必修5 2.1数列的概念及简单表示法（Word解析版）

数列的概念及简单表示法
一、知识梳理
1.数列的定义
按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项.
2.数列的分类
分类标准
类型
满足条件
项数
有穷数列
项数有限
无穷数列
项数无限
项与项
间的大
小关系
递增数列
an＋1＞an
其中n∈N
递减数列
an＋1＜an
常数列
an＋1＝an
摆动数列
从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列
3.数列的表示法
数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和解析法.
4.数列的通项公式
(1)通项公式：如果数列{an}的第n项an与序号n之间的关系可以用一个式子an＝f(n)来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式.
(2)递推公式：如果已知数列{an}的第1项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式.
注意：
1.若数列{an}的前n项和为Sn，通项公式为an，则an＝
2.数列是按一定“次序”排列的一列数，一个数列不仅与构成它的“数”有关，而且还与这些“数”的排列顺序有关.
3.易混项与项数的概念，数列的项是指数列中某一确定的数，而项数是指数列的项对应的位置序号.
二、例题精讲
+
随堂练习
1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列.(　　)
(2)1，1，1，1，…，不能构成一个数列.(　　)
(3)任何一个数列不是递增数列，就是递减数列.(　　)
(4)如果数列{an}的前n项和为Sn，则对任意n∈N
，都有an＋1＝Sn＋1－Sn.(　　)
解析　(1)数列：1，2，3和数列：3，2，1是不同的数列.
(2)数列中的数是可以重复的，可以构成数列.
(3)数列可以是常数列或摆动数列.
答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√
2.在数列{an}中，a1＝1，an＝1＋(n≥2)，则a5等于(　　)
A.
B.
C.
D.
解析　a2＝1＋＝2，a3＝1＋＝，
a4＝1＋＝3，a5＝1＋＝.
答案　D
3.(必修5P33A5改编)根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式an＝________.
解析　由a1＝1＝5×1－4，a2＝6＝5×2－4，a3＝11＝5×3－4，…，归纳an＝5n－4.
答案　5n－4
4.(2019·山东省实验中学摸底)已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋1(n∈N
)，Sn为其前n项和，则S5的值为(　　)
A.57
B.61
C.62
D.63
解析　由条件可得a2＝2a1＋1＝3，a3＝2a2＋1＝7，a4＝2a3＋1＝15，a5＝2a4＋1＝31，所以S5＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝1＋3＋7＋15＋31＝57.
答案　A
5.(2018·北京朝阳区月考)数列0，1，0，－1，0，1，0，－1，…的一个通项公式an等于(　　)
A.
B.cos
C.cos
π
D.cos
π
解析　令n＝1，2，3，…，逐一验证四个选项，易得D正确.
答案　D
6.(2019·天津河东区一模)设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝，若a4＝32，则a1＝________.
解析　∵Sn＝，a4＝32，则a4＝S4－S3＝32.
∴－＝32，∴a1＝.
答案　
考点一　由数列的前几项求数列的通项
【例1】
(1)已知数列的前4项为2，0，2，0，则依此归纳该数列的通项不可能是(　　)
A.an＝(－1)n－1＋1
B.an＝
C.an＝2sin
D.an＝cos(n－1)π＋1
(2)已知数列{an}为，，－，，－，，…，则数列{an}的一个通项公式是________.
解析　(1)对n＝1，2，3，4进行验证，an＝2sin不合题意.
(2)各项的分母分别为21，22，23，24，…，易看出从第2项起，每一项的分子都比分母少3，且第1项可变为－，
故原数列可变为－，，－，，…，
故其通项公式可以为an＝(－1)n·.
答案　(1)C　(2)an＝(－1)n·
【训练1】
写出下列各数列的一个通项公式：
(1)－，，－，，…；
(2)，2，，8，，…；
(3)5，55，555，5
555，….
解　(1)这个数列的前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式是an＝(－1)n×，n∈N
.
(2)数列的各项，有的是分数，有的是整数，可将数列的各项都统一成分数再观察.即，，，，，…，分子为项数的平方，从而可得数列的一个通项公式为an＝.
(3)将原数列改写为×9，×99，×999，…，易知数列9，99，999，…的通项为10n－1，故所求的数列的一个通项公式为an＝(10n－1).
