北师大版八年级数学下册1.4　角平分线的性质和判定 课件（18张）

第10课　角平分线的性质和判定
一、知识储备
点到直线的距离是指垂线段的长度，如图：点P到直线l的距离，是指________的长度.
PQ
二、新课学习
知识点1：角平分线的性质
角平分线上的点到角两边的距离相等.
几何语言：
∵________________，
________，________，
∴________________.
AP平分∠BAC
PB⊥AB
PC⊥AC
PB=PC
1.如图，OP是∠AOB的平分线，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于E，PE＝5 cm，则PD＝________cm.
5
2.如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，且DE＝3 cm，BC＝8 cm，则BD＝________cm.
5
3.(例1)如图，在△ABC中，D是BC的中点，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F.
求证：BE＝CF.
证明：∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC
∴DE＝DF，∠DEB＝∠DFC＝90°
∵D是BC中点，∴BD＝CD
∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)
∴BE＝CF
4.如图，OC是∠AOB的平分线，AC⊥OB于D，BC⊥OA于E.求证：AC＝BC.
证明：∵OC是∠AOB的平分线，AC⊥OB，BC⊥OA
∴CE＝CD，∠AEC＝∠BDC＝90°
又∠ACE＝∠BCD
∴△ACE≌△BCD(ASA)
∴AC＝BC
知识点2：角平分线的判定
角的内部到角两边的距离相等的点在角平分线上.
几何语言：
∵________________，
________，________，
∴AP平分∠BAC.
PB⊥AB
PC⊥AC
PB=PC
5.如图，ME⊥AB于点E，MF⊥BC于点F，且ME＝MF，∠ABC＝70°，则∠EBM的度数为________.
35°
6.(例2)如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，点D在BC上，AD＝10，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且DE＝DF，求DE的长.
解：∵DE⊥AB，DF⊥AC，DE＝DF∴AD平分∠BAC∵∠BAC＝60°，∴∠BAD＝30°在Rt△AED中，∠AED＝90°，∠EAD＝30°∴DE＝ AD＝ ×10＝5
7.如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，BE＝CF.求证：AD平分∠BAC.
证明：∵D是BC的中点，∴DB＝DC
∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠DEB＝∠DFC＝90°
又∵BE＝CF
∴Rt△DEB≌Rt△DFC(HL)
∴DE＝DF
又DE⊥AB，DF⊥AC，∴AD平分∠BAC
三、过关检测
第1关
8.如图，DB⊥AB，DC⊥AC，BD＝DC，∠BAC＝80°，则∠BAD＝________°，∠ADC＝____°.
40
50
9.如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，AD＝3，BC＝10，则△BDC的面积是(　　)
A．10
B．15
C．20
D．30
B
第2关
10.如图，BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，BE，CF相交于D.若BD＝CD，求证：AD平分∠BAC.
证明：∵ BE⊥AC，CF⊥AB
∴∠DEC＝∠DFB＝90°
∵∠BDF＝∠CDE，BD＝CD
∴△DEC≌△DFB(AAS)
∴DE＝DF
又∵DE⊥AC，DF⊥AB，∴AD平分∠BAC
11.如图，∠C＝90°，∠B＝30°，AD是△ABC的角平分线．
求证：BD＝2CD.
证明：如图，过D作DE⊥AB于E
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∠C＝90°
∴DE＝DC
在Rt△BDE中，∠BED＝90°，∠B＝30°
∴BD＝2DE，∴BD＝2CD
第3关
12.如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F.若△ABC的面积是36 cm2，AB＝10 cm，AC＝8 cm，求DE的长.
解：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC∴DE＝DF∵S△ABC＝S△ABD＋S△ACD＝ AB·DE＋ AC·DF∴36＝ ×10·DE＋ ×8·DE∴DE＝4(cm)
13.如图，P是∠AOB平分线上的一点，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别为C，D.求证：
(1)OC＝OD；
(2)OP是CD的垂直平分线.
证明：(1)∵OP平分∠AOB，∴∠COP＝∠DOP
∵PC⊥OA，PD⊥OB，∴∠OCP＝∠ODP＝90°
又∵OP＝OP，∴△OCP≌△ODP(AAS)
∴OC＝OD
(2)∵OP平分∠AOB，PC⊥OA，PD⊥OB
∴PC＝PD
∴点P落在CD的垂直平分线上
∵OC＝OD
∴点O落在CD的垂直平分线上
∴OP是CD的垂直平分线