单元素养检测(二)(第七章)
(120分钟 150分)
一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求)
1.若复数z-2+3i=1-i,则|z|=( )
A.3
B.4
C.5
D.6
【解析】选C.由z-2+3i=1-i,得z=3-4i,|z|=5.
2.复数z=在复平面上对应的点位于( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
【解析】选C.因为复数z===-1-i,所以复数在复平面上对应的点(-1,-1)位于第三象限.
【补偿训练】
在复平面上,复数对应的点在( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
【解析】选A.由题意,复数=1+i,所以复数对应的点的坐标为位于第一象限.
3.若z(1+i)=2i,则z=( )
A.-1-i
B.-1+i
C.1-i
D.1+i
【解题指南】等式两边同除以(1+i),表示出z,再利用复数的除法计算.
【解析】选D.z(1+i)=2i,z==
=i(1-i)=1+i.
4.(2020·吉安高一检测)设复数z满足z=-1+,则|z|=( )
A.-4
B.
C.-4-3i
D.5
【解析】选D.由复数运算得z=-1+=-1+=-4-3i,
则|z|==5.
5.已知a是实数,是纯虚数,则a=( )
A.
B.-
C.1
D.-1
【解析】选A.由于a是实数,且==+i是纯虚数,
则2a-1=0,解得a=.
6.若i为虚数单位,图中复平面内点Z表示复数z,则表示复数的点是( )
A.E
B.F
C.G
D.H
【解析】选D.由图可知z=3+i,
所以====2-i,
对应复平面内的点H.
7.已知a∈R,z=(a2-3a+2)+(a-1)i,则“a=2”是“z为纯虚数”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【解析】选C.若复数z=(a2-3a+2)+(a-1)i是纯虚数,则a2-3a+2=0,且a-1≠0,得a=2.反之亦然.
所以“a=2”是“z为纯虚数”的充要条件.
【补偿训练】
若复数z1z2≠0,则“z1z2=”是z2=成立的( )
A.充要条件
B.充分不必要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
【解析】选C.若z2=,则z1z2=z1=成立;若z1z2=,不妨取z1=2,z2=1,则有z1z2=成立,但z2=不成立,所以z1z2=是z2=成立的必要不充分条件.
8.已知复数z0=1+2i在复平面上的对应点为P0,则P0关于直线l:|z-2-2i|=|z|的对称点表示的复数是( )
A.-i
B.i
C.1-i
D.1+i
【解析】选B.如图,O为原点,A(2,2),
直线l:|z-2-2i|=|z|是线段OA的垂直平分线,P0的对称点即是(0,1),其对应的复数为i.
二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)
9.(2020·枣庄高一检测)已知集合M={m|m=in,n∈N},其中i为虚数单位,则下列元素属于集合M的是( )
A.(1-i)(1+i)
B.
C.
D.(1-i)2
【解析】选BC.根据题意,M={m|m=in,n∈N}中,
n=4k(k∈N)时,in=1;
n=4k+1(k∈N)时,in=i;
n=4k+2(k∈N)时,in=-1;
n=4k+3(k∈N)时,in=-i,
所以M={-1,1,i,-i}.
选项A中,(1-i)(1+i)=2?M;
选项B中,==-i∈M;
选项C中,==i∈M;
选项D中,(1-i)2=-2i?M.
10.已知i为虚数单位,R为实数集,C为复数集,下列表示正确的是( )
A.i2∈R
B.2
020i∈CR
C.1+i2?CR
D.2
019i?C
【解析】选ABC.已知i为虚数单位,R为实数集,C为复数集,CR为虚数集,得i2=-1∈R,2
020i∈CR,
1+i2=0?CR,2
019i∈C.
11.已知复数z=,则下列结论正确的是( )
A.z的虚部为i
B.|z|2=2
C.z2为纯虚数
D.=-1+i
【解析】选BC.因为复数z===1+i,则z的虚部为1,A不正确.|z|2=2,B正确.
z2=(1+i)2=2i为纯虚数,C正确.=1-i,D不正确.
12.已知i为虚数单位,z∈C,下列命题为真命题的是( )
A.若z-(3+2i)=i,则z=3+3i
B.若z(3+4i)=25i,则z=4+3i
C.若z+|z|=2+i,则z=+i
D.若z·(2+i)=10-5i,则=3-4i
【解析】选ABC.若z-(3+2i)=i,则z=3+2i+i=3+3i,选项A是真命题.
若z(3+4i)=25i,则z====4+3i,选项B是真命题.
设z=x+yi(x,y∈R),则由z+|z|=2+i,得x+yi+=2+i,
所以 解得
所以z=+i,所以选项C是真命题.
若z·(2+i)=10-5i,则z====3-4i,=3+4i,选项D是假命题.
