必修4 2.3平面向量基本定理及坐标表示（Word解析版）

平面向量的基本定理及坐标表示
一、知识梳理
1.平面向量的基本定理
如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.
2.平面向量的正交分解
把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.
3.平面向量的坐标运算
(1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则
a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝.
(2)向量坐标的求法
①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标.
②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，||＝.
4.平面向量共线的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b?x1y2－x2y1＝0.
小结：
1.若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)且a＝b，则x1＝x2且y1＝y2.
2.若a与b不共线，λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0.
3.向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的相对位置有关系.两个相等的向量，无论起点在什么位置，它们的坐标都是相同的.
二、例题精讲
+
随堂练习
1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底.(　　)
(2)同一向量在不同基底下的表示是相同的.(　　)
(3)设a，b是平面内的一组基底，若实数λ1，μ1，λ2，μ2满足λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.(　　)
(4)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件可以表示成＝.(　　)
解析　(1)共线向量不可以作为基底.
(2)同一向量在不同基底下的表示不相同.
(4)若b＝(0，0)，则＝无意义.
答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)×
2.下列各组向量中，可以作为基底的是(　　)
A.e1＝(0，0)，e2＝(1，－2)
B.e1＝(－1，2)，e2＝(5，7)
C.e1＝(3，5)，e2＝(6，10)
D.e1＝(2，－3)，e2＝
解析　两个不共线的非零向量构成一组基底，故选B.
答案　B
3.设P是线段P1P2上的一点，若P1(1，3)，P2(4，0)且P是线段P1P2的一个三等分点(靠近点P1)，则点P的坐标为(　　)
A.(2，2)
B.(3，－1)
C.(2，2)或(3，－1)
D.(2，2)或(3，1)
解析　由题意得＝且＝(3，－3).
设P(x，y)，则(x－1，y－3)＝(1，－1)，
∴x＝2，y＝2，则点P(2，2).
答案　A
4.(2015·全国Ⅰ卷)已知点A(0，1)，B(3，2)，向量＝(－4，－3)，则向量＝(　　)
A.(－7，－4)
B.(7，4)
C.(－1，4)
D.(1，4)
解析　根据题意得＝(3，1)，∴＝－＝(－4，－3)－(3，1)＝(－7，－4)，故选A.
答案　A
5.(2017·山东卷)已知向量a＝(2，6)，b＝(－1，λ)，若a∥b，则λ＝________.
解析　∵a∥b，∴2λ＋6＝0，解得λ＝－3.
答案　－3
6.(2019·苏州月考)已知?ABCD的顶点A(－1，－2)，B(3，－1)，C(5，6)，则顶点D的坐标为________.
解析　设D(x，y)，则由＝，得(4，1)＝(5－x，6－y)，即解得
答案　(1，5)
考点一　平面向量基本定理及其应用
【例1】
(1)(2019·衡水中学调研)一直线l与平行四边形ABCD中的两边AB，AD分别交于点E，F，且交其对角线AC于点M，若＝2，＝3，＝λ－μ(λ，μ∈R)，则μ－λ＝(　　)
A.－
B.1
C.
D.－3
解析　(1)＝λ－μ＝λ－μ(＋)
＝(λ－μ)－μ＝2(λ－μ)－3μ.
因为E，M，F三点共线，所以2(λ－μ)＋(－3μ)＝1，
即2λ－5μ＝1，∴μ－λ＝－.
(2)(2019·北京海淀区调研)在△ABC中，D为三角形所在平面内一点，且＝＋.延长AD交BC于E，若＝λ＋μ，则λ－μ的值是________.
解析：(2)设＝x，∵＝＋，
∴＝＋.
由于E，B，C三点共线，∴＋＝1，x＝.
根据平面向量基本定理，得λ＝，μ＝.
因此λ－μ＝－＝－＝－.
答案　(1)A　(2)－
【训练1】
(1)(2019·济南质检)在△ABC中，＝，若P是直线BN上的一点，且满足＝m＋，则实数m的值为(　　)
A.－4
B.－1
C.1
D.4
解析　(1)根据题意设＝n(n∈R)，则＝＋＝＋n＝＋n(－)＝＋n＝(1－n)＋.
又＝m＋，∴解得
(2)在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A，B，C三点满足＝＋，则＝________.
解析：(2)因为＝＋，所以－＝－＋＝(－)，
所以＝，所以＝.
考点二　平面向量的坐标运算
【例2】
(1)设A(0，1)，B(1，3)，C(－1，5)，D(0，－1)，则＋等于(　　)
A.－2
B.2
C.－3
D.3
(2)向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则＝(　　)
A.1
B.2
C.3
D.4
解析　(1)由题意得＝(1，2)，＝(－1，4)，＝(0，－2)，所以＋＝(0，6)＝－3(0，－2)＝－3.
(2)以向量a和b的交点为原点建立如图所示的平面直角坐标系(设每个小正方形边长为1)，
则A(1，－1)，B(6，2)，C(5，－1)，
∴a＝＝(－1，1)，b＝＝(6，2)，c＝＝(－1，－3)，
∵c＝λa＋μb，∴(－1，－3)＝λ(－1，1)＋μ(6，2)，
则解得λ＝－2，μ＝－，∴＝＝4.
答案　(1)C　(2)D
【训练2】
(1)已知O为坐标原点，点C是线段AB上一点，且A(1，1)，C(2，3)，||＝2||，则向量的坐标是________.
解析　(1)由点C是线段AB上一点，||＝2||，得＝－2.
