1.1 空间几何体的结构
第一课时 棱柱、棱锥、棱台的结构特征
学
习
目
标
核
心
素
养
1.通过对实物模型的观察，归纳认知棱柱、棱锥、棱台的结构特征．(重点)2．理解棱柱、棱锥、棱台之间的关系．(难点)3．能运用棱柱、棱锥、棱台的结构特征描述现实生活中简单物体的结构和有关计算．(易混点)
通过对空间几何体概念的学习，培养直观想象、逻辑推理的数学核心素养．
1．空间几何体
类别
定义
图示
多面体
由若干个平面多边形围成的空间几何体叫做多面体
旋转体
由一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何体叫做旋转体，其中定直线叫做旋转体的轴
2.棱柱、棱锥、棱台的结构特征
(1)棱柱的结构特征
定义
有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边互相平行，由这些面围成的多面体叫做棱柱
图示及相关概念
底面：两个互相平行的面．侧面：底面以外的其余各面．侧棱：相邻侧面的公共边．顶点：侧面与底面的公共顶点
分类
按底面多边形的边数分：三棱柱、四棱柱、…
思考：棱柱的侧面一定是平行四边形吗？
[提示] 根据棱柱的概念可知，棱柱侧面一定是平行四边形．
(2)棱锥的结构特征
定义
有一面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面围成的多面体叫做棱锥
图示及相关概念
底面：多边形面．侧面：有公共顶点的三角形面．侧棱：相邻侧面的公共边．顶点：各侧面的公共顶点
分类
按底面多边形的边数分：三棱锥、四棱锥、…
思考：有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体一定是棱锥吗？
[提示] 不一定．因为“其余各面都是三角形”并不等价于“其余各面都是有一个公共顶点的三角形”．
(3)棱台的结构特征
定义
用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫做棱台
图示及相关概念
上底面：原棱锥的截面．下底面：原棱锥的底面．侧面：除上下底面以外的面．侧棱：相邻侧面的公共边．顶点：侧面与上(下)底面的公共顶点
分类
由几棱锥截得，如三棱台、四棱台、…
思考：棱台的上下底面互相平行，各侧棱延长线一定相交于一点吗？
[提示] 根据棱台的定义可知其侧棱延长线一定交于一点．
1．在三棱锥A?BCD中，可以当作棱锥底面的三角形的个数为( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
D [每个三角形都可以作为底面．]
2．下面说法中，正确的是( )
A．上下两个底面平行且是相似的四边形的几何体是四棱台
B．棱台的所有侧面都是梯形
C．棱台的侧棱长必相等
D．棱台的上下底面可能不是相似图形
B [由棱台的结构特点可知，A、C、D不正确．故B正确．]
3．下面属于多面体的是________(填序号).
①建筑用的方砖；②埃及的金字塔；③茶杯；④球．
①② [①②属于多面体，③④属于旋转体．]
棱柱的结构特征
【例1】 (1)下列命题中，正确的是( )
A．有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱
B．棱柱中互相平行的两个面叫做棱柱的底面
C．棱柱的侧面是平行四边形，但底面不是平行四边形
D．棱柱的侧棱都相等，侧面是平行四边形
D [由棱柱的定义可知，只有D正确，分别构造图形如下：
① ② ③
图①中平面ABCD与平面A1B1C1D1平行，但四边形ABCD与A1B1C1D1不全等，故A错；图②中正六棱柱的相对侧面ABB1A1与EDD1E1平行，但不是底面，B错；图③中直四棱柱底面ABCD是平行四边形，C错，故选D.]
(2)如图所示，长方体ABCD?A1B1C1D1.
①这个长方体是棱柱吗？如果是，是几棱柱？为什么？
②用平面BCNM把这个长方体分成两部分，各部分形成的几何体还是棱柱吗？若是，请指出它们的底面．
[解] ①长方体是四棱柱．因为它有两个平行的平面ABCD与平面A1B1C1D1，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边互相平行，这符合棱柱的定义．
②用平面BCNM把这个长方体分成两部分，其中一部分，有两个平行的平面BB1M与平面CC1N，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边互相平行，这符合棱柱的定义，所以是三棱柱，可用符号表示为三棱柱BB1M?CC1N.同理，另一部分也是棱柱，可以用符号表示为四棱柱ABMA1?DCND1.
有关棱柱结构特征问题的解题策略：
(1)有关棱柱概念辨析问题应紧扣棱柱定义：
①两个面互相平行；
②其余各面是四边形；
③相邻两个四边形的公共边互相平行．求解时，首先看是否有两个面平行，再看是否满足其他特征．
(2)多注意观察一些实物模型和图片便于反例排除．
1．下列关于棱柱的说法错误的是( )
A．所有棱柱的两个底面都平行
B．所有的棱柱一定有两个面互相平行，其余每相邻面的公共边互相平行
C．有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体一定是棱柱
D．棱柱至少有五个面
C [对于A、B、D，
显然是正确的；对于C，棱柱的定义是这样的：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面围成的几何体叫做棱柱，显然题中漏掉了“并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行”这一条件，因此所围成的几何体不一定是棱柱．如图所示的几何体就不是棱柱，所以C错误．]
棱锥、棱台的结构特征
【例2】 (1)下列关于棱锥、棱台的说法：
①棱台的侧面一定不会是平行四边形；
②棱锥的侧面只能是三角形；
③由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥；
④棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥．
其中正确说法的序号是________．
①②③ [①正确，棱台的侧面一定是梯形，而不是平行四边形；②正确，由棱锥的定义知棱锥的侧面只能是三角形；③正确，由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥；④错误，如图所示，四棱锥被平面截成的两部分都是棱锥．
]
(2)判断如图所示的几何体是不是棱台，为什么？
[解] ①②③都不是棱台．因为①和③都不是由棱锥所截得的，故①③都不是棱台，虽然②是由棱锥所截得的，但截面不和底面平行，故不是棱台，只有用平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分才是棱台．
棱锥、棱台结构特征题目的判断方法：
(1)举反例法
结合棱锥、棱台的定义举反例直接判断关于棱锥、棱台结构特征的某些说法不正确．
(2)直接法
棱锥
棱台
定底面
只有一个面是多边形，此面即为底面
两个互相平行的面，即为底面
看侧棱
相交于一点
延长后相交于一点
2．如图所示，观察以下四个几何体，其中判断正确的是
( )
A．①是棱台
B．②是圆台
C．③是棱锥
D．④不是棱柱
C [图①中的几何体不是由棱锥截来的，且上、下底面不是相似的图形，所以①不是棱台；图②中的几何体上、下两个面不平行，所以②不是圆台；图③中的几何体是棱锥．图④中的几何体前、后两个面平行，其他面是平行四边形，且每相邻两个平行四边形的公共边平行，所以④是棱柱．故选C.]
多面体的表面展开图
[探究问题]
1．棱柱的侧面展开图是什么图形？正方体的表面展开图又是怎样的？
[提示] 棱柱的侧面展开图是平行四边形；正方体的表面展开图如图：
2．棱台的侧面展开图又是什么样的？
[提示] 棱台的侧面展开图是多个相连的梯形．
【例3】 (1)某同学制作了一个对面图案均相同的正方体礼品盒，如图所示，则这个正方体礼品盒的平面展开图应该为(对面是相同的图案)( )
(2)如图是三个几何体的平面展开图，请问各是什么几何体？
思路探究：(1)正方体的平面展开图?以其中一个面不动把其他面展开．
(2)常见几何体的定义与结构特征?空间想象或动手制作平面展开图进行实践．
[解] (1)A [由选项验证可知选A.]
