，自然过渡到具有特殊形式的多项式的乘法，是从一般到特殊的认知规律的典型范例.对它的学习和研究，不仅给出了特殊的多项式乘法的简便算法，而且为以后的因式分解、分式的化简、二次根式中的分母有理化、解一元二次方程、函数等内容奠定了基础，同时也为完全平方公式的学习提供了方法.因此，平方差公式在初中阶段的教学中也具有很重要地位，是初中阶段的第一个公式.
3、本节课的教学目标：
基于对教材的理解和分析，以学生的学为根本，基于以下目的：
1、让学生经历“特例──归纳──猜想──验证──用数学符号表示”这一数学活动过程，积累数学活动的经验，进一步发展学生的符号感、推理能力、归纳能力，同时体会数学的简洁美、培养他们的合情推理和归纳的能力以及在解决问题过程中与他人合作交流的重要性.
2、让学生了解平方差公式产生的背景，理解平方差公式的意义，掌握平方差公式的结构特征，并能灵活运用平方差公式解决问题.在数学活动中，引导学生观察、分析公式的结构特征以及公式中字母的广泛含义，并在练习中，对发生的错误做具体分析，加深学生对公式的理解.
3、通过自主探究与合作交流的学习方式，让学生经历探索新知、巩固新知和拓展新知这一过程，发挥学生的主体作用，增强学生学数学、用数学的兴趣.同时，让学生在公式的运用中积累解题的经验，体会成功的喜悦.
我把本课的目标定位为：
（一）知识目标：
1．经历探索平方差公式的过程。
2．会推导平方差公式，并能运用公式进行简单运算。
（二）能力目标
1．在探索平方差公式的过程中，培养符号感和推理能力。
2．培养学生观察、归纳、概括的能力。
（三）情感目标：
在计算过程中发现规律，并能用符号表示，从而体会数学的简捷美。
4、教学重难点
教学重点：平方差公式的推导和应用．
预计学生学习上的困难：（1）对于平方差公式（a+b）（a-b）= a2-b2，引入是为了简化多项式乘法，没有这种认识之前，学生对左右两边都是多项式的“公式”还不认可，这会增加教学的困难.
（2）数学公式都有其产生的背景、引入的目的、形成的过程和自身的结构特征，这些教材上是无法一一阐述的.我们教学时往往不去刻意创设学习情景，营造公式产生的氛围，引导学生经历公式的探索过程，而是照本宣科，生搬硬套，过于直接的教学不利于化解难点.
（3）数学公式中字母的高度概括性、广泛应用性及换元思想的渗透，对八年级学生的思维水平还难适应，（a+b）（a-b）= a2-b2；（1+2x）（1-2x）= 1-4x2；（-4a-1）（4a-1）=1-16a2 都是用平方差公式，102×98也能用平方差公式，使得习惯于机械模仿和解题程序化的学生思维受阻，造成困难.
