17.2 勾股定理的逆定理（1） 课件（共28张PPT）

(共28张PPT)
人教版
八年级数学上
17.2勾股定理的逆定理（1）
学习目标
1.掌握勾股定理逆定理的概念并理解互逆命题、互逆定理的概念、关系及勾股数.（重点）
2.能证明勾股定理的逆定理，能利用勾股定理的逆定理判断一个三角形是直角三角形.（难点）
回顾旧知
B
C
A
思考1
勾股定理的内容是什么?
如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b,斜边为c,那么a2+b2=c2.
b
c
a
思考2
求以线段a、b为直角边的直角三角形的斜边c的长：
①
a＝3，b＝4；
②
a＝8，b＝6；
③
a＝12，b＝5.
c=5
c=10
c=13
思考3
以前我们已经学过了通过角的关系来确定直角三角形，可不可以通过边来确定直角三角形呢？
情境导入
古代埃及，由于尼罗河的泛滥，给人民的生活带来极大的困难，由于需要多次地对土地进行丈量，却由此产生了数学文明。同学们你们知道古埃及人用什么方法得到直角的吗?
情境导入
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
（13）
（12）
（11）
（10）
（9）
打13个等距的结,把一根绳子分成等长的12段,然后以3段，4段，5段的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角.
古埃及人认为一个三角形三边长分别为3,4,5,那么这个三角形为直角三角形.按照这种做法真能得到一个直角三角形吗?
合作探究---勾股定理的逆定理
下面有三组数分别是一个三角形的三边长a,
b,
c:
①5,12,13;
②7,24,25;
③8,6,10.
问题1
分别以每组数为三边长作出三角形，用量角器量一量，它们都是直角三角形吗？
是
6
10
合作探究---勾股定理的逆定理
下面有三组数分别是一个三角形的三边长a,
b,
c:
①5,12,13;
②7,24,25;
③8,15,17.
问题2
这三组数在数量关系上有什么相同点？
①
5,12,13满足52+122=132,
②
7,24,25满足72+242=252,
③
8,15,17满足82+152=172.
问题3
古埃及人用来画直角的三边满足这个等式吗？
∵32+42=52，∴满足.
a2+b2=c2
合作探究---勾股定理的逆定理
我觉得这个猜想不准确，因为测量结果可能有误差.
我也觉得猜想不严谨，前面我们只取了几组数据，不能由部分代表整体.
问题3
据此你有什么猜想呢?
由上面几个例子，我们猜想：
命题2
如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.
合作探究---勾股定理的逆定理
　已知：如图，△ABC的三边长a，b，c，满足a2+b2=c2．
　求证：△ABC是直角三角形．
A
B
C
b
c
a
证明：画Rt△A/B/C/
使B/C/＝a
，A/C/＝b，∠C/＝90°
A′
B′
C′
b
a
由勾股定理可知
A′B′
2＝a2＋b2
∵a2＋b2＝c2
∴
A′B′
2＝c2
∴
A′B′＝c
在△ABC和△A/B/C/中
BC＝B/C/
AC＝A/C/
AB＝A/B/
∴△ABC≌△A′B′C′(SSS)
∴
∠C＝∠C′＝90°
∴△ABC是直角三角形。
合作探究---勾股定理的逆定理
勾股定理的逆定理:
如果三角形的三边长a
、b
、c满足
a2+b2=c2
那么这个三角形是直角三角形.
A
C
B
a
b
c
特别强调：勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，即已知三角形的三边长，且满足两条较小边的平方和等于最长边的平方，即可判断此三角形为直角三角形
，最长边所对应的角为直角.
典例精析
例1
下面以a,b,c为边长的三角形是不是直角三角形？如果是,那么哪一个角是直角？
(1)
a=15
，
b=8
，c=17;
解：(1)∵152+82=289，172=289，∴152+82=172，
根据勾股定理的逆定理，这个三角形是直角三角形，且∠C是直角.
(2)
a=13
，b=14
，c=15.
(2)∵132+142=365，152=225，∴132+142≠152，
根据勾股定理的逆定理，∴这个三角形不是直角三角形.
知识点拨：根据勾股定理的逆定理，判断一个三角形是不是直角三角形，只要看两条较小边长的平方和是否等于最大边长的平方.
小试牛刀
1、如果三条线段a、b、c满足：a2＝c2－b2，这三条线段组成的三角形
是直角三角形吗？为什么？
解：∵　a2＝c2－b2
因此，根据勾股定理的逆定理知这三条线段组成的三角形是直角三角形。
∴　a2
＋b2
＝c2
小试牛刀
2、若△ABC的三边a,b,c满足
a:b:
c=5:12:13，试判断△ABC的形状.
解：设a=5k,b=12k,c=13k(k＞0),
∵(5k)2+(12k)2=169k2,(13k)2=169k2,
∴(5k)2+(12k)2=(13k)2,
∴△ABC是直角三角形，且∠C是直角.
