人教版数学 八年级上册 11.1.2 三角形的高-中线与角平分线（共22张）

11.1.2
三角形的高、
中线与角平分线
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2.线段中点的定义：
3.角的平分线的定义：
1.垂线的定义：
一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。
把一条线段分成两条相等的线段的点，这个点叫做这条线段的中点。
当两条直线相交所成的四个角中，
有一个角是直角时，就说这两条
直线互相垂直，其中一条直线叫
做另一条直线的垂线。
相关知识回顾
A
D
B
c
A
B
A
B
C
D
C
O
新知讲解
从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高
符号语言：
∵
AD是△
ABC的BC边上的高
∴AD
⊥
BC
∠ADB=∠ADC=90°.
A
B
C
D
想一想：一个三角形有几条高线？
三角形的高:
新知讲解
动手画一画
请画出下列三角形的所有高线，仔细观察，你能得出有什么论？(提示：有几条高，它们是否交于一点？)
A
B
C
A
B
C
A
B
C
(1)
(2)
(3)
O
A
B
D
E
F
A
B
C
(D)
●
A
B
C
D
F
E
O
（O）
●
●
C
E
(F)
归纳：1
、锐角三角形的三条高交于内部一点
　　　2、直角三角形的三条高交于直角顶点.
　　　3、钝角三角形的三条高所在直线交于外部一点
　　　4、三角形三条高线的交点叫做三角形的垂心.
新知讲解
在三角形中，连接一个顶点与它对边中点
的线段,叫做这个三角形的中线.
A
B
C
D
符号语言：
∵AD是△
ABC的
中线
∴BD
=CD
=
BC
1
2
三角形的中线：
※
拓展：
三角形的中线把它分成面积相等的两个三角形
自主探究
归纳：
1
、任意三角形的三条中线都在三角形的内部，并且交于一点.
2、三角形三条中线的交点叫做三角形的重心.
请画出下列三角形的所有中线，仔细观察，
你能得出有什么论？
A
B
C
A
B
C
A
B
C
(1)
(2)
(3)
D
D
D
E
F
E
F
E
F
O
O
O
●
●
●
新知讲解
A
B
C
D
符号语言：
∵AD是
△
ABC的
角平分线
∴∠
BAD
=
∠
CAD
=
１
２
∠BAC
在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段,叫做三角形的角平分线.
三角形的角平分线：
思考：三角形的角平分线和角的平分线有什么区别？
自主探究
请画出下列三角形的所有角平分线，仔细观察，你能得出有什么论？
归纳：
1
、任意三角形的三条角平分线都在三角形的内部，并且交于一点.
2、三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心.
A
B
C
A
B
C
A
B
C
(1)
(2)
(3)
D
D
D
E
F
E
F
E
F
O
O
O
●
●
●
A
B
C
A
B
C
A
B
C
(1)
(2)
(3)
D
D
D
E
F
E
F
E
F
O
O
O
●
●
●
O
A
B
D
E
F
A
B
C
(D)
●
A
B
C
D
F
E
O
（O）
●
●
C
E
(F)
A
B
C
A
B
C
A
B
C
(1)
(2)
(3)
D
D
D
E
F
E
F
E
F
O
O
O
●
●
●
课堂练习
1．如果三角形的三条高的交点恰好是三角形的
一个顶点，那么这个三角形是(　　)
A．锐角三角形
B．钝角三角形
C．直角三角形
D．不能确定
C
2．如图，D是BC的中点，E是AC的中点．
若S△ADE＝2，则S△ADC＝
．
4
随堂检测
3、下列各组图形中，哪一组图形中AD是△ABC
的高(
)
A
D
C
B
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D
(A)
(B)
(C)
(D)
D
4.如图所示,D,E分别是△ABC的边AC,BC的中点,则下列说法不正确的是(
)
A.DE是△BCD的中线
B.BD是△ABC的中线
C.AD=DC,BE=EC
D.∠C的对边是DE
D
5.如图，在ΔABC中，AE是中线，AD是角平分线，AF是高。填空：
（1）BE=
=
；
（2）∠BAD=
=
；
（3）∠AFB=
=9
0°；
CE
BC
∠CAD
∠BAC
∠AFC
课堂小结
三角形的
重要线段
概念
图形
符号语言
三角形
的高线
从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线,顶点和垂足之间的线段
∵AD是△ABC的BC上的高线.
