北师大版八年级下册数学 1.1等腰三角形 同步测试 (word含解析)

1.1等腰三角形
同步测试
一．选择题
1．等腰三角形的一边长为4cm，另一边长为9cm，则它的周长为（　　）
A．13
cm
B．17
cm
C．22
cm
D．17
cm或22
cm
2．等腰三角形的周长为16cm且三边均为整数，底边可能的取值有（　　）个．
A．1
B．2
C．3
D．4
3．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD平分∠ABC交AC于D，CE平分∠ACB交BD于E，图中等腰三角形的个数是（　　）
A．3
个
B．4
个
C．5
个
D．6
个
4．在平面直角坐标系中，已知点P（2，3），点Q在y轴上，△PQO是等腰三角形，则满足条件的Q点有（　　）
A．2个
B．3个
C．4个
D．5个
5．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝AN，BC＝BM，则∠MCN＝（　　）
A．30°
B．45°
C．60°
D．55°
6．等腰三角形的底角是顶角的2倍，则底角度数为（　　）
A．36°
B．32°
C．64°
D．72°
7．如图，△ABC中，AB＝AC，∠B＝70°，AD为中线，AD＝AE，点E在AC上，则∠EDC度数为（　　）
A．20°
B．10°
C．40°
D．15°
8．等腰三角形的两边为a，b，且满足|a﹣3|+（6﹣b）2＝0，那么它的周长为（　　）
A．12
B．15
C．12或15
D．15
9．如果等腰三角形的周长20cm，那么这个等腰三角形腰长x的取值范围是（　　）
A．x≥5cm
B．5cm≤x＜10cm
C．x＜10cm
D．5cm＜x＜10cm
10．如图所示，AB＝AC，D，E分别是边BC和AC上的点，且AD＝AE，若∠EDC＝30°，则∠BAD＝（　　）
A．50
B．60
C．70°
D．80°
二．填空题
11．等腰△ABC，AB＝AC，AD平分∠BAC交BC于D，如果BC＝6，则BD＝　
　．
12．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD是△ABC的角平分线，CD＝2，则BC＝　
　．
13．已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为50°，则等腰三角形的顶角度数为　
　．
14．如图，B在AC上，D在CE上，AD＝BD＝BC，∠ACE＝25°，∠ADE＝　
　度．
15．如图，在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝120°，E为AB上一点，∠DCE＝∠DAE＝60°，AD＝2.4，BE＝7，则DE＝　
　．
三．解答题（共3小题）
16．如图，AD是等边△ABC的中线，AE＝AD，求∠EDC的度数．
17．如图所示，在△ABC中．AB＝AC．∠A＝36°，DE垂直平分AB交AC于点D，垂足为点E，求证：AD＝BC．
18．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝1．将三角板中30°角的顶点D放在AB边上移动，使这个30°角的两边分别与△ABC的边AC，BC相交于点E，F，且使DE始终与AB垂直．
（1）求证：△BDF是等边三角形；
（2）若移动点D使EF∥AB时，求AD的长．
参考答案
一．选择题
1．解：①当腰为4cm时，三边为4cm，4cm，9cm，
∵4+4＜9，
∴不符合三角形的三边关系定理，此种情况舍去；
②当腰为9cm时，三边为4cm，9cm，9cm，
此时符合三角形的三边关系定理，
此时等腰三角形的周长是4cm+9cm+9cm＝22cm
故选：C．
2．解：设底边为xcm，根据题意得腰为整数，
∵能构成三角形，
∴x＜16﹣x，x＜8
∴x可取2，4，6．
故选：C．
3．解：∵AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形．
∵∠A＝36°，
∴∠C＝∠ABC＝72°．
∵BD平分∠ABC交AC于D，
∴∠ABD＝∠DBC＝36°，
∵∠A＝∠ABD＝36°，
∴△ABD是等腰三角形．
∵∠BDC＝∠A+∠ABD＝72°＝∠C，
∴△BDC是等腰三角形．
∵∠EBC＝∠ECB＝36°，
∴△BCE是等腰三角形，
∵∠DEC＝∠EBC+∠ECB＝72°＝∠EDC，
∴△CDE是等腰三角形，
∴共有5个等腰三角形．
故选：C．
4．解：如图所示，分别以O、P为圆心，PO长为半径画弧，与y轴的交点Q1，Q2，Q3符合题意；作PO的垂直平分线，与y轴的交点Q4符合题意，
故选：C．
5．解：设∠BMC＝x，∠ANC＝y．
∵BC＝BM，
∴∠BCM＝∠BMC＝x，∠B＝180°﹣2x．
∵AC＝AN，
∴∠ACN＝∠ANC＝y，∠A＝180°﹣2y．
∵△ABC为直角三角形，∠ACB＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
