第30章二次函数复习与小结-冀教版九年级数学下册课件（共22张ppt）

复习与小结
第三十章 二次函数
冀教版九下
整理知识点
一、二次函数的定义
1．一般地，如果y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)，那么y叫做x的二次函数．
当b=0时，抛物线为y＝ax2＋c，对称轴为y轴.
当c=0时，抛物线为y＝ax2＋bx，过原点.
当b=0,c=0时，抛物线为y＝ax2，顶点为原点.
注意：
整理知识点
2．二次函数的三种基本形式
(1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)；
(2)顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)，由顶点式可以直接写出二次函数的顶点坐标是(h，k)；
(3)交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，其中x1，x2是图像与x轴交点的横坐标．
整理知识点
二、用待定系数法求二次函数表达式
1.若已知条件是图像上三个点的坐标，则设一般式y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，将已知条件代入，求出a，b，c的值．
2.若已知二次函数的顶点坐标或对称轴，则设顶点式y＝a(x－h)2＋k(a≠0)，将已知条件代入，求出待定系数的值，最后将解析式化为一般式．
3.若已知二次函数图像与x轴的两个交点的坐标，则设交点式y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，将第三点的坐标或其他已知条件代入，求出待定系数a的值，最后将解析式化为一般式．
巩固练习
1.已知关于x的二次函数,当x=－1时,函数值为10,当x=1时,函数值为4,当x=2时,函数值为7,求这个二次函数的解析式.
设为一般式
解：设所求的二次函数为y＝ax2+bx＋c, 由题意得：
解得, a=2,b=－3,c=5.
∴ 所求的二次函数为y＝2x2－3x＋5.
巩固练习
2.已知抛物线y=ax2+bx+c与抛物线y=－x2－3x+7的形状相同,顶点在直线x=1上,且顶点到x轴的距离为5,请写出满足此条件的抛物线的解析式.
解: ?抛物线y=ax2+bx+c与抛物线y=－x2－3x+7的形状相同
? a=1或－1
又?顶点在直线x=1上,且顶点到x轴的距离为5,
? 顶点为(1,5)或(1,－5)
所以其解析式为:
(1) y=(x－1)2+5 (2) y=(x－1)2－5
(3) y=－(x－1)2+5 (4) y=－(x－1)2－5
设为顶点式
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三、二次函数的图像和性质
{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}函数
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
a<0
a>0
图像
{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}开口
抛物线开口向上
抛物线开口向下
对称轴、顶点
对称轴是x＝ ，顶点坐标是
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{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}增
减
性
在对称轴的左侧，即当x＜ 时，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，即当x＞ 时，y随x的增大而增大，简记为“左减右增”
在对称轴的左侧，即当x＜ 时，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，即当x＞ 时，y随x的增大而减小，简记为“左增右减”
最
值
抛物线有最低点，当
x＝ 时， y有最小值，
y最小值＝
抛物线有最高点，当
x＝ 时，y有最大值，
y最大值＝
巩固练习
1. 抛物线y＝x2－2x＋3的顶点坐标________．
解析：
方法一：配方，得y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，则顶点坐标为(1,2)．
方法二：代入顶点坐标公式 .
