6.1平面向量的概念-【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第二册同步讲义（机构专用）

6.1 平面向量的概念

1、向量的概念
有下列物理量：位移、路程、速度、速率、力、质量、密度，其中位移、速度、力都是既有大小又有方向的量．路程、速率、质量、密度都是只有大小的量．
平面向量是既有大小又有方向的量，向量不能比较大小．数量是只有大小没有方向的量，数量能比较大小．
2、向量的几何表示
有向线段是带有方向的线段，通常在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向．以A为起点，B为终点的有向线段记作．起点要写在终点的前面．
有向线段包含三个要素起点、方向、长度．
向量的有向线段表示方法：向量常用带箭头的线段表示 ，它的长短表示向量的大小，箭头的指向表示向量的方向．
向量也可以用黑体的字母表示，如a，b，c. 手写为。强调：箭头不能不写，否则表示数量．
向量的模: ||(或|a|)表示向量(或a)的大小，即长度(也称模)，长度为零的向量称为零向量，记作0，长度等于1个单位的向量称为单位向量．
3、共线向量与相等向量
平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，向量a与b平行，通常记作a∥b．
我们规定：零向量与任一向量平行，即对于任意向量a，都有0∥a．
相等向量是长度相等且方向相同的向量，a与b相等，记作a＝b．任意两个相等的非零向量，都可用一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关．
共线向量：任一组平行向量都可以移动到同一直线上，因此平行向量也叫做共线向量，也就是说，共线向量的方向相同或相反．若a与b共线，即a与b平行，记作a∥b．
题型一 平面向量的基本概念
例 1　下列命题中正确的是( )
A．有相同起点的两个非零向量不平行
B．单位向量都相等
C．以坐标平面上的定点A为起点的所有单位向量的终点P的集合是以A为圆心的单位圆
D．共线向量一定在同一条直线上
【答案】C
【分析】
根据平面向量的基本概念，对选项中的命题进行分析、判断真假性即可．
【详解】
在A中，向量的平行只与方向有关,与起点是否相同无关，故A错误；
在B中，单位向量的模相等，但方向不一定相同，故单位向量不一定相等，故B错误；
在C中，因为向量是单位向量，故，所以点P的集合是以A为圆心的单位圆，故C正确；
在D中，共线向量都平行于同一条直线或在同一条直线上，故D错误.
故选：C.
下列说法中错误的是 ( )
A．有向线段可以表示向量但不是向量，且向量也不是有向线段
B．若向量与不共线，则与都是非零向量
C．长度相等但方向相反的两个向量不一定共线
D．方向相反的两个非零向量必不相等.
【答案】C
【解析】
选项A中，有向线段是线段，因此位置是固定的，而向量是可自由平移的，但向量可用有向线段表示．故A正确．
选项B中，由于零向量与任意向量共线，所以向量与不共线时，则与都应是非零向量，故B正确．
选项C中，方向相反的两个向量一定共线，故C错误．
选项D中，由于两向量的方向相反，不管长度怎样，则两向量一定不相等．故D正确 ．
选C．
题型二 共线向量与平行向量
例 2　若，，则向量与向量( )
A．共线 B．不共线 C．共线且同向 D．不一定共线
【答案】D
【分析】
利用反例判断选项即可.
【详解】
已知，，若，则向量与向量可以不共线，当，则向量与向量共线.
故选：D
如图所示，四边形ABCD和BCED都是平行四边形,
（1）写出与相等的向量：
（2）写出与共线的向量：
【答案】(1)　(2) ，
【解析】
试题分析：
根据相等向量和平行向量的定义，结合几何图形的性质进行求解．
试题解析：
（1）与相等的向量有：；
（2）与共线的向量有：
题型三 模的应用
例 3　设点O是三角形ABC所在平面上一点，若，则点O是三角形ABC的________心．
【答案】外心
【解析】
由可得点到三角形各顶点的距离相等，所以点是三角形的外心
故答案为外心.
如图所示，在圆O中，向量是(　　)
A．有相同起点的向量 B．单位向量 C．模相等的向量 D．相等的向量
【答案】C
【解析】
故选C.
题型四 相等向量
例 4　已知x,y是实数,向量不共线,若,则________,________.
【答案】
【分析】
由向量不共线，则均不为零向量，再由得到方程组解得.
【详解】
解：因为向量不共线，
所以向量均不为零向量，
解得
故答案为：；
如图，在四边形ABCD中，若，则图中相等的向量是( )
A．与 B．与
C．与 D．与
【答案】D
【解析】
因为=，
所以四边形ABCD是平行四边形，
所以AC，BD互相平分，
所以=．
即与是相等的向量．选D．
题型五 平面向量的应用
例 5　已知飞机从甲地按北偏东30°的方向飞行2000km到达乙地，再从乙地按南偏东30°的方向飞行2000km到达丙地，再从丙地按西南方向飞行1000km到达丁地，问丁地在甲地的什么方向？丁地距甲地多远？
【答案】丁地在甲地的东南方向，距甲地1000km.
【详解】
如图所示，A、B、C、D分别表示甲地、乙地、丙地、丁地，依题意知，三角形ABC为正三角形，
∴AC＝2000km.
又∵∠ACD＝45°，CD＝1000，∴△ACD为直角三角形，
即AD＝1000km，∠CAD＝45°.
