2020-2021学年上海市松江区八年级上学期期末数学试卷（Word版 含解析）

2020-2021学年上海市松江区八年级第一学期期末数学试卷
一、填空题（共14小题）.
1．（2分）计算：＝　 　．
2．（2分）写出﹣2的一个有理化因式　 　．
3．（2分）方程（1﹣x）2＝9的根是　 　．
4．（2分）在实数范围内分解因式x2﹣5x+1＝　 　．
5．（2分）函数的定义域是　 　．
6．（2分）如果关于x的一元二次方程x2+x﹣m＝0有两个不相等的实数根，那么m的取值范围是　 　．
7．（2分）已知f（x）＝kx，f（）＝2，那么k＝　 　．
8．（2分）如果反比例函数y＝的图象位于第二，四象限内，那么满足条件的正整数k是　 　．
9．（2分）经过定点A且半径为2cm的圆的圆心的轨迹是　 　．
10．（2分）直角坐标平面内，已知点A（﹣1，2），点B（2，6），那么AB＝　 　．
11．（2分）如图，在△ABC中，已知∠C＝90°，AB的垂直平分线交BC、AB于点D、E，∠CAB＝50°，那么∠CAD＝　 　．
12．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BD平分∠ABC，如果AC＝9cm，那么AD＝　 　cm．
13．（2分）如图，在四边形ABCD中，AD＝2，AB＝2，BC＝10，CD＝8，∠BAD＝90°，那么四边形ABCD的面积是　 　．
14．（2分）如图，A点坐标为（，0），C点坐标为（0，1），将△OAC沿AC翻折得△ACP，则P点坐标为　 　．
二．选择题（共4小题）.
15．（3分）下列二次根式中，与是同类二次根式（　　）
A． B． C． D．
16．（3分）下列函数中，y随x的增大而减小的是（　　）
A． B． C． D．
17．（3分）某种商品连续两次降价后，每件商品价格由原来的600元降至486元，若每次降价的百分率都是x，则可以列出方程（　　）
A．600（1﹣2x）＝486 B．600（1﹣x）2＝486
C．600（1﹣x%）2＝486 D．486（1+x）2＝600
18．（3分）下列命题中，假命题（　　）
A．在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行
B．到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上
C．一条直角边和另一条直角边上的中线对应相等的两个直角三角形全等
D．一边长相等的两个等腰直角三角形全等
三、（本大题共4题，每题6分，满分24分）
19．（6分）计算：﹣4+（﹣）÷．
20．（6分）解方程：3x﹣＝2．
21．（6分）如图，在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝22.5°，AC的垂直平分线交BC于点D，CD＝3，AE⊥BC于点E，求BE的长．
22．（6分）小明同学骑自行车从家里出发依次去甲、乙两个景点游玩，他离家的距离y（km）与所用的时间x（h）之间的函数图象如图所示：
（1）甲景点与乙景点相距　 　千米，乙景点与小明家距离是　 　千米；
（2）当0≤x≤1时，y与x的函数关系式是　 　；
（3）小明在游玩途中，停留所用时间为　 　小时，在6小时内共骑行　 　千米．
四、（第23、24题，每题8分；第25、26题，每题10分；满分36分）
23．（8分）已知y＝y1+2y2，y1与（x﹣2）成正比例，y2与x成反比例，且当x＝1时，y＝﹣1；当x＝2时，y＝3．
（1）求y关于x的函数解析式；
（2）当x＝3时，求y的值．
24．（8分）如图，已知四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，点E是AC中点，点F是BD中点．
（1）求证：EF⊥BD；
（2）过点D作DH⊥AC于H点，如果BD平分∠HDE，求证：BA＝BC．
25．（10分）如图，点A，B在反比例函数y＝的图象上，A点坐标（1，6），B点坐标（m，n）（m＞1）．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）过点B作BC⊥y轴，垂足为点C，联结AC，当S△ABC＝6时，求点B的坐标．