则顶点坐标为(1,2)．
巩固练习
2．对于y＝2(x－3)2＋2的图像下列叙述正确的是(　　)
A．顶点坐标为(－3,2)
B．对称轴为y＝3
C．当x≥3时，y随x的增大而增大
D．当x≥3时，y随x的增大而减小
C
巩固练习
3.下列函数中，当x＞0时，y值随x值增大而减小的是（ ）
A. y= B.y=x-1 C. D.y=-3x2
D
4.二次函数y＝－x2＋bx＋c的图像如图所示，若点A(x1，y1)，B(x2，y2)在此函数
图像上，且x1 A. y1≤y2 B．y1 C．y1≥y2 D．y1>y2
B
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四、二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像特征与系数a，b，c的关系
字母　　
字母的符号
图像的特征
a
a＞0
开口向上
a＜0
开口向下
b
b＝0
对称轴为y轴
ab＞0(a与b同号)
对称轴在y轴左侧
ab＜0(a与b异号)
对称轴在y轴右侧
c
c＝0
经过原点
c＞0
与y轴正半轴相交
c＜0
与y轴负半轴相交
b2－4ac
b2－4ac＝0
与x轴有唯一交点(顶点)
b2－4ac＞0
与x轴有两个交点
b2－4ac＜0
与x轴没有交点
巩固练习
1.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像如图所示，下列结论：①abc＞0；②2a－b＜0；③4a－2b＋c＜0；④(a＋c)2＜b2. 其中正确的个数是(　　)
A．1　　　　　B．2　　　　　C．3　　　　　D．4
D
巩固练习
2.已知二次函数y=－x2＋2bx＋c，当x＞1时，y的值随x值的增大而减小，则实数b的取值范围是（ ）
A．b≥－1 B．b≤－1
C．b≥1 D．b≤1
解析：∵二次项系数为－1＜0，∴抛物线开口向下，在对称轴右侧，y的值随x值的增大而减小，由题设可知，当x＞1时，y的值随x值的增大而减小，∴抛物线y=－x2＋2bx＋c的对称轴应在直线x=1的左侧而抛物线y=－x2＋2bx＋c的对称轴 ，即b≤1，故选择D .
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五、二次函数图像的平移
任意抛物线y＝a(x－h)2＋k可以由抛物线y＝ax2经过平移得到
左右平移
在括号内左加右减
上下平移
在括号外上加下减
巩固练习
1.将抛物线y＝x2－6x＋5向上平移 2个单位长度，再向右平移1个单位长度后，得到的抛物线解析式是(　　)
A．y＝(x－4)2－6 B．y＝(x－4)2－2
C．y＝(x－2)2－2 D．y＝(x－1)2－3
抛物线平移的规律可总结如下口诀：
左加右减，上加下减.
整理知识点
2.若抛物线 y=-7(x+4)2－1平移得到 y=-7x2，则可能（ ）
A.先向左平移4个单位，再向下平移1个单位
B.先向右平移4个单位，再向上平移1个单位
C.先向左平移1个单位，再向下平移4个单位
D.先向右平移1个单位，再向下平移4个单位
B
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六、二次函数与一元二次方程的关系
二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像和x轴交点有三种情况:有两个交点,有一个交点,没有交点.当二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像和x轴有交点时,交点的横坐标就是当y=0时自变量x的值,即一元二次方程ax2＋bx＋c=0的根.
二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像和x轴交点
一元二次方程
ax2＋bx＋c=0的根
一元二次方程
ax2＋bx＋c=0根的判别式（b2-4ac）
有两个交点
有两个不相等的实数根
b2-4ac > 0
有一个交点
有两个相等的实数根
b2-4ac = 0
没有交点
没有实数根
b2-4ac < 0
巩固练习
1. 若二次函数y=x2+mx的对称轴是x=3，则关于x的方程x2+mx=7的解为（　　）
A．x1=0，x2=6 B．x1=1，x2=7
C．x1=1，x2=﹣7 D．x1=﹣1，x2=7
D
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七、二次函数的应用
1.一般步骤：(1)找出问题中的变量和常量以及它们之间的函数关系；(2)列出函数关系式，并确定自变量的取值范围；(3)应用二次函数的图像及性质解决实际问题；(4)检验结果的合理性，是否符合实际意义．
2.利用二次函数的知识常解决以下几类问题：最大利润问题，求几何图形面积的最值问题，拱桥问题，运动型几何问题，方案设计问题等.
巩固练习
1. 某广告公司设计一幅周长为12m的矩形广告牌，广告设计费用每平方米1000元，设矩形的一边长为x(m),面积为S(m2).
(1)写出S与x之间的关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）请你设计一个方案，使获得的设计费最多，并求出这个费用.
解：（1）设矩形一边长为x，则另一边长为（6-x),
∴S=x(6-x)=-x2+6x,其中0＜x<6.
(2)S=-x2+6x=-(x-3)2+9;
∴当x=3时，即矩形的一边长为3m时，矩形面积最大，为9m2.
这时设计费最多，为9×1000=9000（元）
同学们再见