考点二　由an与Sn的关系求通项
【例2】
(1)(2019·广州质检)已知Sn为数列{an}的前n项和，且log2(Sn＋1)＝n＋1，则数列{an}的通项公式为________________.
(2)(2018·全国Ⅰ卷)记Sn为数列{an}的前n项和.若Sn＝2an＋1，则S6＝________.
解析　(1)由log2(Sn＋1)＝n＋1，得Sn＋1＝2n＋1，
当n＝1时，a1＝S1＝3；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n，
所以数列{an}的通项公式为an＝
(2)由Sn＝2an＋1，得a1＝2a1＋1，所以a1＝－1.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2an＋1－(2an－1＋1)，
得an＝2an－1.
∴数列{an}是首项为－1，公比为2的等比数列.
∴S6＝＝＝－63.
答案　(1)an＝　(2)－63
【训练2】
(1)已知数列{an}的前n项和Sn＝2n2－3n，则数列{an}的通项公式an＝________.
(2)已知数列{an}的前n项和Sn＝3n＋1，则数列的通项公式an＝________.
解析　(1)a1＝S1＝2－3＝－1，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n2－3n)－[2(n－1)2－3(n－1)]＝4n－5，
由于a1也适合上式，∴an＝4n－5.
(2)当n＝1时，a1＝S1＝3＋1＝4，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n＋1－3n－1－1＝2·3n－1.
显然当n＝1时，不满足上式.
∴an＝
答案　(1)4n－5　(2)
考点三　由数列的递推关系求通项
【例3】
(1)在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋ln，则an等于(　　)
A.2＋ln
n
B.2＋(n－1)ln
n
C.2＋nln
n
D.1＋n＋ln
n
(2)若a1＝1，nan－1＝(n＋1)an(n≥2)，则数列{an}的通项公式an＝________.
(3)若a1＝1，an＋1＝2an＋3，则通项公式an＝________.
(4)若数列{an}满足a1＝1，an＋1＝，则an＝________.
解析　(1)因为an＋1－an＝ln
＝ln(n＋1)－ln
n，所以a2－a1＝ln
2－ln
1，
a3－a2＝ln
3－ln
2，a4－a3＝ln
4－ln
3，an－an－1＝ln
n－ln(n－1)(n≥2).
把以上各式分别相加得an－a1＝ln
n－ln
1，则an＝2＋ln
n，且a1＝2也适合，
因此an＝2＋ln
n(n∈N
).
(2)由nan－1＝(n＋1)an(n≥2)，得＝(n≥2).所以an＝···…···a1
＝···…···1＝，又a1也满足上式，所以an＝.
(3)由an＋1＝2an＋3，得an＋1＋3＝2(an＋3).
令bn＝an＋3，则b1＝a1＋3＝4，且＝＝2.
所以{bn}是以4为首项，2为公比的等比数列.∴bn＝4·2n－1＝2n＋1，∴an＝2n＋1－3.
(4)因为an＋1＝，a1＝1，所以an≠0，所以＝＋，即－＝.
又a1＝1，则＝1，所以是以1为首项，为公差的等差数列.
所以＝＋(n－1)×＝＋＝.
所以an＝.
规律方法　由数列的递推关系求通项公式的常用方法
(1)已知a1，且an－an－1＝f(n)，可用“累加法”求an.
(2)已知a1(a1≠0)，且＝f(n)，可用“累乘法”求an.
(3)已知a1，且an＋1＝qan＋b，则an＋1＋k＝q(an＋k)(其中k可用待定系数法确定)，可转化为{an＋k}为等比数列.
(4)形如an＋1＝(A，B，C为常数)的数列，可通过两边同时取倒数的方法构造新数列求解.
【训练3】
(1)(2019·山东、湖北部分重点中学联考)已知数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝2，an＋1＝an＋2n－1＋1，则an＝________.
(2)若a1＝1，an＋1＝2nan，则通项公式an＝________.
解析　(1)a1＝2，an＋1＝an＋2n－1＋1?an＋1－an＝2n－1＋1?an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a3－a2)＋(a2－a1)＋a1，
则an＝2n－2＋2n－3＋…＋2＋1＋n－1＋a1
＝＋n－1＋2＝2n－1＋n.
