6.4平面向量的应用-【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第二册同步讲义（机构专用）

6.4 平面向量的应用

1、正、余弦定理
在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则
定理 正弦定理 余弦定理
公式 ＝＝＝2R a2＝b2＋c2－2bccosA；
b2＝c2＋a2－2cacosB；
c2＝a2＋b2－2abcosC
常见 变形 (1)a＝2Rsin A，b＝2RsinB，c＝2RsinC；
(2)sin A＝，sin B＝，sin C＝；
(3)a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC；
(4)asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A cos A＝；
cos B＝；
cos C＝
2、S△ABC＝absin C＝bcsin A＝acsin B＝＝(a＋b＋c)·r(r是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R，r.
3、在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下：
A为锐角 A为钝角或直角
图形



关系式 a＝bsin A bsin Ab a≤b
解的个数 一解 两解 一解 一解 无解
4、相关结论
（1）三角形中的三角函数关系
sin(A＋B)＝sin C cos(A＋B)＝－cos C
sin＝cos cos＝sin
（2）三角形中的射影定理
在△ABC中，a＝bcos C＋ccos B；b＝acos C＋ccos A；c＝bcos A＋acos B.
（3）在△ABC中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，A>B?a>b?sin A>sin B?cos A题型一 几何图形中的向量应用
例 1　已知直角梯形中，，，，，是腰上的动点，则的最小值为______.
【答案】5
【分析】
以为轴的正方向建立直角坐标系，利用向量的坐标表示求模长的最小值.
【详解】
由题：以为轴的正方向建立直角坐标系，如图所示：
设，
则
，当取得最小值.
故答案为：5
已知三个点，，.
（1）求证：；
（2）若四边形为矩形，求点的坐标及矩形两对角线所成锐角的余弦值.
【答案】（1）证明见详解；（2），矩形两对角线所成锐角的余弦值为.
【分析】
（1）利用向量垂直证明即可；
（2）设坐标，根据向量相等求点坐标，根据向量夹角求对角线所成锐角余弦值.
【详解】
解：（1）由题知，，，所以，所以，所以；
（2）设点的坐标为，则根据四边形为矩形得，即：，所以，解得，所以；
所以，，
所以，
矩形两对角线所成锐角的余弦值为.
题型二 物理问题中的向量应用
例 2　一条两岸平行的河流，水速为，小船的速度为，为使所走路程最短，小船应朝____________的方向行驶.
【答案】与水速成角
【分析】
使小船所走路程最短，应与岸垂直，结合图形和解三角形的知识，即可求解.
【详解】
如图所示，为使小船所走路程最短，应与岸垂直，
又，，，
所以.所以小船应朝与水速成角的方向行驶.
故答案为：与水速成角.
在水流速度大小为的河中,如果船以大小为的实际航速垂直于河岸行驶,求船航行速度的大小和方向.
【答案】大小为,方向与水流方向所成角为120°.
【分析】
根据向量物理含义，结合向量加法平行四边形法则求解.
【详解】
如图,设表示水流速度,表示船实际的航行速度,作,则表示船航行的速度
由题知,,,所以,所以,.
所以,即船航行的速度的大小为,方向与水流方向所成角为120°.
题型三 余弦定理
例 3　在中，，，则一定是
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．等腰三角形 D．等边三角形
【答案】D
【分析】
根据余弦定理得到，进而得到三个角相等，是等边三角形.
【详解】
中，，
,
故得到，故得到角A等于角C，三角形为等边三角形.
故答案为D.
在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，如果2b=a+c，B=30°，△ABC的面积是 ，则 b=（ ）
A．1+ B． C． D．2+
【答案】A
【分析】
由三角形面积得，由余弦定理结合已知条件可得．
【详解】
由已知，，
所以，解得．
故选：A．
题型四 正弦定理
例 4　（多选）在中，内角，，所对的边分别为，若，， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】CD
【分析】
由题意结合正弦定理即可得，进而可得，即可得解.
【详解】
由正弦定理，
所以，
又，，
所以或.
故选：CD.
在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知b＝1，c＝2且2cosA（bcosC+ccosB）＝a，则A＝__________；若M为边BC的中点，则|AM|＝__________
【答案】
【分析】
利用正弦定理、两角和的正弦公式、三角形内角和定理化简已知条件，求得的值，进而求得的大小.由是的中点，得到，两边平方后进行化简，由此求得的长.
【详解】
∵2cosA（bcosC+ccosB）＝a，∴由正弦定理可得2cosA（sinBcosC+sinCcosB）＝sinA，
∴2cosAsin（B+C）＝2cosAsinA＝sinA，∵A∈（0，π），sinA≠0，∴cosA＝，可得A＝.
∵M为边BC的中点，b＝1，c＝2，
∴则2＝，两边平方可得4||2＝||2+||2+2?＝1+4+2×1×2×＝7，
∴解得||＝．
故答案为：
题型五 三角形的形状
例 5　若为所在平面内任意一点，且满足，则一定为（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．钝角三角形
【答案】C
【分析】