(2)解：图①中，有5个平行四边形，而且还有两个全等的五边形，符合棱柱特点；图②中，有5个三角形，且具有共同的顶点，还有一个五边形，符合棱锥特点；图③中，有3个梯形，且其腰的延长线交于一点，还有两个相似的三角形，符合棱台的特点．把平面展开图还原为原几何体，如图所示：所以①为五棱柱，②为五棱锥，③为三棱台．
1.将本例(1)改为：水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示，如图是一个正方体的平面展开图(图中数字写在正方体的外表面上)，若图中“0”上方的“2”在正方体的上面，则这个正方体的下面是
( )
A．1 B．6 C．快 D．乐
B [将图形折成正方体知选B.]
2．将本例(2)的条件改为：一个几何体的平面展开图如图所示．
(1)该几何体是哪种几何体？
(2)该几何体中与“祝”字面相对的是哪个面？与“你”字面相对的是哪个面？
[解] (1)该几何体是四棱台．
(2)与“祝”相对的面是“前”，与“你”相对的面是“程”．
多面体展开图问题的解题策略
(1)绘制展开图：绘制多面体的表面展开图要结合多面体的几何特征，发挥空间想象能力或者是亲手制作多面体模型．在解题过程中，常常给多面体的顶点标上字母，先把多面体的底面画出来，然后依次画出各侧面，便可得到其表面展开图．
(2)由展开图复原几何体：若是给出多面体的表面展开图，来判断是由哪一个多面体展开的，则可把上述过程逆推．同一个几何体的表面展开图可能是不一样的，也就是说，一个多面体可有多个表面展开图．
1．在理解的基础上，要牢记棱柱、棱锥、棱台的定义，能够根据定义判断几何体的形状．
2．四棱柱及特殊四棱柱
四棱柱平行六面体直平行六面体长方体正四棱柱正方体
3．棱柱、棱台、棱锥关系图
4．正棱锥与正棱台
(1)底面是正多边形，且顶点在底面的射影是正多边形中心的棱锥，叫正棱锥．
(2)正棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面之间的部分叫做正棱台．
1．下面多面体中，是棱柱的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
D [根据棱柱的定义进行判定知，这4个几何体都是棱柱．]
2．有一个多面体，共有四个面围成，每一个面都是三角形，则这个几何体为( )
A．四棱柱
B．四棱锥
C．三棱柱
D．三棱锥
D [根据棱锥的定义可知该几何体是三棱锥．]
3．下列图形经过折叠可以围成一个棱柱的是( )
A B C D
D [A，B，C中底面多边形的边数与侧面数不相等．]
4．一个棱柱至少有________个面，顶点最少的一个棱台有________条侧棱．
5 3 [面最少的棱柱是三棱柱，它有5个面；顶点最少的一个棱台是三棱台，它有3条侧棱．]
5．画一个三棱台，再把它分成：
(1)一个三棱柱和另一个多面体；
(2)三个三棱锥，并用字母表示．
[解] 画三棱台一定要利用三棱锥．
(1)如图①所示，三棱柱是棱柱A′B′C′?AB″C″，另一个多面体是B′C′CBB″C″.
(2)如图②所示，三个三棱锥分别是A′?ABC，
B′?A′BC，C′?A′B′C.
① ②
PAGE第二课时 旋转体与简单组合体的结构特征
学
习
目
标
核
心
素
养
1.了解圆柱、圆锥、圆台、球的定义．2．掌握圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征．(重点)3．认识简单组合体的结构特征，了解简单组合体的两种基本构成形式．(重点、易混点)
通过学习有关旋转体的结构特征，培养直观想象、逻辑推理、数学运算的数学核心素养．
1．圆柱的结构特征
定义
以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆柱
图示及相关概念
轴：旋转轴叫做圆柱的轴；底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面；侧面：平行于轴的边旋转而成的曲面；母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边；柱体：圆柱和棱柱统称为柱体
2.圆锥的结构特征
定义
以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆锥
图示及相关概念
轴：旋转轴叫做圆锥的轴；底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面；侧面：直角三角形的斜边旋转而成的曲面；母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边；锥体：棱锥和圆锥统称锥体
3.圆台的结构特征
定义
用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间部分叫做圆台
图示及相关概念
轴：圆锥的轴；底面：圆锥的底面和截面；侧面：圆锥的侧面在底面与截面之间的部分；母线：圆锥的母线在底面与截面之间的部分；台体：棱台和圆台统称为台体
思考：用平面去截圆锥一定会得到一个圆锥和一个圆台？
[提示] 不一定．只有当平面与圆锥的底面平行时，才能截得一个圆锥和一个圆台．
4．球的结构特征
定义
以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称球
图示及相关概念
球心：半圆的圆心叫做球的球心；半径：半圆的半径叫做球的半径；直径：半圆的直径叫做球的直径
思考：球能否由圆面旋转而成？
[提示] 能．圆面以直径所在的直线为旋转轴，旋转半周形成的旋转体即为球．
5．组合体的结构特征
(1)简单组合体的定义：由简单几何体组合而成的几何体．
(2)简单组合体的两种基本形式：
简单组合体
1．圆锥的母线有( )
A．1条 B．2条 C．3条 D．无数条
D [由圆锥的结构特征知圆锥的母线有无数条．]
2．下列图形中是圆柱的是( )
A B C D
B [根据圆柱的概念可知只有B是圆柱．]
3．圆锥的母线长为13，底面半径为5，则其高为________．
12 [由l2＝h2＋r2得h＝＝12.]
