(共24张PPT)
第十七章 勾股定理
第1课时 勾股定理的逆定理(1)
学习目标
1.(课标)探索勾股定理的逆定理.掌握勾股定理的逆定理.
2.探究勾股定理的逆定理的证明方法.
知识点一:逆命题
(1)如果两个命题的题设、结论正好相反,那么这样的两个命题叫做
命题.?
(2)如果把其中一个叫做原命题,那么另一个叫做它的_______
命题.?
逆
知识要点
互逆
对点训练
1.原命题:若a=b,则a2=b2;
逆命题:
.?
2.原命题:全等三角形的对应角相等;
逆命题:
.
对应角相等的三角形是全等三角形
若a2=b2,则a=b
知识点二:勾股定理的逆定理
(1)如果一个三角形有两条边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是
三角形.?
(2)三角形的三边长为a,b,c,满足:
a2+b2=c2
或
?
或
时,?
这个三角形是直角三角形.
直角
3.判断由线段a,b,c组成的三角形是不是直角三角形:
(1)a=15,b=8,c=17;
(2)a=13,b=14,c=15.
(1)是 (2)不是
4.下列各组数据中的三个数,可作为三边长构成直角三角形的是(
)
A.4,5,6
B.2,3,4
C.11,12,13
D.8,15,17
D
B
直角
30
18
24
直角
7.如图,在△ABC中,AB=13,BC=10,中线AD=12.求证:AB=AC.
小结:
勾股定理的逆定理的三种表达形式.
8.【例1】若一个三角形的三边满足c2-a2=b2,则这个三角形是
三角形.?
精典范例
直角
12.下列各组数中,能构成直角三角形的是(
)
A.4,5,6
B.1,1,
C.6,8,11
D.5,12,23
13.木工师傅要做一个长方形桌面,做好后量得长为80
cm,宽为60
cm,对角线为100
cm,则这个桌面
(填“合格”或“不合格”).?
合格
变式练习
B
小结:(1)每一个命题都有逆命题;(2)每个定理都有逆命题,但不一定都有逆定理.
9.【例2】下列定理有逆定理的是(
)
A.对顶角相等
B.全等三角形的对应角相等
C.同角的余角相等
D.线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等
D
14.“如果x2=y2,那么x=y”的逆命题是
,该逆命题是
命题(填“真”或“假”).?
15.下列命题的逆命题正确的是(
)
A.对顶角相等
B.全等三角形的面积相等
C.全等三角形的对应角相等
D.两直线平行,内错角相等
D
真
10.【例3】如图,在四边形ABCD中,AB=20
cm,BC=15
cm,
CD=7
cm,AD=24
cm,∠ABC=90°.
(1)猜想∠A与∠C之间的关系;
(2)求四边形ABCD的面积.
解:(1)∠A+∠C=180°.理由如下:连接AC.
∵AB=20
cm,BC=15
cm,∠ABC=90°,
∴由勾股定理,得AC2=AB2+BC2=625(cm2).
又∵在△ADC中,CD=7
cm,AD=24
cm,
∴CD2+AD2=AC2,∴∠D=90°,
∴∠A+∠C=360°-180°=180°.
小结:勾股定理及其逆定理的灵活运用.
?
16.如图,△ABC在正方形网格中,若小方格边长为1.
(1)判断△ABC的形状,说明理由;
(2)求点A到BC的距离.
11.【例4】如图,D是BC边上的一点,若AB=10,AD=8,
AC=17,BD=6,求BC的长.
小结:利用勾股定理及其逆定理求边长.
★17.如图,等腰△ABC的底边BC=20
cm,D是腰AB上一点,且CD=16
cm,BD=12
cm,求△ABC的周长.(共24张PPT)
第十七章 勾股定理
第2课时 勾股定理的逆定理(2)
学习目标
1.(课标)能运用勾股定理及其逆定理解决一些简单的实际问题.
2.进一步加深性质定理与判定定理之间关系的认识.
知识要点
知识点一:航海问题
某港口位于东西方向的海岸线上,远航号和海天号轮船同时离开港口,各自沿一固定方向航行,远航号每小时航行16海里,海天号每小时航行12海里,他们离开港口一
个半小时后相距30海里.如果知道远航号沿
东北方向航行,能知道海天号沿哪个方向航
行吗?
解:根据题意,得PQ=16×1.5=24(海里),
PR=12×1.5=18(海里),QR=30海里.
∵242+182=302,即PQ2+PR2=QR2,∴∠QPR=90°.
由“远航号”沿东北方向航行可知,∠QPS=45°,
则∠SPR=45°,即“海天”号沿西北方向航行.
对点训练
1.如图,在我国沿海有一艘不明国籍的轮船进入我国海域,我海军甲、乙两艘巡逻艇立即从相距13海里的A,B两个基地前去拦截,6分钟后同时到达C地将其拦截.已知甲巡逻艇每小时航行120海里,乙巡逻艇每小时航行50海里,航向为北偏西40°,问:甲巡逻艇的航向?
知识点二:通过计算确定三角形的形状
已知△ABC的三边长分别为a,b,c,且a+b=4,ab=1,c=,试判定△ABC的形状.
解:∵a2+b2=(a+b)2-2ab=16-2×1=14,
c2=14,∴a2+b2=c2,∴△ABC是直角三角形.
2.已知△ABC的三边长分别是a,b,c,且a=n2-1,
b=2n,c=n2+1(n>1),试判断三角形的形状.
解:△ABC是直角三角形,理由如下:
∵在△ABC中,三条边长分别是a,b,c,
且a=n2-1,b=2n,c=n2+1(n>1),
∴a2+b2=(n2-1)2+(2n)2=n4-2n2+1+4n2=(n2+1)2,c2=(n2+1)2,
∴a2+b2=c2,∴∠C=90°,△ABC是直角三角形.
(1)AB=
,BC=
,CD=
,AD=
;?
(2)连接AC,△ACD的形状是
,△ABC的形状是
.?
直角三角形
等腰三角形
5
知识点三:在网格中确定三角形的形状
如图,在边长为1的小正方形组成的网格中,四边形ABCD的四个顶点都在格点上.
?
3.如图,6×6网格中每个小正方形的边长都为1,△ABC的顶点均为网格上的格点.
(1)AB=
,BC=
,AC=
;?
(2)∠ABC=
°;?
90
5
?
(3)在格点上存在点P,使∠APC=90°,请在图中标出所有满足条件的格点P(用P1,P2,…表示)
答案图
精典范例
4.【例1】如图,在△ABC中,AB的垂直平分线l交AB于E,交AC于D.AD=5,DC=3,BC=4.
(1)求证:△ABC是直角三角形;(2)求AB的长.
变式练习
8.如图,AD是△ABC的中线,DE是△ADC的高,DF是△ABD的中线,且CE=1,DE=2,AE=4.
(1)求证:∠ADC是直角;(2)AB的长为
.?
(1)证明:∵DE是△ADC的高,
∴∠AED=∠CED=90°,
在Rt△ADE中,∠AED=90°,
∴AD2=AE2+DE2=42+22=20,
同理:CD2=5,∴AD2+CD2=25,
∵AC=AE+CE=4+1=5,∴AC2=25,
∴AD2+CD2=AC2,∴△ADC是直角三角形,
∴∠ADC是直角.
?
8.如图,AD是△ABC的中线,DE是△ADC的高,DF是△ABD的中线,且CE=1,DE=2,AE=4.
(1)求证:∠ADC是直角;(2)AB的长为
.?
5