知识点拨：已知三角形三边的比例关系判断三角形形状：先设出参数，表示出三条边的长，再用勾股定理的逆定理判断其是否是直角三角形.如果此直角三角形的三边中有两个相同的数，那么该三角形还是等腰三角形.
小试牛刀
3、若△ABC的三边a,b,c，且a+b=4,ab=1,c=
，试说明△ABC是直角三角形.
解：∵a+b=4,ab=1,
∴a2+b2=(a+b)2-2ab=16-2=14.
又∵c2=14,
∴a2+b2=c2,
根据勾股定理的逆定理知：△ABC是直角三角形.
合作探究---勾股数
如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c
那么这个三角形是直角三角形.
满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数.
勾股数的定义
常见勾股数：
3，4，5；5，12，13；6，8，10；7，24，25；8，15，17；9，40，41；10，24，26等等.
勾股数拓展性质：
一组勾股数，都扩大相同倍数k(k为正整数)，得到一组新数，这组数同样是勾股数.
合作探究---勾股数
小试牛刀
练一练：下列各组数是勾股数的是
(
)
A.6，8，10
B.7，8，9
C.0.3，0.4，0.5
D.52，122，132
A
知识点拨：根据勾股数的定义，勾股数必须为正整数，先排除小数，再计算最长边的平方是否等于其他两边的平方和即可.
结论
题设
合作探究---互逆命题、互逆定理
命题1
如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b,斜边为c,
那么a2+b2=c2.
命题2
如果三角形的三边长a
、b
、c满足a2+b2=c2,
那么这个三角形是直角三角形.
前面我们学习了两个命题，分别为：
命题1：
直角三角形
a2+b2=c2
命题2：
直角三角形
a2+b2=c2
问题1
两个命题的条件和结论分别是什么？
两个命题的条件和结论有何联系？
合作探究---互逆命题、互逆定理
一般地，原命题成立时，它的逆命题既可能成立，也可能不成立.如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也是一个定理，我们称这两个定理互为逆定理.勾股定理与勾股定理的逆定理为互逆定理.
题设和结论正好相反的两个命题，叫做互逆命题，其中一个
叫做原命题，另一个叫做原命题的逆命题.
小试牛刀
说一说：说出下列命题的逆命题,这些逆命题成立吗？
(1)两条直线平行，内错角相等；
(2)如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等；
(3)全等三角形的对应角相等；
(4)在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上.
内错角相等，两条直线平行.
如果两个实数的绝对值相等，那么它们相等.
对应角相等的三角形全等
.
在角平分线上的点到角的两边距离相等.
成立
不成立
不成立
成立
综合演练
1.在△ABC中，∠A,
∠B,
∠C的对边分别a,b,c.
①若∠C-
∠B=
∠A,则△ABC是直角三角形；
②若c2=b2-a2,则△ABC是直角三角形,且∠C=90°；
③若(c+a)(c-a)=b2,则△ABC是直角三角形;
④若∠A：∠B：∠C=5：2：3，则△ABC是直角三角形.
以上命题中的假命题个数是（
）
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
A
综合演练
2.下列各组数是勾股数的是
(
)
A.3，4，7
B.5，12，13
C.1.5，2，2.5
D.1，3，5
3.将直角三角形的三边长扩大同样的倍数,则得到的三角形（
)
A.是直角三角形
B.可能是锐角三角形
C.可能是钝角三角形
D.不可能是直角三角形
B
A
综合演练
4.若△ABC的三边
a,b,c
满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c.
则△ABC是
_________三角形.
直角
5.(1)一个三角形的三边长分别为15cm、20cm、25cm，则这个三角形
最长边上的高是_______cm;
12
(2)“等腰三角形两底角相等”的逆定理为：
_______________________________________．
有两个角相等的三角形是等腰三角形
综合演练
6、m，n是正整数，则以：m2－n2，2mn，m2＋n2为三边长的三角形是直角三角形吗？
解：∵
(m2＋n2)2＝m4＋2m2n2＋n4
(m2－n2)2＝m4－2m2n2＋n4
(2mn)2＝4m2n2
∴
(m2－n2)2＋(2mn)2＝(m2＋n2)2
根据勾股定理的逆定理可知该三角形是直角三角形。
综合演练
7.如图，在四边形ABCD中，AB=8，BC=6，AC=10，
AD=CD=
,求四边形ABCD
的面积.
根据勾股定理的逆定理知：△
ABC是直角三角形
且∠B是直角.
根据勾股定理的逆定理知：△
ADC是直角三角形且∠
D是直角，
∴S
四边形
ABCD=
课堂小结
本节课你有哪些收获？
1、勾股定理的逆定理是什么？需要注意什么？
2、什么事勾股数？
3、什么是互逆命题、互逆定理？
课后作业
教材34页习题17.2第1、2、3题．
https://www.21cnjy.com/help/help_extract.php