26．（10分）已知：如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝6，AD平分∠BAC，交BC边于点D．点E是边AB上一动点（与点A、B不重合）．过点E作EF⊥AD，垂足为点G，与射线AC交于点F．
（1）当点F在边AC上时，
①求证：DE＝DF；
②设BE＝x，CF＝y，求y与x之间的函数解析式，并写出定义域．
（2）当△ADF是等腰三角形时，求BE的长．
参考答案
一、填空题（共14小题，每小题2分，满分28分）
1．（2分）计算：＝　　．
【分析】运用二次根式的乘法法则，将分子的二次根式化为积的形式，约分，比较简便．
解：原式＝＝．
故答案为：．
2．（2分）写出﹣2的一个有理化因式　+2　．
解：∵（﹣2）（+2）＝（）2﹣22＝x﹣4，
∴﹣2的一个有理化因式为+2，
故答案为：+2．
3．（2分）方程（1﹣x）2＝9的根是　x1＝﹣2，x2＝4　．
【分析】利用直接开平方法求解即可．
解：∵（1﹣x）2＝9，
∴1﹣x＝3或1﹣x＝﹣3，
解得x1＝﹣2，x2＝4，
故答案为：x1＝﹣2，x2＝4．
4．（2分）在实数范围内分解因式x2﹣5x+1＝　（x﹣）（x﹣）　．
解：∵x2﹣5x+1＝0时，x＝，
∴x2﹣5x+1＝（x﹣）（x﹣）．
故答案为：（x﹣）（x﹣）．
5．（2分）函数的定义域是　x＞﹣1　．
解：根据题意得：x+1＞0，
解得：x＞﹣1．
6．（2分）如果关于x的一元二次方程x2+x﹣m＝0有两个不相等的实数根，那么m的取值范围是　m＞﹣　．
【分析】根据判别式的意义得到△＝12+4m＞0，然后解不等式即可．
解：∵关于x的一元二次方程x2+x﹣m＝0有两个不相等的实数根，
∴△＝12+4m＞0，
解得m＞﹣．
故答案为：m＞﹣．
7．（2分）已知f（x）＝kx，f（）＝2，那么k＝　　．
解：由题意可得：k＝2，
解得．
故答案为：．
8．（2分）如果反比例函数y＝的图象位于第二，四象限内，那么满足条件的正整数k是　1，2　．
解：因为反比例函数y＝的图象位于第二，四象限内，
所以k﹣3＜0，k＜3，那么满足条件的正整数k是1，2．
故答案为：1，2．
9．（2分）经过定点A且半径为2cm的圆的圆心的轨迹是　以点A为圆心，2cm为半径的圆　．
解：所求圆心的轨迹，就是到A点的距离等于2厘米的点的集合，因此应该是一个以点A为圆心，2cm为半径的圆，
故答案为：以点A为圆心，2cm为半径的圆．
10．（2分）直角坐标平面内，已知点A（﹣1，2），点B（2，6），那么AB＝　5　．
【分析】根据两点间的距离公式得到AB即可．
解：根据题意得AB＝．
故答案为：5．
11．（2分）如图，在△ABC中，已知∠C＝90°，AB的垂直平分线交BC、AB于点D、E，∠CAB＝50°，那么∠CAD＝　10°　．
【分析】由直角三角形两锐角的关系求得∠B，由DE垂直平分AB，推出DA＝DB，根据等腰三角形的性质求出∠DAB，进而求得∠CAD．
【解答】解∵∠C＝90°，∠CAB＝50°，
∴∠B＝90°﹣50°＝40°，
∵DE垂直平分AB，
∴DA＝DB，
∴∠DAB＝∠B＝40°，
∴∠CAD＝∠CAB﹣∠DAB＝50°﹣40°＝10°，
故答案为：10°．
12．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BD平分∠ABC，如果AC＝9cm，那么AD＝　6　cm．
解：过点D作DE⊥AB于E，
∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，DC⊥BC，
∴DE＝CD，
在Rt△ADE中，∠A＝30°，
∴DE＝AD，
∴DC＝AD，
∵AC＝9cm，
∴AD＝6（cm），
故答案为：6．
13．（2分）如图，在四边形ABCD中，AD＝2，AB＝2，BC＝10，CD＝8，∠BAD＝90°，那么四边形ABCD的面积是　2+24　．