设点B为(x，y)，则(2－x，3－y)＝－2(1，2).
则解得
所以向量的坐标是(4，7).
(2)(2019·天津和平区一模)如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，AD⊥DC，AD＝DC＝2AB，E为AD的中点，若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值为(　　)
A.
B.
C.2
D.
解析：(2)建立如图所示的平面直角坐标系，则D(0，0).
不妨设AB＝1，则CD＝AD＝2，所以C(2，0)，A(0，2)，B(1，2)，E(0，1)，
∴＝(－2，2)，＝(－2，1)，＝(1，2)，
∵＝λ＋μ，∴(－2，2)＝λ(－2，1)＋μ(1，2)，
∴解得则λ＋μ＝.
答案　(1)(4，7)　(2)B
考点三　平面向量共线的坐标表示
角度1　利用向量共线求向量或点的坐标
【例3－1】
已知点A(4，0)，B(4，4)，C(2，6)，则AC与OB的交点P的坐标为________.
解析　法一　由O，P，B三点共线，可设＝λ＝(4λ，4λ)，则＝－＝(4λ－4，4λ).
又＝－＝(－2，6)，
由与共线，得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0，
解得λ＝，所以＝＝(3，3)，
所以点P的坐标为(3，3).
法二　设点P(x，y)，则＝(x，y)，因为＝(4，4)，且与共线，所以＝，即x＝y.
又＝(x－4，y)，＝(－2，6)，且与共线，
所以(x－4)×6－y×(－2)＝0，解得x＝y＝3，所以点P的坐标为(3，3).
答案　(3，3)
角度2　利用向量共线求参数
【例3－2】
(1)(2018·全国Ⅲ卷)已知向量a＝(1，2)，b＝(2，－2)，c＝(1，λ).若c∥(2a＋b)，则λ＝________.
(2)已知向量a＝(2，3)，b＝(－1，2)，若ma＋nb与a－3b共线，则＝________.
解析　(1)由题意得2a＋b＝(4，2)，因为c＝(1，λ)，且c∥(2a＋b)，所以4λ－2＝0，即λ＝.
(2)由≠，所以a与b不共线，
又a－3b＝(2，3)－3(－1，2)＝(5，－3)≠0.
那么当ma＋nb与a－3b共线时，
有＝，即得＝－.
答案　(1)　(2)－
【训练3】
(1)(2019·北师大附中检测)已知向量a＝(1，1)，点A(3，0)，点B为直线y＝2x上的一个动点，若∥a，则点B的坐标为________.
(2)设向量＝(1，－2)，＝(2m，－1)，＝(－2n，0)，m，n∈R，O为坐标原点，若A，B，C三点共线，则m＋n的最大值为(　　)
A.－3
B.－2
C.2
D.3
解析　(1)由题意设B(x，2x)，则＝(x－3，2x)，
∵∥a，∴x－3－2x＝0，解得x＝－3，∴B(－3，－6).
(2)由题意易知，∥，其中＝－＝(2m－1，1)，＝－＝(－2n－1，2)，
所以(2m－1)×2＝1×(－2n－1)，得：2m＋1＋2n＝1.
2m＋1＋2n≥2，所以2m＋n＋1≤2－2，即m＋n≤－3.
答案　(1)(－3，－6)　(2)A
三、课后练习
1.如图，在△ABC中，＝，＝，若＝λ＋μ，则λ＋μ的值为(　　)
A.
B.
C.
D.
解析　＝＋＝＋＝＋(－)＝＋×＝＋.
因为＝λ＋μ，所以λ＝，μ＝，则λ＋μ＝＋＝.
答案　A
2.给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为90°，如图所示，点C在以O为圆心的圆弧上运动，若＝x＋y，其中x，y∈R，则x＋y的最大值是(　　)
A.1
B.
C.
D.2
解析　因为点C在以O为圆心的圆弧上，
所以||2＝|x＋y|2＝x2＋y2＋2xy·＝x2＋y2，
∴x2＋y2＝1，则2xy≤x2＋y2＝1.
又(x＋y)2＝x2＋y2＋2xy≤2，
故x＋y的最大值为.
答案　B
3.已知||＝1，||＝，·＝0，点C在∠AOB内，且与的夹角为30°，设＝m＋n(m，n∈R)，则的值为________.
解析　∵·＝0，∴⊥，
以OA为x轴，OB为y轴建立直角坐标系，
＝(1，0)，＝(0，)，＝m＋n＝(m，n).
∵tan
30°＝＝，
∴m＝3n，即＝3.
答案　3
4.在△ABC中，点D满足＝，当点E在线段AD上移动时，若＝λ＋μ，则t＝(λ－1)2＋μ2的最小值是________.
解析　因为＝，所以＝＋.
又＝λ＋μ，点E在线段AD上移动，
所以∥，则＝，即λ＝μ.
所以t＝(λ－1)2＋λ2＝2λ2－2λ＋1＝2＋.
当λ＝时，t的最小值是.
答案　
5.直角△ABC中，AB＝AC＝2，D为AB边上的点，且＝2，则·＝________；若＝x＋y，则xy＝________.
解析　以A为原点，分别以，的方向为x轴、y轴的正方向建立平面直角坐标系，则A(0，0)，B(2，0)，C(0，2)，D，则＝，＝(0，－2)，＝(2，－2)，则·＝·(0，－2)＝×0＋(－2)×(－2)＝4.由＝x＋y＝x(0，－2)＋y(2，－2)＝(2y，－2x－2y)＝得解得则xy＝.
答案　4