6.2平面向量的运算-【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第二册同步讲义（机构专用）

6.2 平面向量的运算

1、向量的线性运算
向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律
加法 求两个向量和的运算　
三角形法则 平行四边形法则
(1)交换律：
(2)结合律：
减法 求与的相反向量的和的运算叫做与的差
三角形法则
数乘 求实数λ与向量的积的运算 ；当λ＞0时，的方向与的方向相同；当λ＜0时，的方向与的方向相反；当λ＝0时， ；；
2、向量加法的多边形法则
多个向量相加，利用三角形法则，应首尾顺次连接，表示从始点指向终点的向量，只关心始点、终点.
3、向量（）与共线的充要条件是：存在唯一一个实数，使
4、平面向量数量积的有关概念
（1）向量的夹角：已知两个非零向量a和b，记＝a，＝b，则∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a与b的夹角.
（2）数量积的定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，则a与b的数量积(或内积)a·b＝|a||b|cosθ.规定：零向量与任一向量的数量积为0，即0·a＝0.
（3）数量积的几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积
（4）两个向量a，b的夹角为锐角?a·b>0且a，b不共线；两个向量a，b的夹角为钝角?a·b<0且a，b不共线.
5、平面向量数量积的运算律
（1）a·b＝b·a(交换律).
（2）λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律).
（3）(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律).
6、平面向量数量积运算的常用公式
（1）(a＋b)·(a－b)＝a2－b2
（2）(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2
（3）(a－b)2＝a2－2a·b＋b2
题型一 平面向量的加减法
例 1　如图，在平行四边形中，下列结论中错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据向量的定义及运算法则一一分析选项正误即可.
【详解】
在平行四边形中,显然有,,故A,D正确;
根据向量的平行四边形法则,可知,故B正确;
根据向量的三角形法,,故C错误;
故选:C.
列四式不能化简为的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
根据向量的加法和减法运算，结合排除法，即可得答案；
【详解】
对B，，故B正确；
对C，，故C正确；
对D，，故D正确；
故选：A.
题型二 数乘运算
例 2　若，为已知向量，且，则_____________.
【答案】
【分析】
根据向量的数乘运算法则计算即可.
【详解】
∵，∴，化简得，
∴.
故答案为：.
化简：
（1）；
（2）；
（3）．
【详解】
（1）原式；
（2）原式；
（3）原式．
题型三 共线问题
例 3　在中，，且，则______.
【答案】4
【分析】
利用平面向量的线性运算，求得，由此求得的值.
【详解】
因为，所以，所以.
又，所以，所以.
故答案为：4
设是不共线的两个非零向量，己知，，若三点共线，则的值为( )
A．1 B．2 C．-2 D．-1
【答案】D
【解析】
【分析】
因为，故存在实数，使得，利用平面向量基本定理可得关于的方程组，从而可求.
【详解】
因为，故存在实数，使得，又，
所以，故，故选D.
题型四 投影问题
例 4　已知为一个单位向量，与的夹角是.若在上的投影向量为，则_____________.
【答案】4
【分析】
根据平面向量数量积定义,结合投影概念即可求解.
【详解】
为一个单位向量,与的夹角是
由平面向量数量积定义可得,
根据平面向量投影定义可得,
∴.
故答案为:4
设向量满足，，且，则向量在向量上的投影的数量为( )
A．1 B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据利用垂直数量积为0求得,再根据投影的公式代入求解即可.
【详解】
,
,
.
,,
向量在向量上的投影的数量为.
故选：D.
题型四 数量积
例 4　已知向量，，其中，，且，则向量和的夹角是__________．
【答案】
【分析】
利用得，可求出，从而求出向量和的夹角.
【详解】
∵，
∴，
解得:，