由向量的线性运算可知，所以，作出图形，结合向量加法的平行四边形法则，可得，进而可得，即可得出答案.
【详解】
由题意，，
所以，
取的中点，连结，并延长到，使得，连结，，则四边形为平行四边形，所以.
所以，即，
故，是等腰三角形.
故选：C.
在中,,,且,则是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
【答案】C
【分析】
根据数量积的公式分析B为钝角即可.
【详解】
因为,所以,
所以.因为,,所以,所以B为钝角,所以是钝角三角形.无法判断其是不是等腰三角形.
故选：C.
题型六 正余弦定理的应用
例 6　在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知.
（1）求角B的大小；
（2）设a=2，c=3，求b和的值.
【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)，.
【解析】
分析：（Ⅰ）由题意结合正弦定理边化角结合同角三角函数基本关系可得，则B=．
（Ⅱ）在△ABC中，由余弦定理可得b=．结合二倍角公式和两角差的正弦公式可得
详解：（Ⅰ）在△ABC中，由正弦定理，可得，
又由，得，
即，可得．
又因为，可得B=．
（Ⅱ）在△ABC中，由余弦定理及a=2，c=3，B=，
有，故b=．
由，可得．因为a因此，
所以，
在△ABC中，C－A＝，sinB＝.
（1）求sinA的值；
（2）设AC＝，求△ABC的面积．
【答案】（1）；（2）
【解析】
分析：（1）由已知和三角形的内角和定理得到与的关系式及的范围，然后利用二倍角的余弦函数公式化简得到一个关于的方程，即可求得结果；（2） 先根据可求出的值，再由正弦定理求出，最后根据三角形面积公式可得结果.
详解：（1）由和π，得B＝－2A, 0故，即2＝，.
（2）由(1)得 .
又由正弦定理，得，
所以.
1、设的内角所对的边分别为，若，则的形状为（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
【答案】B
【分析】
根据正弦定理把已知等式中的边转化为角的正弦，利用两角和公式化简求得的值进而求得，判断出三角形的形状.
【详解】
∵，
由正弦定理得：，
∵，∴，，故三角形为直角三角形，
故选：B.
2、在中，角、、的对边分别为、、，若，则角的值为（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】D
【分析】
先根据余弦定理进行化简，进而得到的值，再由角的范围和正弦函数的性质可得到最后答案．
【详解】
解：由，∴，即，
因为有意义，所以，，
∴，又在中，所以为或 ，
故选:D
3、已知在中，，，，则c等于（ ）
A． B． C． D．5
【答案】A
【分析】
根据已知条件,代入余弦定理,即可求得的值.
【详解】
在中,,,,
由余弦定理得,
所以.
故选:A
3、在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知B＝C,2b＝a，则cos A＝_____.
【答案】
【解析】
由B＝C,2b＝a，
可得b＝c＝a，
所以cos A＝＝＝.
故答案为
4、（多选）下列命题中，正确的是（ ）
A．在中，，
B．在锐角中，不等式恒成立
C．在中，若，则必是等腰直角三角形
D．在中，若，，则必是等边三角形
【答案】ABD
【分析】
对于选项在中，由正弦定理可得，即可判断出正误；对于选项在锐角中，由，可得，即可判断出正误；对于选项在中，由，利用正弦定理可得：，得到或即可判断出正误；对于选项在中，利用余弦定理可得：，代入已知可得，又，即可得到的形状，即可判断出正误.
【详解】
对于，由，可得：，利用正弦定理可得：，正确；
对于，在锐角中，，，
，，
，因此不等式恒成立，正确；
对于，在中，由，利用正弦定理可得：，
，
，，
或，
或，
是等腰三角形或直角三角形，因此是假命题，错误.
对于，由于，，由余弦定理可得：，
可得，解得，可得，故正确.
故选：.
5、一架飞机从地向北偏西的方向飞行到达地，然后向地飞行.设C地恰好在地的南偏西，并且两地相距，求飞机从地到地的位移.
【答案】飞机从B地到C地的位移大小是，方向是南偏西.
【分析】
画图，设A在东西基线和南北基线的交点处.由题意可知，过点B作东西基线的垂线，交于D，可知为等边三角形，，，再求解，即可.
【详解】
如图，
设A在东西基线和南北基线的交点处.
依题意，的方向是北偏西，，
的方向是南偏西，，
所以.
过点B作东西基线的垂线，交于D，
则为正三角形，
所以，
.
所以.
，.
答：飞机从B地到C地的位移大小是，方向是南偏西.
6、在锐角中，.
（1）求角的值；
（2）若且，求的值.
【答案】（1）；（2）5．
【分析】
（1）用正弦定理把已知条件转化为角的关系后可求C；
（2）用余弦定理和面积公式，然后
【详解】
（1）∵，∴，显然，∴，
∴．
（2）由得，即，
又，∴，即，
∴，
∴．
7、在中，，，分别为角，，所对边的长，，．
（1）求角的值；
（2）若，求的面积．
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）由已知利用同角三角函数基本关系式可求，由正弦定理化简已知等式可求，结合范围，可求的值．
（2）由（1）及正弦定理可求的值，利用两角和的正弦函数公式可求的值，根据三角形面积公式即可计算得解．
【详解】
解：（1）在中，因为，，
所以．
因为，
由正弦定理，得．
所以．
若，则，与矛盾，故．
于是．
又因为，
所以．
（2）因为，，
由（1）及正弦定理，得，
所以．
又．
所以的面积为．
8、在中，内角，，的对边分别为，，，且.
（1）求的值；
（2）若，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）利用余弦定理将已知化简整理得，可得角B, ，代入所求可得答案.
（2）利用正弦定理和两角和差公式以及辅助角公式化简，根据求解可得结果.
【详解】
（1）因为，整理可得，，
由余弦定理可得，故，，所以；
（2）由正弦定理可得，，所以，，所以
，
因为，所以，所以，
故.
所以取值范围为.