6.3平面向量基本定理及坐标表示-【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第二册同步讲义（机构专用）

6.3 平面向量基本定理及坐标表示

1、平面向量的基本定理
如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2。其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.
2、平面向量的正交分解
把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.
3、平面向量的坐标运算
（1）向量加法、减法、数乘运算及向量的模
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则
a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝＋y).
（2）向量坐标的求法
①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标.
②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，||＝.
4、平面向量共线的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b?x1y2－x2y1＝0.
5、注意
（1）若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)且a＝b，则x1＝x2且y1＝y2.
（2）若a与b不共线，λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0.
（3）向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的相对位置有关系。两个相等的向量，无论起点在什么位置，它们的坐标都是相同的。
题型一 平面向量基本定理及其应用
例 1　在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A，B，C三点满足＝＋，则＝________.
【答案】.
【解析】因为＝＋，所以－＝－＋＝(－)，所以＝，所以＝.
在△ABC中，＝，若P是直线BN上的一点，且满足＝m＋，则实数m的值为(　　)
A.－4 B.－1 C.1 D.4
【答案】B
【解析】根据题意设＝n(n∈R)，则＝＋＝＋n＝＋n(－)＝＋n＝(1－n)＋.
又＝m＋，∴解得
题型二 平面向量的坐标表示
例 2　已知点则与同方向的单位向量为( )
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
试题分析：,所以与同方向的单位向量为，故选A.
已知中，，，若，则的坐标为 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据，，可得；由可得M为BC中点，即可求得的坐标，进而利用即可求解．
【详解】
因为，
所以
因为，即M为BC中点
所以
所以
所以选A
题型三 数量积等相关运算
例 3　已知向量、的夹角为，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
求出，利用平面向量数量积的定义可求出的值.
【详解】
，则，
由平面向量数量积的定义得，解得.
故选：A.
已知向量，则___________.
【答案】
【分析】
利用向量夹角公式即可得到结果.
【详解】
，，
，．
故答案为：
题型四 坐标求解
例 4　设，点的坐标为，则点的坐标为________.
【答案】
【分析】
向量的坐标等于点的坐标减去点的坐标．
【详解】
解：设点的坐标为，则，
，，点的坐标为．
故答案为：．
已知梯形ABCD，其中AB∥CD，且DC＝2AB，三个顶点A(1，2)，B(2，1)，C(4，2)，则点D的坐标为__________.
【答案】(2，4)
【解析】
∵在梯形ABCD中，DC=2AB，AB∥CD，∴.设点D的坐标为(x，y)，则=(4?x，2?y)，=(1，?1)，∴(4?x，2?y)=2(1，?1)，即(4?x，2?y)=(2，?2)，∴，解得，故点D的坐标为(2，4)．
题型五 参数问题
例 5　已知向量a=(2，1)，b=(1，?2)．若ma＋nb=(9，?8)(m，n∈R)，则m?n的值为________．
【答案】?3
【详解】
由a=(2，1)，b=(1，?2)，可得ma＋nb=(2m，m)＋(n，?2n)=(2m＋n，m?2n)，
由已知可得，解得，从而m?n=?3.
已知，，实数满足，则________.
【答案】1或
【分析】
根据向量模的坐标计算，可得结果.
【详解】
由题意可得：
,
,
解得或.
故答案为：1或
1、若，方向上的单位向量为.则在上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
由向量的投影计算公式，代值计算即可求得.
【详解】
由向量的投影计算公式可得，
故在上的投影向量为.
故选：A.
2、在中，已知，，是中线上一点，且，那么点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
假设，根据，可得为重心，根据重心的坐标表示，可得结果.
【详解】
由题意知：是的重心，设，
则有解得
故.
故选：C
3、向量，若三点共线，则的值为（ ）
A．-2 B．11 C．-2或11 D．2或-11
【答案】C
【分析】
根据向量的坐标运算，结合向量的共线的条件，准确运算，即可求解，得到答案.
【详解】
由题意，向量，
则，
，
因为三点共线，所以，所以，
整理得，解得或.
故选：C.
4、已知，，则与的夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据题意，解得两个向量的坐标，利用坐标计算两向量的夹角余弦值即可.
【详解】
因为，
故可得，设向量与的夹角为
则
则.
故选：C.
5、已知向量，，若，则__________，__________．
【答案】
【分析】
由可求得的值，再利用数量积的坐标运算求，计算出的坐标，再利用模长公式求模长.
【详解】
由可得，
所以，
又因为，
所以．
故答案为：；
6、已知向量，，，若A，B，C三点共线，则实数k的值__________．则__________．
【答案】3
【分析】
用向量坐标表示、，由A，B，C三点共线即可求k的值，进而求
【详解】
∵向量，，，
∴，，
∵A，B，C三点共线，即与共线
∴，即
则
故答案为：3；
7、已知向量．
（1）若与向量垂直，求实数的值；
（2）若向量，且与向量平行，求实数的值．
【答案】（1）；（2）．
【分析】
（1）由代入的坐标，然后得到的坐标表示，再由与 垂直，得到，分别代入坐标，得到关于的方程，求出答案.
（2）先得到的坐标，然后根据与平行，得到坐标关系，即关于的方程，求出答案.
【详解】
（1）由题意，，
，
因为与 垂直，
所以
整理得，解得．
（2）由题意，，
由（1）知，，
因为与平行，
所以，
整理得，解得．
8、已知平面向量，．
（1）若，求的值；
（2）若，求.
【答案】（1）或；（2）或.
【分析】
（1）由平面向量垂直的坐标表示可得出关于的等式，进而可求得实数的值；
（2）由平面向量共线的坐标表示求得的值，可求得的坐标，由此可求得.
【详解】
（1），，且，则，
整理得，解得或；
（2），，且，，即，
解得或.
若，则，，则，此时；
若，则，，则，此时.
综上所述，或.
9、已知向量 同向，，.
（1）求 的坐标；
（2）若，求及.
【答案】（1）.
（2），.
【分析】
（1）由与同向，设，代入数量积计算可得；
（2）计算，再根据向量的数乘运算求解．
【详解】
（1）设，
则有，，.
（2），，
，.