∴AD⊥BC
∠ADB=∠ADC=90°.
三角形
的中线
三角形中,连结一个顶点和它对边中点的线段
∵
AD是△ABC的中线.
∴
BD=CD=
?BC.
三角形的
角平分线
三角形一个内角的平分线与它的对边相交,这个角顶点与交点之间的线段
∵.AD是△ABC的角平分线
∴
∠1=∠2=
?
∠BAC
1、三角形三条高线的交点叫做三角形的垂心.
2、三角形三条中线的交点叫做三角形的重心.
3、三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心.
当堂练习
1．下列说法正确的是
（　　）
A．三角形三条高都在三角形内
B．三角形三条中线相交于一点
C．三角形的三条角平分线可能在三角形内，也可
能在三角形外
D．三角形的角平分线是射线
B
2．在△ABC中，AD为中线，BE为角平分线，则在以下等式中：①∠BAD=∠CAD；②∠ABE=∠CBE；③BD=DC；④AE=EC．其中正确的是
（　　）
A．①②
B．③④
C．①④
D．②③
D
3.如图，△ABC中∠C=90°，CD⊥AB，图中线段中可以作为△ABC的高的有
（　　）
A．2条
B．3条
C．4条
D．5条
4.下列各组图形中，哪一组图形中AD是△ABC
的BC边上的高
(
)
A
D
C
B
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D
B
D
5.填空：
（1）如图①，AD,BE,CF是△ABC的三条中线，则
AB=
2＿＿,BD=
＿＿，AE=
＿＿
(2)如图②，AD,BE,CF是△ABC的三条角平分线，则∠1=
＿＿，
∠3=_________，
∠ACB=2______.
图①
图②
AF
DC
∠2
2∠4
AC
∠ABC
6.在ΔABC中,CD是中线,已知BC－AC=5cm,ΔDBC
的周长为25cm,求ΔADC的周长.
A
D
B
C
解：∵CD是△ABC的中线，
∴BD＝AD，
∴△DBC的周长＝BC＋BD＋CD＝25cm，
则BD+CD＝25－BC.
∴△ADC的周长＝AD＋CD＋AC
＝BD＋CD＋AC
＝25-BC＋AC
＝25－(BC－AC)＝25－5＝20cm.
7.如图,AE是
△ABC的角平分线.已知∠B=45°,
∠C=60°,求∠BAE和∠AEB的度数.
A
B
C
E
解：∵ＡE是△ABC的角平分线，
∵
∠BAC+∠B+∠C=180°,
∴∠BAC=180°－∠B－∠C=180°－45°－60°=75°，∴∠BAE=37.5°.
∵∠AEB=∠CAE+∠C，∠CAE=∠BAE=37.5°，
∴∠AEB=37.5°+60°=97.5°.
∴∠CAE=∠BAE=
∠BAC.
8.如图，在△ABC中，AD是△ABC的高，AE是
△ABC的角平分线，已知∠BAC=82°，∠C=40°，
求∠DAE的大小.
解：
∵
AD是△ABC的高，
∴∠ADC＝90°.
∵
∠ADC+∠C+∠DAC=180°，
∴
∠DAC=180°－(∠ADC+∠C
)
=180°－90°－40°=50°.
∵AE是△ABC的角平分线，且∠BAC=82°，
∴∠CAE=41°，
∴∠DAE=∠DAC－∠CAE=50°－41°=
9°.
B
A
C
D
E
课堂小结
三角形重要线段
高
钝角三角形两短边上的高的画法
中线
会把原三角形面积平分
一边上的中线把原三角形分成两个三角形，这两个三角形的周长差等于原三角形其余两边的差
角平分线