4．下图由哪些简单几何体构成？
① ②
[解] ①是由两个四棱锥拼接而成的，②是由一个六棱柱和一个圆柱拼接而成的．
旋转体的结构特征
【例1】 (1)下列说法不正确的是( )
A．圆柱的侧面展开图是一个矩形
B．圆锥过轴的截面是一个等腰三角形
C．直角三角形绕它的一条边旋转一周形成的曲面围成的几何体是圆锥
D．圆台平行于底面的截面是圆面
C [由圆锥的概念知，直角三角形绕它的一条直角边所在直线旋转一周所围成的几何体是圆锥．强调一定要绕着它的一条直角边，即旋转轴为直角三角形的一条直角边所在的直线，因而C错．]
(2)给出下列命题：
①圆柱的母线与它的轴可以不平行；
②圆锥的顶点、圆锥底面圆周上任意一点及底面圆的圆心三点的连线都可以构成直角三角形；
③在圆台的上、下两底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；
④圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的．
其中正确的是( )
A．①②
B．②③
C．①③
D．②④
D [由圆柱、圆锥、圆台的定义及母线的性质可知②④正确，①③错误．]
1．简单旋转体判断问题的解题策略：
(1)准确掌握圆柱、圆锥、圆台和球的生成过程及其结构特征是解决此类概念问题的关键．
(2)解题时要注意两个明确：
①明确由哪个平面图形旋转而成．
②明确旋转轴是哪条直线．
2．简单旋转体的轴截面及其应用：
(1)简单旋转体的轴截面中有底面半径、母线、高等体现简单旋转体结构特征的关键量．
(2)在轴截面中解决简单旋转体问题体现了化空间图形为平面图形的转化思想．
1．给出下列说法：①圆柱的底面是圆面；②经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面；③圆台的任意两条母线的延长线可能相交，也可能不相交；④夹在圆柱的两个截面间的几何体还是一个旋转体．其中说法正确的是________.(填序号)
①② [①正确，圆柱的底面是圆面；
②正确，如图所示，经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面；
③不正确，圆台的母线延长相交于一点；
④不正确，圆柱夹在两个平行于底面的截面间的几何体才是旋转体．]
简单组合体的结构特征
【例2】 如图①②所示的图形绕虚线旋转一周后形成的立体图形分别是由哪些简单几何体组成的？
思路探究：先将平面图形割补成三角形、梯形、矩形，再旋转识别几何体．
[解] 旋转后的图形如图所示．其中图①是由一个圆柱O1O2和两个圆台O2O3，O3O4组成的；图②是由一个圆锥O5O4，一个圆柱O3O4及一个圆台O1O3中挖去圆锥O2O1组成的．
旋转体形状的判断方法：
(1)判断旋转体形状的关键是轴的确定，看是由平面图形绕哪条直线旋转所得，同一个平面图形绕不同的轴旋转，所得的旋转体一般是不同的．
(2)在旋转过程中观察平面图形的各边所形成的轨迹，应利用空间想象能力，或亲自动手做出平面图形的模型来分析旋转体的形状．
(3)要熟练掌握各类旋转体的结构特征．
2．如图，AB为圆弧BC所在圆的直径，∠BAC＝45°.将这个平面图形绕直线AB旋转一周，得到一个组合体，试说明这个组合体的结构特征．
[解] 如下图所示，这个组合体是由一个圆锥和一个半球体拼接而成的．
几何体中的简单计算
[探究问题]
1．圆柱、圆锥、圆台平行于底面的截面是什么样的图形？
[提示] 圆面．
2．圆柱、圆锥、圆台过轴的截面是什么样的图形？
[提示] 分别为矩形、等腰三角形、等腰梯形．
3．经过圆台的任意两条母线作截面，截面是什么图形？
[提示] 因为圆台可以看成是圆锥被平行于底面的平面所截得到的几何体，所以任意两条母线长度均相等，且延长后相交，故经过这两条母线的截面是以这两条母线为腰的等腰梯形．
【例3】 如图所示，用一个平行于圆锥SO底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的面积之比为1∶16，截去的圆锥的母线长是3
cm，求圆台O′O的母线长．
思路探究：过圆锥的轴作截面图，利用三角形相似解决．
[解] 设圆台的母线长为l
cm，由截得的圆台上、下底面面积之比为1∶16，可设截得的圆台的上、下底面的半径分别为r，4r，过轴SO作截面，如图所示．
则△SO′A′∽△SOA，SA′＝3
cm.
所以＝，所以＝＝.
解得l＝9(cm)，即圆台的母线长为9
cm.
1．把本例的条件换为“圆台两底面半径分别是2
cm和5
cm，母线长是3
cm”，则它的轴截面的面积是________．
63
cm2 [画出轴截面，如图，过A作AM⊥BC于M，
则BM＝5－2＝3(cm)，AM＝＝9(cm)，
所以S四边形ABCD＝＝63(cm2).]
2．把本例的条件换为“一圆锥的母线长为6，底面半径为3，把该圆锥截一圆台，截得圆台的母线长为4”，则圆台的另一底面半径为________．
1 [作轴截面如图，
则＝＝，所以r＝1.]
与圆锥有关的截面问题的解决策略
(1)画出圆锥的轴截面．
(2)在轴截面中借助直角三角形或三角形的相似关系建立高、母线长、底面圆的半径长的等量关系，求解便可．
1．圆柱、圆锥、圆台的关系如图所示．
2．处理台体问题常采用还台为锥的补体思想．
3．处理组合体问题常采用分割思想．
4．重视圆柱、圆锥、圆台的轴截面在解决几何量中的特殊作用，切实体会空间几何平面化的思想．
1．正方形绕其一条对角线所在直线旋转一周，所得几何体是( )
A．圆柱
B．圆锥
C．圆台
D．两个圆锥
D [易知是两个圆锥．选D.]
2．在日常生活中，常用到的螺母(如图)可以看成一个组合体，其结构特征是( )
A.一个棱柱中挖去一个棱柱
B．一个棱柱中挖去一个圆柱
C．一个圆柱中挖去一个棱锥
D．一个棱台中挖去一个圆柱
B [从几何体外观看是六棱柱，从里面看是圆柱，故是一个棱柱中挖去一个圆柱，故选B.]
3．下面几何体的截面一定是圆面的是( )
A．圆台
B．球
C．圆柱
D．棱柱
B [截面可以从各个不同的部位截取，截得的截面都是圆面的几何体只有球．]
4．指出如图①②所示的图形是由哪些简单几何体构成的．
① ②
[解] 分割原图，使它的每一部分都是简单几何体．图①是由一个三棱柱和一个四棱柱拼接而成的简单组合体．
图②是由一个圆锥和一个四棱柱拼接而成的简单组合体．
PAGE1.2 空间几何体的三视图和直观图
1.2.1 中心投影与平行投影
1.2.2 空间几何体的三视图
学
习
目
标
核
心
素
养
1.了解中心投影和平行投影．2．能画出简单空间图形的三视图．(重点)3．能识别三视图所表示的立体模型．(难点)
1.通过对中心投影和平行投影学习，培养直观想象的数学核心素养；2．通过学习三视图，培养逻辑推理、直观想象、数学运算的数学核心素养．
1．投影的概念及分类
定义
由于光的照射，在不透明物体后面的屏幕上可以留下这个物体的影子，这种现象叫做投影，其中，我们把光线叫做投影线，把留下物体影子的屏幕叫做投影面
分类
中心投影
光由一点向外散射形成的投影，叫做中心投影．中心投影的投影线交于一点
平行投影
在一束平行光线照射下形成的投影，叫做平行投影．平行投影的投影线是平行的．在平行投影中，投影线正对着投影面时，叫做正投影，否则叫做斜投影
2.三视图
思考：画三视图时一定要求光线与投射面垂直吗？
[提示] 正确．由画三视图的规则要求可知正确．
1．下面哪个实例不是中心投影( )
A.工程图纸
B．小孔成像
C.相片
D．人的视觉
A [根据中心投影的概念可知A不是中心投影．]
2．在几何体的三视图中，正视图、侧视图和俯视图完全相同的是( )
A.长方体
B．球
C.正三棱锥
D．圆锥
B [在这几种几何体中，只有球的三种视图完全相同，其他不可以．]
3．有一个几何体的三视图如图所示，这个几何体应是一个________．
棱台 [从俯视图来看，上、下底面都是正方形，但大小不一样，可以判断是棱台．]
4．水平放置的下列几何体，正视图是长方形的是________．(填序号)
① ② ③ ④
①③④ [①③④的正视图均是长方形，②是等腰三角形．]
中心投影和平行投影
【例1】 (1)下列命题中正确的是( )
A.矩形的平行投影一定是矩形
B.梯形的平行投影一定是梯形
C.两条相交直线的投影可能平行
D.一条线段的中点的平行投影仍是这条线段投影的中点
D [矩形的平行投影可能是线段、平行四边形或矩形，梯形的平行投影可能是线段或梯形，两条相交直线的投影还是相交直线．因此A、B、C均错，故D正确．]
(2)如图所示，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，M、N分别是BB1、BC的中点，则图中阴影部分在平面ADD1A1上的正投影是( )
A B C D
A [由正投影的定义知，点M、N在平面ADD1A1上的正投影分别是AA1、DA的中点，D在平面ADD1A1上的投影还是D，因此A正确．]
判断几何体投影形状的方法及画投影的方法：
(1)判断一个几何体的投影是什么图形，先分清楚是平行投影还是中心投影，投影面的位置如何，再根据平行投影或中心投影的性质来判断．
(2)画出一个图形在一个平面上的投影的关键是确定该图形的关键点，如顶点、端点等，方法是先画出这些关键点的投影，再依次连接各投影点即可得出此图形在该平面上的投影．
1．已知△ABC，选定的投影面与△ABC所在平面平行，则经过中心投影后所得的△A′B′C′与△ABC( )
A.全等
B．相似
C.不相似
D．以上都不对
B [本题主要考查对中心投影的理解．根据题意画出图形，如图所示．
由图易得＝＝＝＝＝，则△ABC∽△A′B′C′.]
