湘教版（2012）初中数学九年级下册 1.2.2 二次函数的图象与性质 教案

1.2.1
二次函数的图像与性质
一．学习目标：
1、会用描点法画出y=ax2与
y=ax2+k的图象，理解抛物线的有关概念。
2、经历、探索二次函数y=ax2与
y=ax2+k的图象性质的过程，养成观察、思考、归纳的思维习惯。
二．学习重、难点：
重点：画形如y=ax2
与
y=ax2+k的二次函数的图象。
难点：用描点法画出二次函数y=ax2
与y=ax2+k的图象以及探索二次函数性质
三．教学过程：
（一）创设情境、导入新课：
复习提问：一次函数的图象是
，反比例函数的图象是
。
我们可以用研究一次函数性质的方法来研究二次函数的性质，应先研究二次函数的图象。
（二）自主探究、合作交流：
做一做：1．在同一直角坐标系中，画出函数y=x2
、y=2x2、y＝x2
的图
象。
x
…
－3
－2
－1
0
1
2
3
…
y=x2
…
9
4
1
0
1
4
9
…
y=2x2
…
…
y＝x2
…
…
讨论：观察并比较三个图象，你发现有什么共同点？又有什么区别?（小组讨论、交流结论）
结论：
。
想一想：函数y=－x2
、y=－2x2
y＝－x2的图象有什么共同点？又有什么区别?（结论：
。
结合上述二次函数的性质总结函数y=ax2的图象的性质：
1．函数y=ax2的图象是一条________，它关于______对称，它的顶点坐标是______。
2．当a>0时，抛物线y=ax2开口______，在对称轴的左边，曲线自左向右______；在对称轴的右边，曲线自左向右______，______是抛物线上位置最低的点；当a3．｜a｜越大，开口越
。
练一练
：分别写出函数y＝x2与
y＝－x2的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标。
做一做：2．
在同一直角坐标系中，画二次函数y=x2、y=x2+1、y=x2－1图象。
x
…
－3
－2
－1
0
1
2
3
…
y=x2
…
9
4
1
0
1
4
9
…
y=x2+1
…
10
5
2
1
2
5
10
…
y=x2－1
…
8
3
0
－1
0
3
8
…
讨论：
①抛物线y=x2+1，y=x2－1
的开口方向，对称轴，顶点坐标各是什么？
②抛物线与y=x2+1，
y=x2－1抛物线y=x2有什么关系？
③它们的位置关系由什么决定？
小组交流、讨论得出结论：①
抛物线
开口方向
对称轴
顶点坐标
y=x2
y=x2+1
y=x2－1
②把抛物线y=x2的图象向
平移
个单位，就得到抛物线y=x2+1
的图象，向
平移
个单位就得到y=x2－1的图象。③它们的位置是由
决定的。
猜想：当二次项系数小于0时和二次项系数的绝对值发生变化时，抛物线将发生怎样的变化？
交流结论：二次项系数小于0时，抛物线的开口向
，二次项系数的绝对值越
，开口越小，反之越大。
通过讨论和猜想，总结函数y=ax2+k的图象有哪些性质？
小组交流、讨论得出二次函数y=ax2+k的图象的性质：
①当a＞0时开口向
，当a＜0时开口向
。②对称轴是
。
③顶点坐标是
。④｜a｜越
，开口越小。
练一练：1．分别写出函数y＝x2，y＝x2＋2，y＝x2－2的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标。
2．分别通过怎样的平移，可以由抛物线y＝x2得到抛物线y＝x2＋2和y＝x2－2?