∴180°﹣2y+180°﹣2x＝90°，
∴x+y＝135°，
∴∠BCM+∠ACN＝135°，
∴∠MCN＝∠BCM+∠ACN﹣∠ACB＝135°﹣90°＝45°．
故选：B．
6．解：设等腰三角形的顶角度数为x，
∵等腰三角形的底角是顶角的2倍，
∴底角度数为2x，
根据三角形内角和定理得：x+2x+2x＝180°，
解得x＝36°，
则底角的度数为72°．
故选：D．
7．解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝70°，
∴∠BAC＝180°﹣70°﹣70°＝40°，
∵AB＝AC，AD为中线，
∴∠DAC＝∠BAC＝20°，
∵AD＝AE，
∴∠AED＝∠ADE＝（180°﹣20°）＝80°，
∵∠AED＝∠EDC+∠C，
∴∠EDC＝80°﹣70°＝10°，
故选：B．
8．解：因为|a﹣3|+（6﹣b）2＝0，所以a＝3，b＝6．
又因为是等腰三角形，所以三边长为6，6，3或3，3，6（不满足三角形构造条件，舍去）
所以周长为6+6+3＝15．
故选：B．
9．解：∵等腰三角形的腰长为xcm，周长20cm，
∴底边为（20﹣2x）cm，
∴20﹣2x＞0且2x＞20﹣2x，
解得
x＜10且x＞5．
∴腰长x的取值范围是
5cm＜x＜10cm．
故选：D．
10．解：由三角形外角的性质可知，∠AED＝∠EDC+∠C，∠ADC＝∠B+∠BAD，
∵AD＝AE，
∴∠AED＝∠ADE，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵∠ADC＝∠B+∠BAD，
∴∠B+∠BAD＝∠EDC+∠C+∠EDC，
即∠BAD＝2∠EDC，
∵∠EDC＝30°，
∴∠BAD＝60°．
故选：B．
二．填空题
11．解：∵AB＝AC，AD平分∠BAC，
∴BD＝CD＝BC＝3，
故答案为：3．
12．解：作DE⊥AB于E，
∵AD是△ABC的角平分线，∠C＝90°，DE⊥AB，
∴DE＝CD＝2，
∵DE⊥AB，∠B＝30°，
∴BD＝2DE＝4，
∴BC＝CD+BD＝6，
故答案为：6．
13．解：①当为锐角三角形时，如图1，
∵∠ABD＝50°，BD⊥AC，
∴∠A＝90°﹣50°＝40°，
∴三角形的顶角为40°；
②当为钝角三角形时，如图2，
∵∠ABD＝50°，BD⊥AC，
∴∠BAD＝90°﹣50°＝40°，
∵∠BAD+∠BAC＝180°，
∴∠BAC＝140°
∴三角形的顶角为140°，
故答案为40°或140°．
14．解：∵BD＝BC，∠ACE＝25°
∴∠BDC＝∠C＝25°
∴∠ABD＝50°
∵AD＝BD
∴∠A＝∠ABD＝50°
∴∠ADE＝∠A+∠C＝75°．
故填75．
15．解：如图，在AB上截取BF＝AD，连接CF，
∵CA＝CB，∠ACB＝120°，
∴∠CAB＝∠CBA＝30°，
∵∠DAE＝60°
∴∠DAC＝∠DAE﹣∠CAB＝30°
∴∠DAC＝∠CBA，且AD＝BF，AC＝BC
∴△ADC≌△BFC（SAS）
∴∠ACD＝∠BCF，CD＝CF，
∵∠ACB＝∠ACE+∠ECF+∠BCF＝∠ACE+∠ECF+∠ACD＝∠DCE+∠ECF＝120°
∴∠ECF＝60°＝∠DCE，且CE＝CE，DC＝CF
∴△DCE≌△FCE（SAS）
∴DE＝EF
∴DE＝BE﹣BF＝BE﹣AD＝7﹣2.4＝4.6，
故答案为4.6．
三．解答题（共3小题）
16．解：∵AD是等边△ABC的中线，
∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD＝∠BAC＝×60°＝30°，
∴∠ADC＝90°，
∵AD＝AE，
∴∠ADE＝∠AED＝＝75°，
∴∠EDC＝∠ADC﹣∠ADE＝90°﹣75°＝15°．
17．证明：∵△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，
∴∠ABC＝72°，
∵DE是线段AC的垂直平分线，
∴AD＝CD，
∴∠A＝∠ACD＝36°，
∴∠CDB＝∠A+∠ACD＝72°，
∴∠CDB＝∠B，
∴CD＝BC，
∴AD＝BC．
18．（1）证明：∵∠A＝30°，∠ACB＝90°，
∴∠B＝60°，
∵DE⊥AB，
∴∠EDB＝90°，
∵∠EDF＝30°，
∴∠FDB＝60°＝∠B，
∴DF＝BF，
∴△BDF是等边三角形；
（2）解：∵EF∥AB，DE⊥AB，
∴EF⊥DE，
∴∠DEF＝90°，
∵∠EDF＝30°，
∴DF＝2EF，DE＝EF，
设EF＝x，则DE＝x，DF＝2x，
∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝1，
∴AB＝2BC＝2，
∵△BDF是等边三角形，
∴DF＝BF＝BD＝2x，
∴AD＝AB﹣BD＝2﹣2x，
在Rt△ADE中，∠ADE＝90°，∠A＝30°，
∴AD＝DE，
即2﹣2x＝?x，
解得：x＝，
∴AD＝2﹣2×＝．