所以夹角为．
故答案为：
已知，为单位向量，，且，则________．
【答案】
【分析】
根据向量的夹角公式及数量积的运算计算即可求解.
【详解】
因为，
又，
所以，
故答案为：
题型五 向量与三角形形状
例 5　点是所在平面上一点，满足，则的形状是（ ）
A．等腰直角三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等边三角形
【答案】B
【分析】
根据平面向量的线性运算与模长公式，可以得出，由此可判断出的形状.
【详解】
点是所在平面上一点，满足，
则，可得，即，
等式两边平方并化简得，，
因此，是直角三角形.
故选：B.
在中，已知向量与满足且，则是( )
A．三边均不相同的三角形 B．直角三角形
C．等腰非等边三角形 D．等边三角形
【答案】D
【解析】
【分析】
和是两个单位向量，设＝，则是的平分线，由此可得，从而确定三角形是等腰三角形，再由，求出即可判断．
【详解】
设＝，∵和是两个单位向量，∴是的平分线，
由题意，∴是等腰三角形，
，即，∴，
∴是等边三角形，
故选：D．
题型六 “五心”问题
例 6　是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，，则点的轨迹一定经过的（ ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
【答案】B
【分析】
先根据、分别表示向量、方向上的单位向量，确定的方向与的角平分线一致，再由可得到，可得答案．
【详解】
解：、分别表示向量、方向上的单位向量，
的方向与的角平分线一致，
又，
，
向量的方向与的角平分线一致
点的轨迹一定经过的内心.
故选：B．
已知O为内一点，若分别满足①；②；③；④(其中为中，角所对的边).则O依次是的( )
A．内心、重心、垂心、外心 B．外心、垂心、重心、内心
C．外心、内心、重心、垂心 D．内心、垂心、外心、重心
【答案】B
1、如图所示，点O是正六边形ABCDEF的中心，则（ ）
A． B．0 C． D．
【答案】A
【分析】
根据向量加法运算法则即可求解.
【详解】
连接OB.
由正六边形的性质，可知与都是等边三角形，
∴四边形OABC是平行四边形，
，
，
故选:A.
2、在中，为的重心，为上一点，且满足，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
首先根据为的重心得到，结合以及向量的线性运算，求得的表达式.
【详解】
因为为的重心，所以.
又，所以，所以，
故选：B.
3、已知，均为单位向量，它们的夹角为，那么等于（ ）
A． B． C． D．4
【答案】A
【分析】
先根据题意求出，，，再求出，最后求即可.
【详解】
解：因为，均为单位向量，它们的夹角为，
所以，，，
，
所以
故选：A
4、已知，且，则向量与向量的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据向量垂直数量积为零，代值计算即可.
【详解】
因为，故可得，
即，
代值可得，
故可得向量与向量的夹角为.
故选：B.
5、已知平面向量满足与的夹角为，且，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
由已知可得，结合向量数量积的运算律，建立方程，求解即可.
【详解】
依题意得
由，得
即，解得.
故选:.
6、已知为单位向量，且满足，与的夹角为，则实数_______________.
【答案】或
【分析】
将已知等式移项，可得，再两边平方，运用向量的数量积的定义和性质，向量的平方即为模的平方，化简整理，解方程即可得到所求值．
【详解】
由，可得，则.
由为单位向量，得，则，即，
解得或.
7、在中，设，则动点M的轨迹必通过的（ ）
A．垂心 B．内心 C．重心 D．外心
【答案】D
【分析】
根据已知条件可得，整理可得，若为中点，可知，从而可知在中垂线上，可得轨迹必过三角形外心.
【详解】
设为中点，则

为的垂直平分线
轨迹必过的外心
本题正确选项：
8、已知向量，，，且．
（1）求，；
（2）求与的夹角及与的夹角．
【答案】（1），；（2），．
【分析】
（1）由、，结合平面向量数量积的运算即可得解；
（2）记与的夹角为，与的夹角为，由平面向量数量积的定义可得、，即可得解.
【详解】
（1）因为向量，，，且，
所以
，
所以，
又
，
所以；
（2）记与的夹角为，与的夹角为，
则，
所以．
，
所以．
9、设、满足，，且与的夹角为，求：
（1）；
（2）；
（3）.
【答案】（1）；（2）；（3）.
【分析】
（1）利用平面向量数量积的定义可计算出结果;
（2）利用平面向量数量积的运算律可计算出结果;
（3）由题意得出，利用平面向量数量积的运算律可得出结果.
【详解】
（1）由平面向量数量积的定义可得；
（2）
；
（3）由题意得
10、已知，，.
（1）求与的夹角；
（2）求.
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）由题意结合平面向量数量积的运算律可得，再由平面向量数量积的定义即可得，即可得解；
（2）由题意结合平面向量数量积的知识可得，运算即可得解.
【详解】
（1）因为，所以，
因为，，所以，解得，
又，所以；
（2）由题意，
所以.
11、已知向量，满足，，且，的夹角为.
（1）求；
（2）若，求实数的值.
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）先求出，进而将展开，结合，的模，可求出答案；
（2）由，将展开，并结合的值，及，的模，进而可求出的值.
【详解】
（1）由题意，，
∴.
（2）∵，∴，
∴，∴，∴.
12、已知与的夹角为120°．
（1）求与的值；
（2）x为何值时，与垂直？
【答案】（1）；（2）当时，与垂直．
【分析】
（1）先由数量积的定义求出，由数量积的运算性质可得，，将条件及的值代入，可得答案.
（2）由与垂直，可得，将条件代入可求出x的值.
【详解】
（1）．
．
．
（2）因为，
所以，即．
所以当时，与垂直．