（三）小结：
1．抛物线y=ax2与
y=ax2+k的图象有哪些相同点与不同点？
抛物线y=ax2
①当a＞0时开口向
，当a＜0时开口向
。
②对称轴是
。
③顶点坐标是
。
④｜a｜越
，开口越小。
抛物线y=ax2+k
①当a＞0时开口向
，当a＜0时开口向
。
②对称轴是
。
③顶点坐标是
。
④｜a｜越
，开口越小。
1.2.2二次函数图像与性质
一.学习目标：
1．使学生能利用描点法画出二次函数y＝a(x—h)2的图象。
2．让学生经历二次函数y＝a(x－h)2
与
y=a(x－h)2＋k
性质探究的过程，理解函数y＝a(x－h)2与
y=a(x－h)2＋k的性质，
二.学习重点、难点：
重点：会用描点法画出二次函数y＝a(x－h)2的图象，理解二次函数y＝a(x－h)2与
y=a(x－h)2＋k的性质。
难点：理解二次函数y＝a(x－h)2与
y=a(x－h)2＋k的性质。
三.教学过程：
1．创设情境、导入新课：
问题：结合二次函数y＝－x2，y＝－x2－1的图象，回答：
(1)两条抛物线的位置关系。
(2)分别说出它们的对称轴、开口方向和顶点坐标。
(3)说出它们所具有的公共性质。
2．自主探究、合作交流
问题1：在同一直角坐标系中，画出二次函数y＝2x2与y＝2(x－1)2的图象。
1．完成下表填空。
x
…
－3
－2
－1
0
1
2
3
…
y＝2x2
y＝2(x－1)2
在直角坐标系中画出图象：
问题2：二次函数y＝2(x－1)2的图象与二次函数y＝2x2的
图象的开口方向、对称轴以及顶点坐标相同吗?这两个函数的图象之间有什么关系?
让学生分组讨论，交流合作，总结出结论：函数y＝2(x－1)2与y＝2x2的图象的开口方向
、对称轴和顶点坐标
；函数y＝2(x一1)2的图象的对称轴是
，顶点坐标是
；可以看作是函数y＝2x2的图象向
平移
个单位得到的。
由此可得二次函数y＝a(x－h)2的图象的性质是：
（1）a>0时，
开口向上，在对称轴左侧，y都随x的增大而减小，在对称轴右侧，y都随
x的增大而增大，当x=
时函数有最小值，是
；a<0时，
开口向下，在对称轴左侧，y都随x的增大而增大，在对称轴右侧，y都随
x的增大而减小，当x=
时函数有最大值，是
。
(2)对称轴是
，顶点坐标是
；
（3）二次函数y＝a(x－h)2的图象可以看作是把函数y=ax?的图象沿x轴整体
平移
个单位(当h>0时，向
平移;当h<0时，向
平移)。
问题3：说出函数y＝－x2，y＝－(x＋2)2和y＝－(x－2)2的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标。
问题4：函数y=2(x－1)2＋1图象与函数y=2(x－1)2图象有什么关系?
学生分组讨论，互相交流，得出结论：
函数y＝2(x－1)2＋1的图象可以看成是将函数y=2(x－1)2的图象向
平移
个单位得到的，也可以看成是将函数y=2x2的图象向
平移
个单位再向
平移
个单位得到的；对称轴是
，顶点坐标是
。
由此可得二次函数y=a(x－h)2＋k
的图象的性质：
（1）a>0时，
开口向上，在对称轴左侧，y都随x的增大而减小，在对称轴右侧，y都随
x的增大而增大，当x=
时函数有最小值，是
；a<0时，
开口向下，在对称轴左侧，y都随x的增大而增大，在对称轴右侧，y都随
x的增大而减小，当x=
时函数有最大值，是
。
(2)对称轴是
，顶点坐标是
；
（3）二次函数y=a(x－h)2＋k
的图象可以看作是把函数y=ax?的图象先沿x轴整体
平移
个单位(当h>0时，向
平移;当h<0时，向
平移)，再沿对称轴整体
平移
个单位
(当k>0时向
平移;当k<0时，向
平移)得到的。
问题5：已知抛物线y=4(x－3)2－16
．
（1）写出它的开口方向、对称轴、顶点坐标。（2）写出函数的增减性和函数的最值．
（三）尝试应用：
例：要修建一个圆形的喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，高度为，水柱落地处离中心，水管应多长？
分析：先建立如图直角坐标系：以池中心为坐标原点，水管所在的竖直方向为轴，水平方向
为轴建立直角坐标系，得到抛物线的解析式，因而求水管的长，即求
（四）巩固提高：
1、把抛物线
向左平移5个单位，再向下平移7个单位所得的
抛物线解析式是
2、已知s
=–(x+1)2–3，当x为
时，
取最
值为
。
3、一个二次函数的图象与抛物线
形状、开口方向相同，且顶点为
，那么这个函数的解析式是
（五）小结：
1、一般地，抛物线y＝a(x－h)2与
的图象特点相同；
2、二次函数的图象的上下平移，只影响二次函数
+k中k的值；左右平移，只影响h的值，抛物线的形状不变，所以平移时，可根据顶点坐标的改变，确定平移前、后的函数关系式及平移的路径．