解：连接DB，
在Rt△ABD中，AD＝2，AB＝2，∠BAD＝90°，
∴BD＝＝6，
∵BC＝10，DC＝8，
∴BC2＝BD2+CD2，
∴∠BDC＝90°，
∴S四边形ABCD＝S△ABD+S△DCB＝×2×2+×6×8＝2+24．
故答案为：2+24．
14．（2分）如图，A点坐标为（，0），C点坐标为（0，1），将△OAC沿AC翻折得△ACP，则P点坐标为　（，）　．
【分析】过点P作PD⊥y轴于点D，由直角三角形的性质求出∠OCA＝60°，根据折叠的性质得出∠OCA＝∠PCA＝60°，OC＝PC＝1，则可求出答案．
解：如图，过点P作PD⊥y轴于点D，
∵A点坐标为（，0），C点坐标为（0，1），
∴OA＝，OC＝1，
∴AC＝＝2，
∴OC＝AC，
∴∠OAC＝30°，
∴∠OCA＝60°，
∵将△OAC沿AC翻折得△ACP，
∴∠OCA＝∠PCA＝60°，OC＝PC＝1，
∴DC＝，PD＝，
∴OD＝OC+CD＝1+＝，
∴P（，）．
故答案为：（，）．
二．选择题（本大题共4题，每题3分，满分12分）[下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号填在括号内]
15．（3分）下列二次根式中，与是同类二次根式（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据二次根式的性质把各个二次根式化简，根据同类二次根式的概念判断即可．
解：A、＝＝3，与不是同类二次根式；
B、＝＝2，与是同类二次根式；
C、＝，与不是同类二次根式；
D、＝3，与不是同类二次根式；
故选：B．
16．（3分）下列函数中，y随x的增大而减小的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】反比例函数、二次函数的增减性都有限制条件（即范围），一次函数当一次项系数为负数时，y随着x增大而减小．
解：A、函数y＝x的图象是y随着x增大而增大，故本选项错误；
B、函数中的k＜0，y随着x增大而减小，故本选项正确；
C、D两个答案考虑其增减性时，需要考虑自变量的取值范围，故C、D错误．
故选：B．
17．（3分）某种商品连续两次降价后，每件商品价格由原来的600元降至486元，若每次降价的百分率都是x，则可以列出方程（　　）
A．600（1﹣2x）＝486 B．600（1﹣x）2＝486
C．600（1﹣x%）2＝486 D．486（1+x）2＝600
【分析】设每次降价的百分率为x，（1﹣x）2为两次降价的百分率，600降至486就是方程的相等条件，列出方程求解即可．
解：设每次降价的百分率为x．由题意，得
600（1﹣x）2＝486，
故选：B．
18．（3分）下列命题中，假命题（　　）
A．在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行
B．到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上
C．一条直角边和另一条直角边上的中线对应相等的两个直角三角形全等
D．一边长相等的两个等腰直角三角形全等
【分析】根据平行线的判定、线段垂直平分线的判定、全等三角形的判定定理判断即可．
解：A、在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行，本选项说法是真命题；
B、到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，本选项说法是真命题；
C、一条直角边和另一条直角边上的中线对应相等的两个直角三角形全等，本选项说法是真命题；
D、当一个等腰直角三角形的直角边长等于另一个等腰直角三角形的斜边长时，两个等腰直角三角形不全等，故一边长相等的两个等腰直角三角形全等是假命题；
故选：D．
三、（本大题共4题，每题6分，满分24分）
19．（6分）计算：﹣4+（﹣）÷．
【分析】直接利用二次根式的混合运算法则化简，进而计算得出答案．
解：原式＝2+﹣2+÷﹣÷
＝2+﹣2+2﹣2