画空间几何体的三视图
【例2】 (1)沿一个正方体三个面的对角线截得的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为( )
B [依题意，侧视图中棱的方向是从左上角到右下角．故选B.]
(2)画出如图所示几何体的三视图：
① ②
[解] ①此几何体的三视图如图③所示；
②此几何体的三视图如图④所示．
③ ④
1．画组合体三视图的“四个步骤”
(1)析：分析组合体的组成形式；
(2)分：把组合体分解成简单几何体；
(3)画：画分解后的简单几何体的三视图；
(4)拼：将各个三视图拼合成组合体的三视图．
2．画三视图时要注意的“两个问题”
(1)务必做到“正侧一样高，正俯一样长，俯侧一样宽”．
(2)把可见轮廓线画成实线，不可见轮廓线要画成虚线，重合的线只画一条．
2．螺栓是棱柱和圆柱构成的组合体，如图，画出它的三视图．
[解] 它的三视图如图所示．
由三视图还原几何体
[探究问题]
1．如何由三视图确定几何体的长、宽、高？
[提示] 由正视图可确定几何体的长、高；由俯视图可确定几何体的宽．
2．如图所示的三视图，其几何体是什么？其正视图、侧视图中的三角形的腰是几何体的侧棱长吗？
[提示] 由三视图可知，该几何体为正四棱锥，如图所示．正视图、侧视图中三角形的腰长不是四棱锥的侧棱长，应为四棱锥的侧面高线．
【例3】 (1)若一个几何体的正视图和侧视图都是等腰三角形，俯视图是带圆心的圆，则这个几何体可能是( )
A.圆柱
B．三棱柱
C.圆锥
D．球体
C [正视图和侧视图都是等腰三角形，俯视图是带圆心的圆说明此几何体是圆锥．]
(2)若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是( )
A B C D
D [对于选项A，B，正视图均不符合要求；对于选项C，俯视图显然不符合要求．只有D符合要求．]
由三视图确定几何体一般分两步：
第一步：通过正视图和侧视图确定是柱体、锥体还是台体．若正视图和侧视图为矩形，则原几何体为柱体；若正视图和侧视图为等腰三角形，则原几何体为锥体；若正视图和侧视图为等腰梯形，则原几何体为台体．
第二步：通过俯视图确定是多面体还是旋转体．若俯视图为多边形，则原几何体为多面体；若俯视图为圆，则原几何体为旋转体．
3．根据下列图中所给出的几何体的三视图，试画出它们的形状．
① ②
[解] 由三视图的特征，结合柱、锥、台、球及简单组合体的三视图逆推．
图①对应的几何体是一个正六棱锥，图②对应的几何体是一个三棱柱，则所对应的空间几何体的图形分别如下：
1．画三视图的方法，要求和检验标准
方法
正视图从正前方向后看，侧视图从正左方向右看，俯视图从正上方向下看．口诀记为“正看前后，侧看左右，俯看上下，眼见为实，不见为虚”
要求
“正俯一样长，正侧一样高，俯侧一样宽”
检验标准
“长对正、高平齐、宽相等”
2.画组合体的三视图的步骤
特别提醒：画几何体的三视图时，能看见的轮廓线和棱用实线表示，看不见的轮廓线和棱用虚线表示．
1．中心投影的投影线( )
A．相互平行
B．交于一点
C．是异面直线
D．在同一平面内
B [由中心投影的定义知，中心投影的投影线交于一点，故选B.]
2．如图网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是( )
A．三棱锥
B．三棱柱
C．四棱锥
D．四棱柱
B [由题意知，该几何体的三视图为一个三角形，两个四边形，经分析可知该几何体为三棱柱．]
3．一个正方体截去两个角后所得几何体的正视图、俯视图如图所示，则其侧视图为( )
C [根据一个正方体截去两个角后所得几何体的正视图、俯视图可得几何体的直观图为：
所以侧视图为：
]
4．画出如图所示的几何体的三视图．
[解] 该几何体的三视图如图所示．
PAGE1.2.3 空间几何体的直观图
学
习
目
标
核
心
素
养
1.了解“斜二测画法”的概念并掌握斜二测画法的步骤．(重点)2．会用斜二测画法画出一些简单平面图形和立体图形的直观图．(难点)3．强化三视图、直观图、原空间几何体形状之间的相互转换．(易错、易混点)
通过学习空间几何体直观图的画法，培养直观想象、逻辑推理、数学运算的数学核心素养．
1．斜二测画法
我们常用斜二测画法画空间图形及水平放置的平面多边形的直观图．斜二测画法是一种特殊的平行投影画法．
2．平面图形直观图的画法及要求
思考：相等的角在直观图中还相等吗？
[提示] 不一定．例如正方形的直观图为平行四边形．
3．空间几何体直观图的画法
(1)与平面图形的直观图画法相比多了一个z轴，直观图中与之对应的是z′轴；
(2)平面x′O′y′表示水平平面，平面y′O′z′和x′O′z′表示竖直平面；
(3)已知图形中平行于z轴(或在z轴上)的线段，在其直观图中平行性和长度都不变．
(4)成图：去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线．
思考：空间几何体的直观图唯一吗？
[提示] 不唯一．作直观图时，由于选轴的不同，画出的直观图也不同．
1．长方形的直观图可能为下图中的哪一个( )
A.①②
B．①②③
C.②⑤
D．③④⑤
C [由斜二测画法知，平行线依然平行，但是直角不再是直角，所以②⑤正确．]
2．梯形的直观图是( )
A.梯形
B．矩形
C.三角形
D．任意四边形
A [斜二测画法中平行性保持不变，故梯形的直观图仍是梯形．]
3．水平放置的△ABC的斜二测直观图如图所示，已知A′C′＝3，B′C′＝2，则AB边上的中线的长度为________．
[根据斜二测画法可知，△ABC为直角三角形，且AC＝3，BC＝2B′C′＝4.
∴AB＝＝5.
故AB边上的中线的长度为.]
平面图形的直观图
【例1】 (1)如图所示，一个水平放置的正方形ABCD，它在直角坐标系xOy中，点B的坐标为(2，2)，则在用斜二测画法画出的正方形的直观图A′B′C′D′中，顶点B′到x′轴的距离为________．
[正方形的直观图A′B′C′D′如图：
因为O′A′＝B′C′＝1，∠B′C′x′＝45°，
所以顶点B′到x′轴的距离为1×sin
45°＝.]
(2)用斜二测画法画出图中五边形ABCDE的直观图．
[解] 画法：①在下图①中作AG⊥x轴于G，作DH⊥x轴于H.
②在图②中画相应的x′轴与y′轴，两轴相交于点O′，使∠x′O′y′＝45°.
③在图②中的x′轴上取O′B′＝OB，O′G′＝OG，
O′C′＝OC，O′H′＝OH，y′轴上取O′E′＝OE，
分别过G′和H′作y′轴的平行线，并在相应的平行线上取G′A′＝GA，H′D′＝HD；
④连接A′B′，A′E′，E′D′，D′C′，并擦去辅助线G′A′，
H′D′，x′轴与y′轴，便得到水平放置的正五边形ABCDE的直观图A′B′C′D′E′(如图③).
