北师大版数学八年级下册 第一章　三角形的证明 1.4 等边三角形的判定 同步练习（word版含答案）

第一章　三角形的证明 1.4 等边三角形的判定
1．下列说法不正确的是(　　)
A．有两个角分别为60°的三角形是等边三角形
B．顶角为60°的等腰三角形是等边三角形
C．底角为60°的等腰三角形是等边三角形
D．有一个角为60°的三角形是等边三角形
2．三角形的三边长分别为a、b、c，它们满足(a－b)2＋|b－c|＝0，则该三角形是(　　)
A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形
3．在下列三角形中：①三边都相等的三角形；②有一个角是60°且是轴对称的三角形；③三个外角(每个顶点处各取1个外角)都相等的三角形；④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．其中是等边三角形的有(　　)
A．①②③　　B．①②④　　C．①③　　 D．①②③④
4. 如图，将一个有45°角的三角板的直角顶点放在一张宽为3cm的长方形纸带边沿上，另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30°角，则三角板最大边的长为(　　)
A．3cm　 B．6cm　 C．3cm　 D．6cm
5. 如图，已知∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP＝12，点M、N在边OB上，PM＝PN，若MN＝2，则OM等于(　　)
A．3 B．4 C．5 D．6
6. 如图，△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝60°，BD平分∠ABC，若AD＝6，则CD＝ .
7．如图，一棵大树在一次强台风中从距离地面5米处折断倒下，倒下部分与地面成30°夹角，这棵大树在折断前的高度为 米．
8. 有一个角等于 的等腰三角形是等边三角形．
9. 在△ABC中，∠A＝60°，要使△ABC是等边三角形，则需添加的一个条件是 .
10. 在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的 ．
11. 如图，△ABC是等边三角形，AD⊥BC，DE⊥AB，垂足分别为D、E，如果AB＝8cm，则BE＝ cm.
12．如图，这是某超市自动扶梯的示意图，大厅两层之间的距离h＝6.5米，自动扶梯的倾角为30°，若自动扶梯运行速度为v＝0.5米/秒，则顾客乘自动扶梯上一层楼的时间为 秒．
13. 在△ABC中，AB＝AC＝4cm，∠B＝30°，则S△ABC＝ cm2.
14. 如图AC＝BC＝10cm，∠B＝15°，AD⊥BC于D，求AD的长。
15. 如图，在等边△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，点D，E在BC边上，且OD∥AB，OE∥AC.
试判定△ODE的形状，并说明你的理由.
16. 如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是BC的中点，AB平分∠DAE，AE⊥BE，垂足为E.若BE∥AC，试判断△ABC的形状，并说明理由．
17. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是△ABC的高，∠A＝30°，AB＝4，求BD的长．
18. 如图，在△ABC中，D为AC边上的一点，DE⊥AB于点E，ED的延长线交BC的延长线于点F，CD＝CF，且∠F＝30°.求证：△ABC是等边三角形．
19. 如图，已知△ABC是等边三角形，AE＝CD，AD与BE相交于点Q，BP⊥AD于点P，求证：BQ＝2PQ.
20. (1)已知△ABC是等腰三角形，其底边是BC，点D在线段AB上，E是直线BC上一点，且∠DEC＝∠DCE.若∠A＝60°(如图①)，求证：EB＝AD；
(2)若将(1)中的“点D在线段AB上”改为“点D在线段AB的延长线上”，其他条件不变(如图②)，那么(1)中的结论是否成立？并说明理由．
答案;
1---5 DCDDC
6. 3
7. 15
8. 60°
9. AB＝AC或∠B＝∠C
10. 一半
11. 2
12. 26
13. 4
14. 由AC＝BC，得∠B＝∠BAC＝15°，所以∠ACD＝30°，所以AD＝AC.
得AD=5cm
15. 解：△ODE是等边三角形．理由如下：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°.∵OD∥AB，OE∥AC，∴∠ODE＝∠ABC＝60°，
∠OED＝∠ACB＝60°，∴∠DOE＝60°，∴△ODE是等边三角形．
16. 解：△ABC是等边三角形．理由如下：∵AB＝AC，D是BC的中点，
∴∠BAD＝∠CAD.∵AB平分∠DAE，∴∠EAB＝∠DAB，
∴∠EAB＝∠BAD＝∠CAD.∵BE⊥AE，BE∥AC，∴∠CAE＝180°－∠E＝90°，∴∠EAB＋∠BAD＋∠CAD＝90°，∴∠EAB＝∠BAD＝∠CAD＝30°，
∴∠BAC＝60°.又∵AB＝AC，∴△ABC是等边三角形．
17. 解：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝4，
∴BC＝AB＝×4＝2.∵CD是△ABC的高，∴∠CDB＝∠ACB＝90°，∵∠B＝60°，∴∠BCD＝∠A＝30°，在Rt△BCD中，BD＝BC＝×2＝1.
18. 证明：∵CD＝CF，∴∠CDF＝∠F＝30°，
∴∠ACB＝∠F＋∠CDF＝60°.∵DE⊥AB，∴∠A＋∠ADE＝90°，
∠B＋∠F＝90°，∵∠CDF＝∠ADE＝∠F，∴∠A＝∠B＝60°，
∴△ABC为等边三角形．
19. 证明：∵在△ABQ中，∴∠BAQ＋∠QBA＝∠BQD.∵△ABC是等边三角形，∴∠ACD＝∠BAC，AB＝AC，∠BAC＝60°.∵AE＝CD，AB＝AC，∠ACD＝∠BAC，∴△ACD≌△BAE，∴∠DAC＝∠EBA.∵∠BAD＋∠DAC＝∠BAC，
∠BAQ＋∠QBA＝∠BQD，∵∠DAC＝∠EBA，∠BAD＝∠BAQ，
∴∠BAC＝∠BQD＝60°.∵BP⊥AD，∴∠BPQ＝90°.∵∠BQP＝60°，
∴∠QBP＝30°，∴BQ＝2PQ.
20. (1)证明：过点D作DF∥BC交AC于F，则∠ADF＝∠ABC，∠AFD＝∠ACB，∠FDC＝∠DCE.∵△ABC是等腰三角形，∠A＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，∴∠DBE＝120°，∠ADF＝∠AFD＝60°＝∠A，
∴△ADF是等边三角形，∠DFC＝120°，AD＝DF.∵∠DEC＝∠DCE，
∴∠FDC＝∠DEC，ED＝CD.在△DBE和△CFD中，，∴△DBE≌△CFD(AAS)，∴EB＝DF，∴EB＝AD；　
(2)解：EB＝AD成立．理由如下：过点D作DG∥BC交AC的延长线于点G.易证得△ABC和△ADG均为等边三角形，∴AD＝DG，同(1)得∠GDC＝∠ECD＝∠DEC，ED＝CD，∠DBE＝∠DGC＝60°.在△DBE和△CGD中，，
∴△DBE≌△CGD(AAS)，∴EB＝DG，∴EB＝AD.