＝．
20．（6分）解方程：3x﹣＝2．
【分析】方程整理后，利用因式分解法求解即可．
解：方程整理得：x2﹣6x+5＝0，
分解因式得：（x﹣5）（x﹣1）＝0，
解得：x1＝5，x2＝1．
21．（6分）如图，在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝22.5°，AC的垂直平分线交BC于点D，CD＝3，AE⊥BC于点E，求BE的长．
【分析】连接AD，由西安段垂直平分线的性质可求得AD＝3，结合三角形外角的性质可求解∠ADE＝45°，进而可求得AE的长，再根据含30° 角的直角三角形的性质可求解．
解：连接AD，
∵AC的垂直平分线交BC于点D，CD＝3，
∴AD＝CD＝3，
∴∠DAC＝∠C，
∵∠C＝22.5°，
∴∠ADE＝2∠C＝45°，
∵AE⊥BC，
∴∠AEB＝∠AEC＝90°，
∴AE＝DE＝3，
∵∠B＝60°，
∴∠BAE＝90°﹣60°＝30°，
∴BE＝．
22．（6分）小明同学骑自行车从家里出发依次去甲、乙两个景点游玩，他离家的距离y（km）与所用的时间x（h）之间的函数图象如图所示：
（1）甲景点与乙景点相距　6　千米，乙景点与小明家距离是　12　千米；
（2）当0≤x≤1时，y与x的函数关系式是　y＝6x　；
（3）小明在游玩途中，停留所用时间为　3　小时，在6小时内共骑行　24　千米．
【分析】（1）根据函数和图象，可以直接写出甲景点与乙景点的距离，乙景点与小明家的距离；
（2）利用待定系数法求解即可；
（3）根据函数图象中的数据可以求得停留所用时间为3小时，在6小时内共骑行24千米．
解：（1）由图象可得，
甲景点与乙景点相距：12﹣6＝6（千米）；
乙景点与小明家距离是12千米；
故答案为：6；12；
（2）当0≤x≤1时，设y与x的函数关系式y＝kx，根据题意，
得k＝6，
所以y＝6x（0≤x≤1）；
故答案为：y＝6x；
（3）由图象可得，
小明在游玩途中，停留所用时间为：3﹣1+（5﹣4）＝3（小时）；
小明在6小时内共骑行：12×2＝24（千米），
故答案为：3；24．
四、（第23、24题，每题8分；第25、26题，每题10分；满分36分）
23．（8分）已知y＝y1+2y2，y1与（x﹣2）成正比例，y2与x成反比例，且当x＝1时，y＝﹣1；当x＝2时，y＝3．
（1）求y关于x的函数解析式；
（2）当x＝3时，求y的值．
【分析】（1）根据正比例与反比例的定义设出y与x之间的函数关系式，然后利用待定系数法求函数解析式计算即可得解；
（2）把x＝3代入（1）中的函数关系式进行计算．
解：（1）设y1＝k1（x﹣2）（k1≠0），y2＝（k2≠0），
∴y＝k1（x﹣2）+．
∵当x＝1时，y＝﹣1．当x＝2时，y＝3，
∴，
∴，
∴y关于x的函数解析式是：y＝7（x﹣2）+；
（2）由（1）知，y＝7（x﹣2）+．则当x＝3时，y＝7+2＝9．
24．（8分）如图，已知四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，点E是AC中点，点F是BD中点．
（1）求证：EF⊥BD；
（2）过点D作DH⊥AC于H点，如果BD平分∠HDE，求证：BA＝BC．
【分析】（1）根据直角三角形和等腰三角形的性质即可得到结论；
（2）设AC，BD交于点O，根据垂直的定义得到∠DHO＝∠EFO＝90°，根据等腰三角形的性质得到∠EDO＝∠EBO，由角平分线的定义得到∠HDF＝∠BDE，根据等腰三角形的判定定理即可得到结论．
【解答】（1）证明：∵∠ABC＝∠ADC＝90°，点E是AC中点，
∴DE＝AC，BE＝AC，
∴DE＝BE，
∵点F是BD中点，
∴EF⊥BD；
（2）证明：设AC，BD交于点O，
∵DH⊥AC，EF⊥BD，
∴∠DHO＝∠EFO＝90°，
∵∠DOH＝∠BOE，
∴∠HDF＝∠OEF，
∵DE＝BE，
∴∠EDO＝∠EBO，
∵BD平分∠HDE，
∴∠HDF＝∠BDE，
∴∠OEF＝∠OBE，
∵∠OEF+∠EOF＝90°，
∴∠EOF+∠EBO＝90°，
∴∠BEO＝90°，