① ② ③
画平面图形的直观图的技巧：
(1)在画水平放置的平面图形的直观图时，选取恰当的坐标系是关键，一般要使得平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上，以便于画点．
(2)画平面图形的直观图，首先画与坐标轴平行的线段(平行性不变)，与坐标轴不平行的线段通过与坐标轴平行的线段确定它的两个端点，然后连接成线段．
1．画水平放置的直角梯形的直观图，如图所示．
[解] (1)在已知的直角梯形OBCD中，以底边OB所在直线为x轴，垂直于OB的腰OD所在直线为y轴建立平面直角坐标系．画相应的x′轴和y′轴，使∠x′O′y′＝45°，如图①②所示．
(2)在x′轴上截取O′B′＝OB，在y′轴上截取O′D′＝OD，过点D′作x′轴的平行线l，在l上沿x′轴正方向取点C′使得D′C′＝DC.连接B′C′，如图②.
(3)擦去辅助线，所得四边形O′B′C′D′就是直角梯形OBCD的直观图．如图③.
画空间几何体的直观图
【例2】 已知某几何体的三视图如图，请画出它的直观图(单位：cm).
[解] 画法：(1)如图①，画x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.
(2)以O为中点，在x轴上取线段OB＝8
cm，在y轴上取线段OA′＝2
cm，以OB和OA′为邻边作平行四边形OBB′A′.
(3)在z轴上取线段OC＝4
cm，过C分别作x轴、y轴的平行线，并在平行线上分别截取CD＝4
cm，CC′＝2
cm.以CD和CC′为邻边作平行四边形CDD′C′.
(4)成图．连接A′C′，BD，B′D′，并加以整理(去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线)，就得到该几何体的直观图(如图②).
画空间几何体时，首先按照斜二测画法规则画出几何体的底面直观图，然后根据平行于z轴的线段在直观图中长度保持不变，画出几何体的各侧面，所以画空间多面体的步骤可简单总结为：
―→―→―→
2．用斜二测画法画长、宽、高分别为4
cm，3
cm，2
cm的长方体ABCD?A′B′C′D′的直观图．
[解] 画法：(1)画轴．如图，画x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.
(2)画底面．以点O为中点，在x轴上取线段MN，使MN＝4
cm；在y轴上取线段PQ，使PQ＝
cm.分别过点M和N作y轴的平行线，过点P和Q作x轴的平行线，设它们的交点分别为A，B，C，D，四边形ABCD就是长方体的底面ABCD.
(3)画侧棱．过A，B，C，D各点分别作z轴的平行线，并在这些平行线上分别截取2
cm长的线段AA′，BB′，CC′，DD′.
(4)成图．顺次连接A′，B′，C′，D′，并加以整理(去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线)，就得到长方体的直观图．
直观图的还原与计算
[探究问题]
1．如图，△A′B′C′是水平放置的△ABC斜二测画法的直观图，能否判断△ABC的形状？
[提示] 根据斜二测画法规则知：∠ACB＝90°，故△ABC为直角三角形．
2．若探究1中△A′B′C′的A′C′＝6，B′C′＝4，则AB边的实际长度是多少？
[提示] 由已知得△ABC中，AC＝6，BC＝8，故AB＝＝10.
3．如图所示，△A′B′C′是水平放置的△ABC的直观图，则在△ABC的三边及中线AD中，最长的线段是哪个？
[提示] 由直观图可知△ABC是以∠B为直角的直角三角形，所以斜边AC最长．
【例3】 (1)如图①，Rt△O′A′B′是一个平面图形的直观图，若O′B′＝，则这个平面图形的面积是( )
A.1 B． C．2 D．4
① ②
(2)如图②所示，梯形A1B1C1D1是一平面图形ABCD的直观图．若A1D1∥O′y′，A1B1∥C1D1，A1B1＝C1D1＝2，A1D1＝O′D1＝1.试画出原四边形，并求原图形的面积．
思路探究：逆用斜二测画法，还原图形．先定点，再连线得原图形，求面积．
(1)C [由题图知，△OAB为直角三角形．∵O′B′＝，∴A′B′＝，O′A′＝2.
∴在原△OAB中，OB＝，OA＝4，
∴S△OAB＝××4＝2.选C.]
(2)解：如图，建立直角坐标系xOy，在x轴上截取OD＝O′D1＝1；OC＝O′C1＝2.
在过点D与y轴平行的直线上截取DA＝2D1A1＝2.
在过点A与x轴平行的直线上截取AB＝A1B1＝2.连接BC，便得到了原图形(如图).
由作法可知，原四边形ABCD是直角梯形，上、下底长度分别为AB＝2，CD＝3，直角腰长度为AD＝2.
所以面积为S＝×2＝5.
1．本例(2)中的条件改为如图所示的直角梯形，∠ABC＝45°，AB＝AD＝1，DC⊥BC，求原图形的面积．
[解] 如图①，在直观图中，过点A作AE⊥BC，垂足为点E，则在Rt△ABE中，AB＝1，∠ABE＝45°，所以BE＝.
而四边形AECD为矩形，AD＝1，所以EC＝AD＝1.
所以BC＝BE＋EC＝＋1.
由此可还原原图形如图②，是一个直角梯形．
① ②
在原图形中，A′D′＝1，A′B′＝2，B′C′＝＋1，且A′D′∥B′C′，A′B′⊥B′C′，
所以原图形的面积为S＝(A′D′＋B′C′)·A′B′＝××2＝2＋.
2．本例(1)若改为“已知△ABC是边长为a的正三角形，求其直观图△A′B′C′的面积”，应如何求？
[解] 由斜二测画法规则可知，直观图△A′B′C′一底边上的高为a××＝a，
所以S△A′B′C′＝×a×a＝a2.
3．本例(1)中直观图中△O′A′B′的面积与原图形面积之比是多少？
[解] 由(1)中直观图可得S△O′A′B′＝××＝1，
原图形面积为S△OAB＝2.
所以＝＝.
1．直观图的还原技巧
由直观图还原为平面图的关键是找与x′轴、y′轴平行的直线或线段，且平行于x′轴的线段还原时长度不变，平行于y′轴的线段还原时放大为直观图中相应线段长的2倍，由此确定图形的各个顶点，顺次连接即可．
2．直观图与原图形面积之间的关系
若一个平面多边形的面积为S，其直观图的面积为S′，则有S′＝S或S＝2S′.利用这一公式可由原图形面积求其直观图面积或由直观图面积求原图形面积．
1．斜二测画法是联系直观图和原图形的桥梁，可根据它们之间的可逆关系寻找它们的联系；在求直观图的面积时，可根据斜二测画法，画出直观图，从而确定其高和底边等，而求原图形的面积可把直观图还原为原图形．
2．在用斜二测画法画直观图时，平行线段仍然平行，所画平行线段之比仍然等于它的真实长度之比，但所画夹角大小不一定是其真实夹角大小．
3．平面多边形与其直观图面积的关系
一个平面多边形的面积为S原，斜二测画法得到的直观图的面积为S直．则S直＝S原(S原＝2S直).
1．用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图，对其中的线段说法错误的是( )
A.原来相交的仍相交
B．原来垂直的仍垂直
C.原来平行的仍平行
D．原来共点的仍共点
B [由斜二测画法规则知，B选项错误．故选B.]
2．利用斜二测画法画出边长为3
cm的正方形的直观图，正确的是( )
A B C D
C [正方形的直观图应是一个内角为45°的平行四边形，且相邻的两边之比为2∶1，故选C.]
3．如图，平行四边形O′P′Q′R′是四边形OPQR的直观图，若O′P′＝3，O′R′＝1，则原四边形OPQR的周长为________．
10 [由直观图可知，原图形是矩形OPQR，且OP＝3，OR＝2.
