7.1复数的概念-【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第二册同步讲义（机构专用）

7.1 复数的概念

1、复数的有关概念
(1)复数的概念：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫复数，其中a，b分别是它的实部和虚部．若b＝0，则a＋bi为实数，若b≠0，则a＋bi为虚数，若a＝0且b≠0，则a＋bi为纯虚数．
(2)复数相等：a＋bi＝c＋di?a＝c，b＝d(a，b，c，d∈R)．
(3)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭?a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)．
(4)复数的模：向量的模r叫做复数z＝a＋bi的模，即|z|＝|a＋bi|＝.
2、复数的几何意义
复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)平面向量＝(a，b)．
题型一 复数的概念
例 1　实数取怎样的值时，复数是：
（1）实数？
（2）虚数？
（3）纯虚数？
【答案】（1）或；（2）且；（3）.
【分析】
根据实部和虚部的不同取值决定何时是实数、虚数和纯虚数.
【详解】
（1）若，则为实数，此时或者.
（2）若，则为虚数，此时且.
（3）若 ，则为纯虚数，此时.
若复数是纯虚数，则实数的值为（ ）
A．1 B．2 C．1或2 D．-1
【答案】B
【解析】
由得，且，．
题型二 基本概念
例 2　（多选）给出下列命题，其中是真命题的是（ ）
A．纯虚数的共轭复数是 B．若，则
C．若，则与互为共轭复数 D．若，则与互为共轭复数
【答案】AD
【分析】
A．根据共轭复数的定义判断.B.若，则，与关系分实数和虚数判断.C.若，分可能均为实数和与的虚部互为相反数分析判断.D. 根据，得到，再用共轭复数的定义判断.
【详解】
A．根据共轭复数的定义，显然是真命题；
B．若，则，当均为实数时，则有，当，是虚数时，，所以B是假命题；
C．若，则可能均为实数，但不一定相等，或与的虚部互为相反数，但实部不一定相等，所以C是假命题；
D. 若，则，所以与互为共轭复数，故D是真命题.
故选：AD
（多选）已知复数（i为虚数单位）在复平面内对应的点为，复数z满足，下列结论正确的是（ ）
A．点的坐标为 B．复数的共轭复数对应的点与点关于虚轴对称
C．复数z对应的点Z在一条直线上 D．与z对应的点Z间的距离的最小值为
【答案】ACD
【分析】
根据复数对应的坐标，判断A选项的正确性.根据互为共轭复数的两个复数坐标的对称关系，判断B选项的正确性.设出，利用，结合复数模的运算进行化简，由此判断出点的轨迹，由此判读C选项的正确性.结合C选项的分析，由点到直线的距离公式判断D选项的正确性.
【详解】
复数在复平面内对应的点为，A正确；
复数的共轭复数对应的点与点关于实轴对称，B错误；
设，代入，得，即，整理得，；即Z点在直线上，C正确；
易知点到直线的垂线段的长度即为、Z之间距离的最小值，结合点到直线的距离公式可知，最小值为，故D正确.
故选：ACD
题型三 模
例 3　已知复数，且，则实数的取值范围是_____________.
【答案】
【分析】
根据复数的模长公式结合条件可得出关于实数的不等式，解出即可.
【详解】
，且，解得.
因此，实数的取值范围是.
故答案为：.
若复数对应的点位于第二象限，则的取值范围是_______.
【答案】
【分析】
根据复数的几何意义，可知复数对应的点的坐标为，再根据该点位于第二象限，得即 ，而，再用二次函数法求其取值范围.
【详解】
因为复数对应的点的坐标为，
又因为该点位于第二象限，
所以
解得.
所以
，
因为，
所以.
故答案为：
题型四 几何意义
例 4　在复平面内，已知为坐标原点，点、分别对应复数，，若，则_____________.
【答案】
【分析】
根据复数的几何意义求出向量、的坐标，然后由，得出，利用平面向量数量积的坐标运算可求出实数的值.
【详解】
因为，，所以，.
因为，则，即.
故答案为：.
已知在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
试题分析：
要使复数对应的点在第四象限,应满足，解得，故选A.
1、复数，则的模等于（ ）
A．2 B．4 C． D．
【答案】C
【分析】
由复数，求得，结合复数模的计算公式，即可求解.
【详解】
由题意，复数，可得，所以.
故选：C.
2、若复数(i为虚数单位)是实数，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据实数的充要条件，得出关于的关系式，求解得出结论.
【详解】
∵是实数，
，
.
故选：B.
3、已知复数（为虚数单位，）在复平面内对应的点在第二象限，那么的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
由复数得对应点坐标，再由点在第三象限得不等关系．
【详解】
复数（为虚数单位，）对应点坐标为
点在第二象限，则，解得，即的取值范围是.
故选：A.
4、复数的实部与虚部分别是（ ）
A．0，2 B．0，0 C．， D．，0
【答案】C
【解析】
【分析】
根据复数实部和虚部的定义即得解.
【详解】
的实部为0，虚数部为.
故选:C
5、已知复数，则“”是“为纯虚数”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】
解出复数为纯虚数a的取值范围，即可得解.
【详解】
复数为纯虚数，则，且，解得，所以“”
是“为纯虚数”的充分不必要条件.
故选：A.
6、复数的共轭复数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据共轭复数定义，即可求解.
【详解】
由共扼复数的定义，知的共轭复数为.
故选:A.
7、在复平面内,O为坐标原点,向量对应的复数为(i为虚数单位),若点B关于原点的对称点为A,点A关于虚轴的对称点为C,则向量对应的复数为______.
【答案】
【分析】
首先求得点坐标，根据对称性，依次求得的坐标，从而求得向量对应的复数.
【详解】
由题知,点B的坐标为,所以点A的坐标为,所以点C的坐标为,所以向量对应的复数为.
故答案为：
8、已知复数，它们所对应的点分别为A，B，C．若，则的值是 ．
【答案】-3
【解析】
解：由题意可得（3，-2）=x（-1，2）+y（-1，-1）=（-x-y，2x-y），
∴-x-y=3，2x-y=-2，
解得x=- ，y=- ，∴x+y=-3，
9、当为何值时，复数是
（1）实数？
（2）虚数？
（3）纯虚数？
【答案】（1）（2）或且（3）或
【分析】
（1）根据实数的定义，由实部中根式内部的代数式大于等于0，虚部等于0，列式求解；
（2）根据虚数的定义，由实部中根式内部的代数式大于等于0，虚部不等于0，列式求解；
（3）根据纯虚数的定义，由实部中根式内部的代数式等于0，虚部不等于0，列式即可求解．
【详解】
（1）由题意知，所以，
故当时，复数为实数.
（2）由题意得，即，
所以或且，
故当或且时，为虚数.
（3）由题意得，所以，
所以或，
故当或时，复数为纯虚数.
10、已知为实数，设复数.
（1）当复数为纯虚数时，求的值；
（2）设复数在复平面内对应的点为，若满足，求的取值范围.
【答案】（1）（2）
【分析】
（1）由复数分类可得；
（2）得出复数对应点的坐标，代入直线方程解之可得．
【详解】
（1）由题意，得解得所以.
（2）复数在复平面内对应的点的坐标为，
点坐标满足，则，解得，所以的取值范围为.