故丁地在甲地的东南方向，距甲地1000km.
一位模型赛车手遥控一辆赛车沿正东方向行进1米，逆时针方向转变α度，继续按直线向前行进1米，再逆时针方向转变α度，按直线向前行进1米，按此方法继续操作下去.
（1）按1∶100比例作图说明当α=45°时，操作几次时赛车的位移为零；
（2）按此法操作使赛车能回到出发点，α应满足什么条件？
【答案】见解析.
【解析】
试题分析：
（1）根据要求画出图形，由作出的图形可得操作的次数．（2）赛车若能回到出发点，则必须满足赛车经过多次方向转变后的位移为零．根据多边形的内角和定理求解可得结论．
试题解析：
（1）如图所示，操作8次后，赛车的位移为零；
（2）要使赛车能回到出发点，只需赛车的位移为零．
按（1）的方式作图，则所作图形是内角为的正多边形，
由多边形的内角和定理可得
，
解得，且．
故α应满足的条件为，且．
1、在下列结论中，正确的是______．(填序号)
(1)若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合；
(2)模相等的两个平行向量是相等的向量；
(3)若和都是单位向量，则；
(4)两个相等向量的模相等．
【答案】(4)
【详解】
若两个向量相等，则它们的起点和终点不一定相同；
模相等的两个平行向量是可以相等，也可以相反；
若和都是单位向量，则模相等
两个相等向量的模必相等，所以选（4）
2、在坐标平面上，把所有单位向量的起点平移到坐标系的原点，则它们的终点所构成的图形是________．
【答案】单位圆
【解析】
在坐标平面上，把所有单位向量的起点平移到坐标系的原点，则它们的终点所构成的图形是单位圆.
即答案为单位圆.
3、给出以下5个条件：
①；②；③与的方向相反；④或；⑤与都是单位向量．其中能使成立的是__________(填序号)．
【答案】①③④
【详解】
，能够使得 成立；
||，方向不一定相同或相反，不能使成立；
的方向相反，存在实数，使得，能够使得 成立；
或|，存在实数0，能够使得 成立；
⑤都是单位向量，方向不一定相同或相反，不能使成立；
其中能使成立的是①③④．
即答案为：①③④．
4、设O是正方形ABCD的中心，则①；②；③与共线；④.其中所有表示正确的序号为________．
【答案】①②③
【解析】
设是正方形的中心，则①，，因为与大小相等，方向相同，正确；
②，正确；
③与共线，正确；
④.错误，与大小相等，方向不同.
即答案为①②③
5、如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点，则以A，B，C，D，E，F这六个点中任意两点分别作为起点和终点的所有向量中，与向量方向相反的向量是________．
【答案】
【解析】
如图，在平行四边形中，分别是的中点，则以 这六个点中任意两点分别作为起点和终点的所有向量中，与向量方向相反的向量是.
即答案为.
6、给出下列命题：
①向量的大小是实数 ② 平行向量的方向一定相同 ③向量可以用有向线段表示 ④向量就是有向线段 . 正确的有 ______.
【答案】①③
【解析】
对于①，由向量的概念知正确；
对于②，平行向量的方向可以相反，故②不正确；
对于③，向量可用有向线段表示，但向量不是有向线段．故③正确；
对于④，有向线段不是向量，故④不正确．
综上可得①③正确．
答案：①③
7、给出下列命题：①若||=0,则=0；②若是单位向量，则||=1；③与不平行，则与都是非零向量. 其中真命题是 _______(填序号)
【答案】②③
【解析】
对于①，若||=0，则，而不是=0．故①不正确；
对于②，若是单位向量，则的长度为1，即||=1．故②正确．
对于③，由于零向量与任意向量平行，所以当与不平行时，则必有与都是非零向量．故③正确．
综上②③正确．
答案：②③
8、如图所示，四边形为正方形，为等腰直角三角形.
（1）图中与共线的向量有____________________；
（2）图中与相等的向量有_______________；
（3）图中与相等的向量有__________.
【答案】
【分析】
根据共线向量与向量的模长相等的定义，写出符合条件的向量即可．
【详解】
解：根据题意得，（1）图中与共线的向量为；
（2）图中与相等的向量为．
（3）图中与相等的向量有
9、如图所示菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于O点，∠DAB=60°，分别以A，B，C，D，O中的不同两点为始点与终点的向量中，
(1)写出与平行的向量.
(2)写出与模相等的向量.
【答案】(1)，，.(2)，，，，，，，，.
【解析】
试题分析：(1)由菱形的性质和平行向量的定义可知，与平行的向量有：，，.
(2)由菱形的性质及∠DAB=60°可知，与模相等的向量有：，，，，，，，，.
试题解析：(1)由菱形的性质和平行向量的定义可知，与平行的向量有：，，.
(2)由菱形的性质及可知，与模相等的向量有：，，，，，，，，.
10、如图，在矩形ABCD中，，M，N分别为边AB，CD的中点，在以A，B，C，D，M，N为起点和终点的所有有向线段表示的向量中，相等的向量共有多少对？
【答案】24对
【分析】
根据相等向量定义，分类讨论进行求解即可.
【详解】
解：相等的非零向量共有24对.
易知，则模为1的相等向量有18对，其中与同向的共有6对；与反向的也有6对；与同向的共有3对；与反向的也有3对.模为2的相等向量共有2对.模为的相等向量有4对.