故原四边形OPQR的周长为10.]
4．画出水平放置的四边形OBCD(如图所示)的直观图．
[解] (1)过点C作CE⊥x轴，垂足为点E，如图①所示，画出对应的x′轴、y′轴，使∠x′O′y′＝45°，如图②所示．
① ② ③
(2)如图②所示，在x′轴上取点B′，E′，使得O′B′＝OB，O′E′＝OE；在y′轴上取一点D′，使得O′D′＝OD；过点E′作E′C′∥y′轴，使E′C′＝EC.
(3)连接B′C′，C′D′，并擦去x′轴与y′轴及其他一些辅助线，如图③所示，
四边形O′B′C′D′就是所求的直观图．
PAGE1.3 空间几何体的表面积与体积
1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积
学
习
目
标
核
心
素
养
1.通过对柱体、锥体、台体的研究，掌握柱体、锥体、台体的表面积与体积的求法．(重点)2．会求组合体的表面积与体积．(难点、易错点)
通过学习并运用柱体、锥体、台体的表面积和体积公式，培养学生数学运算、直观想象、逻辑推理的数学核心素养．
1．表面积公式
(1)棱柱、棱锥、棱台的表面积
图形
表面积公式
多面体
多面体的表面积就是各个面的面积的和，也就是展开图的面积
(2)旋转体的表面积
旋转体
圆柱
底面积：S底＝πr2；侧面积：S侧＝2πrl；表面积：S＝2πrl＋2πr2
圆锥
底面积：S底＝πr2；侧面积：S侧＝πrl；表面积：S＝πrl＋πr2
圆台
上底面面积：S上底＝πr′2；下底面面积：S下底＝πr2；侧面积：S侧＝πl(r＋r′)；表面积：S＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl)
2.体积公式
(1)柱体：柱体的底面面积为S，高为h，则V＝Sh．
(2)锥体：锥体的底面面积为S，高为h，则V＝Sh．
(3)台体：台体的上、下底面面积分别为S′，S，高为h，则V＝(S′＋＋S)h．
思考：简单组合体分割成几个几何体，其表面积不变吗？其体积呢？
[提示] 表面积变大了，而体积不变．
1．圆台的上、下底面半径分别为3和4，母线长为6，则其表面积等于( )
A．72
B．42π
C．67π
D．72π
C [S表＝π(32＋42＋3×6＋4×6)＝67π.]
2．一个高为2的圆柱，底面周长为2π.
该圆柱的表面积为________．
6π [由底面周长为2π可得底面半径为1，S底＝2πr2＝2π，S侧＝2πr·h＝4π，所以S表＝S底＋S侧＝6π.]
3．若一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为________．
4 [由三视图可判断该几何体为直六棱柱，其底面积为4，高为1，所以体积为4.]
柱体、锥体、台体的侧面积与表面积
【例1】 (1)一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的表面积与侧面积之比为( )
A． B． C． D．
(2)某几何体的三视图如图，则该几何体的表面积为( )
A．180 B.
200 C．220 D．240
(3)已知某圆锥的底面半径为8，高为6，则该圆锥的表面积为________．
(1)A (2)D (3)144π [(1)设圆柱的底面半径为r，高为h，则有h＝2πr，所以表面积与侧面积的比为2π(r2＋rh)∶2πrh＝(r＋h)∶h＝(2π＋1)∶2π.
(2)几何体为直四棱柱，其高为10，底面是上底为2，下底为8，高为4的等腰梯形，所以底面面积为×(2＋8)×4×2＝40.四个侧面的面积和为(2＋8＋5×2)×10＝200.
所以四棱柱的表面积为S＝40＋200＝240.
故选D.
(3)由题意，得该圆锥的母线长l＝＝10，
∴该圆锥的侧面积为π×8×10＝80π，底面积为π×82＝64π，∴该圆锥的表面积为80π＋64π＝144π.]
空间几何体的表面积的求法技巧
(1)多面体的表面积是各个面的面积之和．
(2)组合体的表面积应注意重合部分的处理．
(3)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和．
1．圆台的上、下底面半径和高的比为1∶4∶4，若母线长为10，则圆台的表面积为( )
A．81π B．100π
C．168π
D．169π
C [圆台的轴截面如图所示，设上底面半径为r，下底面半径为R，则它的母线长为l＝＝＝5r＝10，所以r＝2，R＝8.
故S侧＝π(R＋r)l＝π(8＋2)×10＝100π，
S表＝S侧＋πr2＋πR2＝100π＋4π＋64π＝168π.]
柱体、锥体、台体的体积
【例2】 (1)圆锥的轴截面是等腰直角三角形，侧面积是16π，则圆锥的体积是( )
A． B． C．64π D．128π
(2)如图所示，正方体ABCD?A1B1C1D1的棱长为a，过顶点B，D，A1截下一个三棱锥，则剩余部分的体积为________．
(3)某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示．如果网格纸上小正方形的边长为1，那么该几何体的体积为________．
思路探究：(1)先由侧面积求出圆锥的底面半径和高，再求体积；
(2)正方体的体积减去锥体体积即可；
(3)根据三视图还原成几何体，再求体积．
(1)A (2)a3 (3)40 [(1)设圆锥的底面半径为r，母线长为l.
∵圆锥的轴截面是等腰直角三角形，
∴2r＝，即l＝r，
由题意得，侧面积S侧＝πr·l＝πr2＝16π，
∴r＝4.
∴l＝4，高h＝＝4.
∴圆锥的体积V＝Sh＝π×42×4＝π，故选A.
(2)V三棱锥A1?ABD＝S△ABD·A1A＝×a2·a＝a3.
故剩余部分的体积V＝V正方体－V三棱锥A1?ABD＝a3－＝a3.
(3)三视图对应的几何体，是在棱长为4的正方体上，去掉一个底面为直角梯形(上底为2，下底为4，高为2)、高为4的四棱柱而得到，
故其体积V＝4×4×4－×(2＋4)×2×4＝64－24＝40.]
求几何体体积的常用方法：
(1)公式法：直接代入公式求解．
(2)等积法：例如四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面积和高都易求的形式即可．
(3)补体法：将几何体补成易求解的几何体，如棱锥补成棱柱，棱台补成棱锥等．
(4)分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积．
2．如图，已知底面半径为r的圆柱被一个平面所截，剩下部分母线长的最大值为a，最小值为b，那么圆柱被截后剩下部分的体积是________．
[两个同样的该几何体能拼接成一个高为a＋b的圆柱，则拼接成的圆柱的体积V＝πr2(a＋b)，所以所求几何体的体积为.]
简单组合体的表面积、体积
【例3】 如图所示的几何体，上面是圆柱，其底面直径为6
cm，高为3
cm，下面是正六棱柱，其底面边长为4
cm，高为2
cm，现从中间挖去一个直径为2
cm的圆柱，求此几何体的体积．
[解] V六棱柱＝×42×6×2＝48(cm3)，
V圆柱＝π·32×3＝27π(cm3)，
V挖去圆柱＝π·12×(3＋2)＝5π(cm3)，
∴此几何体的体积：
V＝V六棱柱＋V圆柱－V挖去圆柱＝(48＋22π)(cm3).
求组合体的表面积与体积的方法：
(1)分析结构特征
弄清组合体的组成形式，找准有关简单几何体的关键量．
(2)设计计算方法
根据组成形式，设计计算方法，特别要注意“拼接面”面积的处理．利用“切割”、“补形”的方法求体积．
(3)计算求值．根据设计的计算方法求值.