∴BE⊥AC，
∴BA＝BC．
25．（10分）如图，点A，B在反比例函数y＝的图象上，A点坐标（1，6），B点坐标（m，n）（m＞1）．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）过点B作BC⊥y轴，垂足为点C，联结AC，当S△ABC＝6时，求点B的坐标．
【分析】（1）根据待定系数法即可求解；
（2）根据三角形面积得到关于m的方程，解方程即可求得．
解：（1）∵点A在反比例函数y＝的图象上，A点坐标（1，6），
∴k＝1×6＝6，
∴反比例函数的解析式为y＝；
（2）∵B在反比例函数y＝的图象上，B点坐标（m，n）（m＞1）．
∴n＝，
∵BC⊥y轴于点C，
∴C（0，），
∵S△ABC＝6，
∴m＝6，解得m＝3，
∴n＝＝2，
∴点B的坐标（3，2）．
26．（10分）已知：如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝6，AD平分∠BAC，交BC边于点D．点E是边AB上一动点（与点A、B不重合）．过点E作EF⊥AD，垂足为点G，与射线AC交于点F．
（1）当点F在边AC上时，
①求证：DE＝DF；
②设BE＝x，CF＝y，求y与x之间的函数解析式，并写出定义域．
（2）当△ADF是等腰三角形时，求BE的长．
【分析】（1）①先证△AGF≌△AGE（ASA），得GF＝GE，再由线段垂直平分线的性质即可得出结论；
②先求出AB＝2AC＝12，则AE＝AB﹣BE＝12﹣x，再由全等三角形的性质得AF＝AE＝12﹣x，则y＝AC﹣AF＝6﹣（12﹣x）＝x﹣6，然后求出6≤x＜12即可；
（2）分三种情况：①当FA＝FD时，则∠FDG＝∠CAD＝30°，求出∠CDF＝30°，再由含30°角的直角三角形的性质得DF＝2CF，则6﹣y＝2y，解得：y＝2，进而得BE＝8；
②当DF＝DA时，则CF＝CA＝6，求出AF＝CF+CA＝12，得AE＝AF＝12，点E与点B重合，舍去；
③当AF＝AD时，先由含30°角的直角三角形的性质得CD＝AC＝2，AF＝AD＝2CD＝4，则AE＝AF＝4，得BE＝AB﹣AE＝12﹣4即可．
【解答】（1）①证明：∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD＝∠BAD，
∵EF⊥AD，
∴∠AGF＝∠AGE＝90°，
又∵AG＝AG，
∴△AGF≌△AGE（ASA），
∴GF＝GE，
又∵EF⊥AD，
∴DE＝DF；
②解：∵∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝6，
∴AB＝2AC＝12，
∵BE＝x，CF＝y，
∴AE＝AB﹣BE＝12﹣x，
由①得：△AGF≌△AGE，
∴AF＝AE＝12﹣x，
∴y＝AC﹣AF＝6﹣（12﹣x）＝x﹣6，
∵0＜AF≤6，
∴0＜AF≤6，
∴6≤x＜12，
即y＝x﹣6（6≤x＜12）；
（2）解：∵∠C＝90°，∠B＝30°，
∴∠BAC＝90°﹣30°＝60°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD＝∠BAD＝30°，
分三种情况：
①当FA＝FD时，如图1所示：
则∠FDG＝∠CAD＝30°，
∵∠C＝90°，
∴∠ADC＝90°﹣30°＝60°，
∴∠CDF＝60°﹣30°＝30°，
∴DF＝2CF，
∴6﹣y＝2y，
解得：y＝2，
∴AF＝6﹣2＝4，
∴AE＝AF＝4，
∴BE＝12﹣4＝8；
②当DF＝DA时，如图2所示：
∵∠ACB＝90°，
∴DC⊥AC，
∴CF＝CA＝6，
∴AF＝CF+CA＝12，
∴AE＝AF＝12，
∵点E是边AB上一动点（与点A、B不重合），AB＝12，
∴点E与点B重合，舍去；
③当AF＝AD时，如图3所示：
∵∠ACD＝90°，∠CAD＝30°，AC＝6，
∴CD＝AC＝2，AF＝AD＝2CD＝4，
∴AE＝AF＝4，
∴BE＝AB﹣AE＝12﹣4；
综上所述，当△ADF是等腰三角形时，BE的长为8或12﹣4．