三、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上)
13.已知i为虚数单位,复数z=2+ai(a∈R)在复平面内对应的点在直线x-3y+1=0上,则z的共轭复数=________.?
【解析】复数z=2+ai(a∈R)在复平面内对应的点为(2,a),代入直线x-3y+1=0,可得2-3a+1=0,解得a=1,故复数z=2+i,
所以复数z的共轭复数=2-i.
答案:2-i
14.若(a-2i)i=b-i,其中a,b∈R,i是虚数单位,z=(a+bi)2,则=________.?
【解析】由(a-2i)i=b-i,得ai+2=b-i,
即(2-b)+(a+1)i=0,得a=-1,b=2,
所以z=(a+bi)2=(-1+2i)2=-3-4i,=5.
答案:5
15.已知=b+i(a,b∈R),其中i为虚数单位,则a+b=________.?
【解析】因为=b+i,所以a+2i=bi-1,
所以所以a+b=1.
答案:1
16.已知2+i,2-i是实系数一元二次方程x2+px+q=0在复数范围内的两个根,则p=__________,q=__________.?
【解析】由题意得:(2+i)+(2-i)=-p,(2+i)(2-i)=q,
所以p=-4,q=5.
答案:-4 5
四、解答题(本大题共6个小题,共70分,解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(10分)已知复数z1满足(z1-2)(1+i)=1-i(i为虚数单位),复数z2的虚部为2,且z1·z2是实数,求z2.
【解析】可以结合复数z2的虚部为2,设z2=a+2i,由已知复数z1满足(z1-2)·(1+i)=1-i,得z1=2-i,又z1·z2=(2-i)(a+2i)=(2a+2)+(4-a)i是实数,则虚部4-a=0,即a=4,即复数z2=4+2i.
18.(12分)已知z是复数,z+2i,均为实数(i为虚数单位),对于复数w=(z+ai)2,当a为何值时,w为:(1)实数;(2)虚数;(3)纯虚数.
【解析】设z=x+yi(x,y∈R),
z+2i=x+(y+2)i,由题意得y=-2,
==(x-2i)(2+i)=(2x+2)+(x-4)i.
由题意得x=4,所以z=4-2i.
因为w=(z+ai)2=(12+4a-a2)+8(a-2)i,
(1)当w为实数时,令a-2=0,所以a=2,
(2)w为虚数,只要a-2≠0,所以a≠2.
(3)w为纯虚数,只要12+4a-a2=0且a-2≠0,
所以a=-2或a=6.
19.(12分)已知复数z=(1+2m)+(3+m)i(m∈R).
(1)若复数z在复平面上所对应的点在第二象限,求m的取值范围;
(2)求当m为何值时,|z|最小,并求|z|的最小值.
【解析】(1)因为复数z=(1+2m)+(3+m)i(m∈R)在复平面上所对应的点在第二象限,
所以解得-3
所以m的取值范围是.
(2)|z|2=(1+2m)2+(3+m)2=5m2+10m+10
=5(m+1)2+5,所以当m=-1时,|z|min=.
20.(12分)已知z1=cos
θ+isin
2θ,z2=sin
θ+icos
θ,当θ为何值时:
(1)z1=z2;
(2)z1,z2对应点关于实轴对称;
(3)|z2|<.
【解析】(1)因为z1=z2,
所以即
解得θ=2kπ+(k∈Z).
(2)因为z1与z2对应点关于实轴对称,
所以即
解得θ=2kπ+π(k∈Z).
(3)因为|z2|<,
所以<,
即3sin2θ+cos2θ<2,
化简得sin2θ<,解得-θ<,
所以kπ-<θ21.(12分)已知复数z=(2+i)-(其中i是虚数单位,x∈R).
(1)若复数z是纯虚数,求x的值;
(2)若函数f(x)=|z|2与g(x)=-mx+3的图象有公共点,求实数m的取值范围.
【解析】(1)因为z=(2+i)-=(2-x)+(1-x)i,
且复数z为纯虚数,所以
解得x=2.
(2)由(1)知函数f(x)=|z|2=(2-x)2+(1-x)2=2x2-6x+5,
又函数f(x)与g(x)=-mx+3的图象有公共点,
所以方程2x2-6x+5=-mx+3有解,
即方程2x2+(m-6)x+2=0有解,
所以Δ=(m-6)2-4×2×2≥0,
所以m≤2或m≥10.
所以实数m的取值范围是(-∞,2]∪[10,+∞).
【补偿训练】
已知z1=x2+i,z2=x2+ai对于任意实数x,都有>恒成立,试求实数a的取值范围.
【解析】依题意,得|z1|=,
|z2|=,|z1|>|z2|?|z1|2>|z2|2?x4+x2+1>x4+a2?x2+1>a2?-1所以实数a的取值范围是(-1,1).