3．已知某几何体的三视图如图所示，其中正视图中半圆的半径为1，则该几何体的体积为( )
A．24－
B．24－
C．24－π
D．24－
A [该几何体是一个长方体挖去一个半圆柱体，其体积等于3×2×4－3××π×12＝24－.]
1．棱柱、棱锥、棱台的侧面积与表面积
(1)将棱柱、棱锥、棱台的侧面展开，其侧面展开图分别是由若干个平行四边形、若干个三角形、若干个梯形组成的平面图形，侧面展开图的面积就是棱柱、棱锥、棱台的侧面积．
(2)棱柱、棱锥、棱台的表面积等于它们的侧面积与各自的底面积的和．
2．对柱体、锥体、台体的体积公式的四点说明
(1)等底、等高的两个柱体的体积相同．
(2)等底、等高的锥体和柱体的体积之间的关系可以通过实验得出，等底、等高的柱体的体积是锥体的体积的3倍．
(3)柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系
(4)求台体的体积转化为求锥体的体积．根据台体的定义进行“补形”，还原为锥体，采用“大锥体”减去“小锥体”的方法求台体的体积．
1．已知某正方体的表面积为96，则该正方体的体积为( )
A．48 B．64 C．16 D．96
B [设正方体棱长为a，则6a2＝96，解得a＝4，解得该正方体的体积为a3＝43＝64.]
2．棱长都是1的三棱锥的表面积为( )
A．
B．2
C．3
D．4
A [S表＝4S正△＝4×＝.]
3．圆台的上、下底面的面积分别为π，4π，侧面积是6π，这个圆台的体积是________．
[设上、下底面半径分别为r′，r，母线长为l，
则
所以
圆台的高h＝＝，
所以V圆台＝(π＋＋4π)·＝.]
4．如图所示，正方体ABCD?A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为线段AA1，B1C上的点，求三棱锥D1?EDF的体积．
[解] VD1?EDF＝VF?DD1E＝S△D1DE·AB＝××1×1×1＝.
PAGE1.3.2 球的体积和表面积
学
习
目
标
核
心
素
养
1.了解并掌握球的体积和表面积公式．2.会用球的体积与表面积公式解决实际问题．(重点)3.会解决球的组合体及三视图中球的有关问题．(难点、易混点)
1.通过对球的概念的学习，培养直观想象的数学核心素养；2.通过学习球的表面积、体积公式，培养逻辑推理、直观想象和数学运算的数学核心素养．
1．球的体积和表面积
设球的半径为R，则
球的体积V
V＝πR3
球的表面积S
S＝4πR2
2.球的表面积与它的大圆面积的关系
球的表面积等于它的大圆面积的4倍．
思考：球有底面吗？球面能展开成平面图形吗？
[提示] 球没有底面，球的表面不能展开成平面图形．
1．若球的过球心的圆面的周长是C，则这个球的表面积是( )
A． B． C． D．2πC2
C [由2πR＝C，得R＝，所以S球面＝4πR2＝.]
2．设正方体的表面积为24，那么其外接球的体积是( )
A．π
B．
C．4π
D．32π
C [设正方体的棱长为a，则6a2＝24，解得a＝2.∴正方体的体对角线为l＝2.由2R＝l得R＝.∴正方体的外接球体积为V球＝×()3π＝4π.]
3．表面积为4π的球的半径是________．
1 [设球的半径为R，则S＝4πR2＝4π，得R＝1.]
4．两个半径为1的实心铁球，熔化成一个球，这个大球的半径是________．
[设大球的半径为R，则有πR3＝2×π×13，R3＝2，∴R＝.]
球的表面积与体积
【例1】 (1)已知球的表面积为64π，求它的体积；
(2)已知球的体积为π，求它的表面积．
[解] (1)设球的半径为r，则由已知得
4πr2＝64π，r＝4.
所以球的体积：V＝×π×r3＝π.
(2)设球的半径为R，由已知得
πR3＝π，所以R＝5，
所以球的表面积为：S＝4πR2＝4π×52＝100π.
求球的表面积与体积的一个关键和两个结论：
(1)关键：把握住球的表面积公式S球＝4πR2，球的体积公式V球＝πR3是计算球的表面积和体积的关键，半径与球心是确定球的条件．把握住公式，球的体积与表面积计算的相关题目也就迎刃而解了．
(2)两个结论：①两个球的表面积之比等于这两个球的半径比的平方；
②两个球的体积之比等于这两个球的半径比的立方．
1．如果两个球的体积之比为8∶27，那么两个球的表面积之比为________．
4∶9 [根据球的体积及表面积公式可知，两个球的体积之比等于半径之比的立方，表面积的比等于半径之比的平方，因为两个球的体积之比为8∶27，所以两个球的半径之比为2∶3，所以两个球的表面积的比为4∶9.
]
球的截面问题
【例2】 (1)平面α截球O的球面所得圆的半径为1.
球心O到平面α的距离为，则此球的体积为( )
A．π B．4π C．4π D．6π
B [如图，设截面圆的圆心为O′，M为截面圆上任一点，则OO′＝，O′M＝1，∴OM＝＝，即球的半径为，
∴V＝π()3＝4π.]
(2)已知半径为5的球的两个平行截面圆的周长分别为6π和8π，则这两个截面间的距离为________．
1或7 [若两个平行截面在球心同侧，如图①，则两个截面间的距离为－＝1；
若两个平行截面在球心异侧，如图②，则两个截面间的距离为＋＝7.]
① ②
1．有关球的截面问题，常画出过球心的截面圆，将问题转化为平面中圆的有关问题解决．
2．注意一个直角三角形，即由球心距(球心到截面圆心的距离)、截面圆的半径、球的半径围成一个直角三角形，满足勾股定理．
2．已知OA为球O的半径，过OA的中点M且垂直于OA的平面截球面得到圆M.
若圆M的面积为3π，则球O的表面积等于________．
16π [如图，圆M面积为3π，
则圆M半径MB为，OA＝2，则球O的表面积等于4π×22＝16π.]
与球有关的切、接问题
[探究问题]
1．若长方体的长、宽、高分别为a，b，c，则其外接球半径R与三条棱长有何关系？
[提示] 2R＝.
2．棱长为a的正方体的外接球，其半径R与棱长a有何数量关系？其内切球呢？
[提示] 外接球半径R＝a；内切球半径R＝a.
3．若一球与正方体的12条棱相切，则球半径R与棱长a有何数量关系？
[提示] R＝a.
【例3】 (1)一球与棱长为2的正方体的各个面相切，则该球的体积为________.
(2)正方体的全面积是a2，它的顶点都在一个球面上，则这个球的表面积是________．
(1)π (2) [(1)由题意可知球是正方体的内切球，因此球的半径为1，其体积为π.
(2)正方体内接于球，则由球及正方体都是中心对称图形知，它们的中心重合．可见，正方体的对角线是球的直径．设球的半径是r，则正方体的对角线长是2r.依题意，2r＝·，即r2＝a2，所以S球＝4πr2＝4π·a2＝.
]
1．将本例(1)变为：长方体的一个顶点处的三条棱长分别是，，，这个长方体它的八个顶点都在同一个球面上，这个球的表面积是( )
A．12π B.
18π C．36π D.
6π
A [由题意可知，该长方体的体对角线即为球的直径，其长度为2，从而球的半径为，球表面积为12π.]
2．将本例(1)变为：圆柱内接于球，圆柱的底面半径为3，高为8，则球的表面积为________．
100π [如图，由条件知，O1A＝3，OO1＝4，所以OA＝5，所以球的表面积为100π.