基于以上情况，我们把教学难点定为：
利用数形结合的数学思想方法解释平方差公式，灵活运用平方差公式进行计算．
5、教、学具准备
多媒体软件辅助教学
二、说学生。
学生已熟练掌握了幂的运算和整式乘法，但在进行多项式乘法运算时常常会确定错某些项符号及漏项等问题．学生学习平方差公式的困难在于对公式的结构特征以及公式中字母的广泛含义学生的理解．因此，教学中引导学生分析公式的结构特征，并运用变式训练揭示公式的本质特征，以加深学生对公式的理解．
三、说教法、学法。
课堂是学生学习的主阵地，真正做到把课堂还给学生，因而我们采取的的教学模式及学习方式定为：
教学方法：
采用启发式、探索式教学方法。整个探究学习的过程充满了师生之间、学生之间的交流和互动，体现了教师是教学活动的组织者、引导者，而学生才是学习的主体。
学习方法：
学生积极参与、大胆猜想、自主探索和合作交流。
四、说教学过程。
1.本节课教学按以下五个流程展开
（一）创设情景，引入新课
数学课标强调：“数学来源于实际生活”，为了体现这一思想，我设计了一个实际问题，以学生身边的生活实践为例，激发学生对数学学习的兴趣，并自然引出本节课的主要内容。
(二) 合作交流，推导公式
首先，我安排了几个练习，通过对特殊的多项式与多项式相乘的计算，既复习了旧知，又为下面学习平方差公式作了铺垫，让学生感受从一般到特殊的认识规律，引出乘法公式----平方差公式．
然后，教师提问，学生通过自主探究、合作交流，发现规律，式子左边是两个数的和与这两个数的差的积，右边是这两个数的平方差，并猜想出：(a+b)(a-b)=a2-b2．这样设计使学生在已掌握的多项乘法法则的基础上,探索具有特殊形式的多项式乘法──平方差公式，自然、合理地探究出新知．
接着，引导学生从“数”与“形”两个角度验证猜想。渗透了数形结合的思想，让学生体会到代数与几何的内在联系．引导学生学会从多角度、多方面来思考问题．对于任意的a、b，由学生运用多项式乘法计算：(a+b)(a－ b)= a2－ ab+ab－ b2=a2－ b2，验证了其公式的正确性．
再次，教师鼓励学生用自己的语言归纳表述，总结出公式，从而提高学生的语言组织与表达能力．
最后，教师通过分析公式的本质特征使学生掌握公式．在认清公式的结构特征的基础上，进一步剖析a、b的广泛含义，抓住了概念的核心，使学生在公式的运用中能得心应手，起到事半功倍的效果．
（三）应用公式，培养能力
总结出平方差公式后，我先设计两个简单练习题。通过练习，使学生加深对平方差公式结构特点的认识和理解，进一步掌握平方差公式的本质特征和运用平方差公式必须具备的条件．
例1有四道小题，其中设计第（1）（2）题，然后学生完成。第（3）（4）题学生板演，师生共同纠错。
例2有两道小题，先让学生尝试练习，出错后教师及时纠正，使学生认识深刻。第一题体现了转化的思想和数式通性；另一题是平方差公式与一般多项式乘法的综合，强调不能用公式的仍按多项式乘法法则进行．
（四）反馈练习 巩固新知
练习题的设计有梯度，从基础应用公式入手，到拓展提高。加强基本知识和基本技能训练，使不同水平的学生学习都有收获，体现出“人人学有用的数学”。
在练习的基础上，教师归纳总结，提升学习理念。
（五）总结概括，自我评价
从知识和数学思想两个方面加以小结，使学生对本节课的知识有一个系统全面的认识。
最后，作业分层处理，体现作业的巩固性和发展性原则，尊重学生的个体差异，满足多样化的学习需要，让不同的人在数学上得到不同的发展。
（六）课堂检测
通过检测检查学生对公式掌握情况，及时反馈，弥补不足。
五、说教学反思：
本节课设计意图在于：以情景引入，激发兴趣，学习过程体现自
主，知识建构循序渐进，思想方法有机渗透，注重师生互动，共同发
展的过程。
课堂教学中基本完成教学设计过程 ，师生配合较默契，学生对
于由多项式与多项式相乘得到平方差公式理解较好，课堂反馈较好，本节课例题以及练习梯度设计较好，能够做到讲练结合，面向全体学生，师生互动，生生互动，教师指导到位，提高了课堂效率。并通过几何验证是学生体会到代数与几何之间的联系，提高学生的学习兴趣。不足之处：课堂中学生出现的问题：对于首相带有负号的分不清谁是a谁是b;对于a,b带有系数的平方时系数不平方；还有一名学生没看出用平方差公式而是用多项式乘以多项式去做；在公式和多项式与多项式相乘混合运算时，学生不注意符号问题。教师课堂中存在的问题：首先在对公式探究时，给学生的时间不充分；其次，课堂时间安排不合理，有些前松后紧；另外，对几何验证，探究不充分；讲练结合虽然能达到巩固的效果，同时也给人的感受是重复的过程，没有新奇感，这是我今后在不同的课型中设计课堂教学程序要注意的。
五个流程
创设情景
引入新课
合作交流推导公式
应用公式
培养能力
反馈练习 巩固新知
总结概括
自我评价