22.(12分)已知关于x的方程x2-(tan
θ+i)x-(i+2)=0(θ∈R,x∈C)
(1)若此方程有实数根,求锐角θ的值;
(2)求证:对任意的实数θ(θ≠+kπ),原方程不可能有纯虚数根.
【解析】(1)设x∈R是方程x2-(tan
θ+i)x-(i+2)=0的根,
则x2-xtan
θ-2-i(x+1)=0.
所以
由②得x=-1,代入①得tan
θ=1,所以锐角θ=.
(2)反证法.若方程有纯虚数根,设为x=ai(a≠0),代入原方程并整理得(-a2+a-2)-(atan
θ+1)i=0.
所以(
)
因为方程-a2+a-2=0无实根,所以方程组(
)无解.
故假设不成立,因此原方程无纯虚数根.
PAGE单元素养检测(二)(第七章)
(120分钟 150分)
一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求)
1.若复数z-2+3i=1-i,则|z|=( )
A.3
B.4
C.5
D.6
2.复数z=在复平面上对应的点位于( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
【补偿训练】
在复平面上,复数对应的点在( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
3.若z(1+i)=2i,则z=( )
A.-1-i
B.-1+i
C.1-i
D.1+i
4.(2020·吉安高一检测)设复数z满足z=-1+,则|z|=( )
A.-4
B.
C.-4-3i
D.5
5.已知a是实数,是纯虚数,则a=( )
A.
B.-
C.1
D.-1
6.若i为虚数单位,图中复平面内点Z表示复数z,则表示复数的点是( )
A.E
B.F
C.G
D.H
7.已知a∈R,z=(a2-3a+2)+(a-1)i,则“a=2”是“z为纯虚数”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【补偿训练】
若复数z1z2≠0,则“z1z2=”是z2=成立的( )
A.充要条件
B.充分不必要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
8.已知复数z0=1+2i在复平面上的对应点为P0,则P0关于直线l:|z-2-2i|=|z|的对称点表示的复数是( )
A.-i
B.i
C.1-i
D.1+i
二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)
9.(2020·枣庄高一检测)已知集合M={m|m=in,n∈N},其中i为虚数单位,则下列元素属于集合M的是( )
A.(1-i)(1+i)
B.
C.
D.(1-i)2
10.已知i为虚数单位,R为实数集,C为复数集,下列表示正确的是( )
A.i2∈R
B.2
020i∈CR
C.1+i2?CR
D.2
019i?C
11.已知复数z=,则下列结论正确的是( )
A.z的虚部为i
B.|z|2=2
C.z2为纯虚数
D.=-1+i
12.已知i为虚数单位,z∈C,下列命题为真命题的是( )
A.若z-(3+2i)=i,则z=3+3i
B.若z(3+4i)=25i,则z=4+3i
C.若z+|z|=2+i,则z=+i
D.若z·(2+i)=10-5i,则=3-4i
三、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上)
13.已知i为虚数单位,复数z=2+ai(a∈R)在复平面内对应的点在直线x-3y+1=0上,则z的共轭复数=________.?
14.若(a-2i)i=b-i,其中a,b∈R,i是虚数单位,z=(a+bi)2,则=________.?
15.已知=b+i(a,b∈R),其中i为虚数单位,则a+b=________.?
16.已知2+i,2-i是实系数一元二次方程x2+px+q=0在复数范围内的两个根,则p=__________,q=__________.?
四、解答题(本大题共6个小题,共70分,解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(10分)已知复数z1满足(z1-2)(1+i)=1-i(i为虚数单位),复数z2的虚部为2,且z1·z2是实数,求z2.
18.(12分)已知z是复数,z+2i,均为实数(i为虚数单位),对于复数w=(z+ai)2,当a为何值时,w为:(1)实数;(2)虚数;(3)纯虚数.
19.(12分)已知复数z=(1+2m)+(3+m)i(m∈R).
(1)若复数z在复平面上所对应的点在第二象限,求m的取值范围;
(2)求当m为何值时,|z|最小,并求|z|的最小值.
20.(12分)已知z1=cos
θ+isin
2θ,z2=sin
θ+icos
θ,当θ为何值时:
(1)z1=z2;
(2)z1,z2对应点关于实轴对称;
(3)|z2|<.
21.(12分)已知复数z=(2+i)-(其中i是虚数单位,x∈R).
(1)若复数z是纯虚数,求x的值;
(2)若函数f(x)=|z|2与g(x)=-mx+3的图象有公共点,求实数m的取值范围.
【补偿训练】
已知z1=x2+i,z2=x2+ai对于任意实数x,都有>恒成立,试求实数a的取值范围.
22.(12分)已知关于x的方程x2-(tan
θ+i)x-(i+2)=0(θ∈R,x∈C)
(1)若此方程有实数根,求锐角θ的值;
(2)求证:对任意的实数θ(θ≠+kπ),原方程不可能有纯虚数根.
PAGE