北师大版数学九年级上册《2.1一元二次方程的概念》(共15张PPT)

第二章 一元二次方程
2.1 认识一元二次方程
第1课时 一元二次方程
道北中学 高宏伟
教室地面有多宽
幼儿园某教室矩形地面的长为8m，宽为5m，现准备在地面正中间铺设一块面积为１８m2 的地毯 ，四周未铺地毯的条形区域的宽度都相同，你能求出这个宽度吗？
解：如果设所求的宽为xm ,那么地毯中央长方形图案的长为 m,宽为　　　 m,根据题意,可得方程：
你能化简这个方程吗?
（8－2x）
（5－2x）
(8 － 2x) (5 － 2x) = 18.
5
x
x
x
x
（8－2x）
（5－2x）
8
18m2
数学 化
观察下面等式：
１０２＋１１２＋１２２＝１３２＋１４２
你还能找到其他的五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和吗？
如果设五个连续整数中的第一个数为x，那么后面四个数依次可表示为：　　　　，　　　　，　　　　，　　　　．
你能化简这个方程吗?
x＋1
x＋2
x＋3
x＋4
根据题意，可得方程：
　　　　　　　　　　　　 .
(x＋1)2
(x＋ 2)2
＋
(x＋3)2
(x＋4)2
＝
＋
x2
＋
一般化
生活中的数学
如图，一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m．如果梯子的顶端下滑1m，那么梯子的底端滑动多少米？
解：由勾股定理可知，滑动前梯子底端距墙　　　　m.
如果设梯子底端滑动x m，那么滑动后梯子底端距墙　　 m;
根据题意，可得方程：
你能化简这个方程吗?
6
(x＋6)
72＋(x＋6)2 ＝102
xm
8m
10m
7m
6m
10m
数学化
1m
1.什么叫方程？我们学过哪些方程？
2.什么叫一元一次方程？
上面的方程都是只含有　　　　　　的　　　　 ，并且都可以化为　　　　　　　　　　　　　　　　　 的形式，这样的方程叫做一元二次方程．
一元二次方程的概念
由上面三个问题，我们可以得到三个方程：
把ax２＋bx＋c＝０(a，b，c为常数,a≠０)称为一元二次方程的一般形式，其中ax２ ， bx ， c分别称为二次项、一次项和常数项，a， b分别称为二次项系数和一次项系数．
(8-2x)(５-２x)=18;
即 2x2 － 13x ＋ 11 = 0 .
x２+（x+1)２+(x+2)２=(x+3)２+(x+４)２
即 x2 － 8x － 20＝0.
（ x＋６）２＋７２＝１０２
即 x2 ＋12 x －15 ＝0.
上述三个方程有什么共同特点？
一个未知数x
整式方程
ax２＋bx＋c＝０(a，b，c为常数, a≠０)
下列方程哪些是一元二次方程?
(2)2x2－5xy＋6y＝0
(5)x2＋2x－3＝1＋x2
(1)7x2－6x＝0
解: (1)、 (4)
(3)2x2－ －1 ＝0
－
1
3x
(4) ＝0
－
y2
2
1.关于x的方程(k－3)x2 ＋ 2x－1＝0,当k _______ 　　　时，是一元二次方程．
2.关于x的方程(k2－1)x2 ＋ 2 (k－1) x ＋ 2k ＋ 2＝0,当k 　　　时，是一元二次方程．当k 　　　时，是一元一次方程．
≠3
≠±1
＝－1
与一元一次方程和分式方程一样,一元二次方程也是刻画现实世界的一个有效数学模型。
“知识” 知多少
解：设竹竿的长为x尺,则门的宽 度为 尺,长为 尺,依题意得方程：
１．从前有一天，一个醉汉拿着竹竿进屋，横拿竖拿都进不去，横着比门框宽４尺，竖着比门框高２尺，另一个醉汉教他沿着门的两个对角斜着拿竿，这个醉汉一试，不多不少刚好进去了．你知道竹竿有多长吗？请根据这一问题列出方程．
(x－4)2＋ (x－2)2＝ x2
即
x2－12 x ＋20 ＝ 0
4尺
2尺
x
x－4
x－2
数学化
(x－4)
(x－2)
２.把方程(3x＋2)2＝4(x－3)2化成一元二次方程的一般形式,并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项．
解：将原方程化简为：
9x2＋12x＋4＝4(x2－6x＋9)
9x2＋12x＋4＝
9x2
5x2 ＋ 36 x － 32＝0
二次项系数为 ，
5
＋ 36
－ 32
一次项系数为 ，
常数项为 .
5
36
－ 32
4 x2 －24x ＋36
－ 4 x2
＋ 24x
－ 36
＋ 12x
＋ 4
＝0
本节课你又学会了哪些新知识呢？
１．学习了什么是一元二次方程，以及它的一般形式ax2＋bx＋c＝０（a，b，c为常数，a≠０）和有关概念，如二次项、一次项、常数项、二次项系数、一次项系数．
２．会用一元二次方程表示实际生活中的数量关系
小 结
谢谢！
１．根据题意，列出方程：
（１）有一面积为54m2的长方形，将它的一边剪短5m，另一边剪短2m，恰好变成一个正方形，这个正方形的边长是多少？
解：设正方形的边长为xm，则原长方形的长为(x＋5) m,宽为(x＋2) m，依题意得方程：
(x＋5) (x＋2) ＝54
即
x2 ＋ 7x－44 ＝0
2
5
x
x
X＋5
X＋2
54m2