(2)由an＋1＝2nan，得＝2n－1(n≥2)，
所以an＝··…··a1
＝2n－1·2n－2·…·2·1＝21＋2＋3＋…＋(n－1)＝2.
又a1＝1适合上式，故an＝2.
答案　(1)2n－1＋n　(2)2
考点四　数列的性质
【例4】
(1)数列{an}的通项an＝，则数列{an}中的最大项是(　　)
A.3
B.19
C.
D.
(2)数列{an}满足an＋1＝a1＝，则数列的第2
019项为________.
解析　(1)令f(x)＝x＋(x>0)，运用基本不等式得f(x)≥2，当且仅当x＝3时等号成立.因为an＝，所以≤，由于n∈N
，不难发现当n＝9或n＝10时，an＝最大.
(2)由已知可得，a2＝2×－1＝，a3＝2×＝，
a4＝2×＝，a5＝2×－1＝，
∴{an}为周期数列且T＝4，
∴a2
019＝a504×4＋3＝a3＝.
答案　(1)C　(2)
【训练4】
(1)已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝a－2an＋1(n∈N
)，则a2
020＝________.
(2)若an＝n2＋kn＋4且对于n∈N
，都有an＋1>an成立，则实数k的取值范围是________.
解析　(1)∵a1＝1，an＋1＝a－2an＋1＝(an－1)2，
∴a2＝(a1－1)2＝0，a3＝(a2－1)2＝1，a4＝(a3－1)2＝0，…，可知数列{an}是以2为周期的数列，∴a2
020＝a2＝0.
(2)由an＋1>an知该数列是一个递增数列，
又通项公式an＝n2＋kn＋4，所以(n＋1)2＋k(n＋1)＋4>n2＋kn＋4，即k>－1－2n.
又n∈N
，所以k>－3.
答案　(1)0　(2)(－3，＋∞)
三、课后练习
1.(2019·山东新高考适应性调研)“中国剩余定理”又称“孙子定理”.1852年，英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指出此法复合1801年由高斯得到的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”.“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1至2
018这2
018个数中，能被3除余1且被7除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列{an}，则此数列共有(　　)
A.98项
B.97项
C.96项
D.95项
解析　能被3除余1且被7除余1的数就只能是被21除余1的数，故an＝21n－20，由1≤an≤2
018得1≤n≤97，又n∈N
，故此数列共有97项.
答案　B
2.已知数列{an}的通项公式an＝(n＋2)·，则数列{an}的项取最大值时，n＝________.
解析　假设第n项为最大项，则
即
解得即4≤n≤5，
又n∈N
，所以n＝4或n＝5，
故数列{an}中a4与a5均为最大项，且a4＝a5＝.
答案　4或5
3.(2019·菏泽模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn＝(－1)n·an－，记bn＝8a2·2n－1，若对任意的n∈N
，总有λbn－1>0成立，则实数λ的取值范围为________.
解析　令n＝1，得a1＝－；
令n＝3，可得a2＋2a3＝；
令n＝4，可得a2＋a3＝，
故a2＝，即bn＝8a2·2n－1＝2n.
由λbn－1>0对任意的n∈N
恒成立，
得λ>对任意的n∈N
恒成立，
又≤，
所以实数λ的取值范围为.
答案　
4.已知数列{an}中，an＝1＋(n∈N
，a∈R且a≠0).
(1)若a＝－7，求数列{an}中的最大项和最小项的值；
(2)若对任意的n∈N
，都有an≤a6成立，求a的取值范围.
解　(1)∵an＝1＋(n∈N
，a∈R，且a≠0)，
又a＝－7，∴an＝1＋(n∈N
).
结合函数f(x)＝1＋的单调性，可知1>a1>a2>a3>a4，a5>a6>a7>…＞an>1(n∈N
).
∴数列{an}中的最大项为a5＝2，最小项为a4＝0.
(2)an＝1＋＝1＋，
已知对任意的n∈N
，都有an≤a6成立，
结合函数f(x)＝1＋的单调性，
可知5<<6，即－10即a的取值范围是(－10，－8).