]
常见的几何体与球的切、接问题的解决策略：
(1)处理有关几何体外接球或内切球的相关问题时，要注意球心的位置与几何体的关系，一般情况下，由于球的对称性，球心总在几何体的特殊位置，比如中心、对角线的中点等．
(2)解决此类问题的实质就是根据几何体的相关数据求球的直径或半径，关键是根据“切点”和“接点”，作出轴截面图，把空间问题转化为平面问题来计算．
1．球的表面积、体积基本性质是解决有关问题的重要依据，它的轴截面图形，球半径、截面圆半径、球心到截面的距离所构成的直角三角形是把空间问题转化为平面问题的主要方法．
2．与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图．
1．若将气球的半径扩大到原来的2倍，则它的体积增大到原来的( )
A．2倍 B．4倍 C．8倍 D．16倍
C [设气球原来的半径为r，体积为V，则V＝πr3，当气球的半径扩大到原来的2倍后，其体积变为原来的23＝8倍．]
2．某几何体的三视图如图所示，则其表面积为________．
3π [由三视图可知，该几何体为一个半径为1的半球，其表面积为半个球面面积与截面面积的和，即×4π＋π＝3π.]
3．一个正方体的八个顶点都在体积为π的球面上，则正方体的表面积为________．
8 [设球的半径为R，正方体的棱长为a，
则πR3＝π，故R＝1，由a＝2R＝2，所以a＝，所以正方体的表面积为S＝6a2＝6×＝8.]
4．(1)已知球的直径为2，求它的表面积和体积；
(2)已知圆锥的高为3，底面半径为，若该圆锥的顶点与底面的圆周都在同一个球面上，求这个球的体积．
[解] (1)由R＝1，所以S球＝4πR2＝4π，V＝πR3＝π.
(2)设该圆锥的外接球的半径为R，依题意得，R2＝(3－R)2＋()2，解得R＝2，所以所求球的体积V＝πR3＝π×23＝π.
PAGE第1章
空间几何体
[巩固层·知识整合]
[提升层·题型探究]
空间几何体的结构特征
【例1】 (1)设有四个命题：①底面是矩形的平行六面体是长方体；②棱长都相等的直四棱柱是正方体；③侧棱垂直于底面两条边的平行六面体是直平行六面体；④对角线相等的平行六面体是直平行六面体.
其中真命题的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
(2)在四棱锥的四个侧面中，直角三角形最多可有( )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
(1)A (2)D [(1)①若侧棱不垂直于底面，则底面是矩形的平行六面体不是长方体，错误；②若底面是菱形，则棱长都相等的直四棱柱不是正方体，错误；③若侧棱垂直于底面两条平行边，则侧棱不一定垂直于底面，故侧棱垂直于底面两条边的平行六面体不一定是直平行六面体，错误；④若平行六面体对角线相等，则对角面皆是矩形，于是可得侧棱垂直于底面，因此对角线相等的平行六面体是
直平行六面体，正确．
(2)如图所示，在长方体ABCD?A1B1C1D1中，取四棱锥A1?ABCD，则此四棱锥的四个侧面都是直角三角形．]
与空间几何体结构特征有关问题的解答技巧
(1)紧扣结构特征是判断的关键，熟悉空间几何体的结构特征，依据条件构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素，然后再依据题意判定．
(2)通过举反例对结构特征进行辨析，即要说明一个命题是错误的，只要举出一个反例即可．
1．棱台上、下底面面积分别为16，81，有一平行于底面的截面，其面积为36，则截面截得两棱台高的比为( )
A．1∶1
B．1∶2
C．2∶3
D．3∶4
C [将棱台还原为棱锥，如图所示，设顶端小棱锥的高为h，两棱台的高分别为x1，x2，则＝，解得x1＝，＝，解得x2＝h.
故＝.]
空间几何体的表面积与体积
【例2】 (1)在梯形ABCD中，∠ABC＝，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2.将梯形ABCD绕AD所在直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的表面积为( )
A．4π
B．(4＋)π
C．6π
D．(5＋)π
(2)如图，已知正方体ABCD?A1B1C1D1的棱长为1，则四棱锥
A1?BB1D1D的体积为________．
(1)D (2) [(1)∵在梯形ABCD中，∠ABC＝，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2，∴将梯形ABCD绕AD所在直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体是一个底面半径为AB＝1，高为BC＝2的圆柱减去一个底面半径为AB＝1，高为BC－AD＝2－1＝1的圆锥的组合体，∴几何体的表面积S＝π×12＋2π×1×2＋×2π×1×＝(5＋)π.
(2)∵正方体ABCD?A1B1C1D1的棱长为1，
∴矩形BB1D1D的长和宽分别为1，.
∵四棱锥A1?BB1D1D的高是正方形A1B1C1D1对角线长的一半，即为，
∴V四棱锥A1?BB1D1D＝Sh＝×(1×)×＝.]
空间几何体的表面积与体积的求法：
(1)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理．
(2)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用．
(3)求复杂几何体的体积常用割补法、等积法求解．
2．如图所示，已知三棱柱ABC?A′B′C′，侧面B′BCC′的面积是S，点A′到侧面B′BCC′的距离是a，求三棱柱ABC?A′B′C′的体积．
[解] 连接A′B，A′C，如图所示，这样就把三棱柱分割成了两个棱锥．
设所求体积为V，显然三棱锥A′?ABC的体积是V.
而四棱锥A′?BCC′B′的体积为Sa，
故有V＋Sa＝V，即V＝Sa.
与球有关的切、接问题
【例3】 (1)正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为6，底面边长为4，则该球的表面积为( )
A．π B．π C．π D．16π
(2)一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，如果这个球的体积是π，那么这个三棱柱的体积是( )
A．96
B．16
C．24
D．48
(1)B (2)D [(1)如图，设PE为正四棱锥P?ABCD的高，则正四棱锥P?ABCD的外接球的球心O必在其高PE所在的直线上，延长PE交球面于一点F，连接AE，AF.
由球的性质可知△PAF为直角三角形且AE⊥PF，
又底面边长为4,
所以AE＝2，
PE＝6,
所以侧棱长PA＝＝＝＝2.
设
球的半径为R,
则PF＝2R.
由三角形相似得PA2＝PF·PE，即44＝2R×6，解得R＝，所以S＝4πR2＝4π×＝，故选B.
(2)由球的体积公式可求得球的半径R＝2.设球的外切正三棱柱的底面边长为a，高即侧棱长，为h，则h＝2R＝4.在底面正三角形中，由正三棱柱的内切球特征，有×＝R＝2，解得a＝4.故此三棱柱的体积V＝××(4)2×4＝48.]
与球相关问题的解题策略：
(1)作适当的截面(如轴截面等)时，
对于球内接长方体、正方体，
则截面一要过球心，
二要过长方体或正方体的两条体对角线，才有利于解题．
(2)对于“内切”和“外接”等问题，
首先要弄清几何体之间的相互关系，
主要是指特殊的点、线、面之间的关系，
然后把相关的元素放到这些关系中来解决．
3．已知三棱锥P?ABC中，△ABC为等边三角形，PA＝PB＝PC＝3，PA⊥PB，则三棱锥P?ABC的外接球的体积为________．
π [∵三棱锥P?ABC中，△ABC为等边三角形，PA＝PB＝PC＝3，∴△PAB≌△PBC≌△PAC.∵PA⊥PB，∴PA⊥PC，PC⊥PB.以PA，PB，PC为过同一顶点的三条棱作正方体(如图所示)，则正方体的外接球同时也是三棱锥P?ABC的外接球．∵正方体的体对角线长为＝3，∴其外接球半径R＝.因此三棱锥P?ABC的外接球的体积V＝×＝π.]
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