7.2复数的四则运算-【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第二册同步讲义（机构专用）

7.2 复数的四则运算

1、复数的加、减、乘、除运算法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则
①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；
②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；
③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；
④除法：
2、复数加法的运算定律
复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．
题型一 加减运算
例 1　复数等于（ ）
A． B． C．i D．-i
【答案】A
【分析】
按照加法和减法法则进行求解.
【详解】
故选：A.
计算：
原式
题型二 复数乘除
例 2　
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
分析：根据复数除法法则化简复数，即得结果.
详解：选D.
计算=
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
分析：根据复数乘法法则求结果.
详解：
选B.
题型三 四则运算
例 3　计算:;
【答案】
【分析】
先计算，再计算得到答案.
【详解】
计算：.
【答案】(2).
【分析】
化简得到，再计算得到答案.
【详解】
.
题型四 模长的计算
例 4　设，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据复数运算法则求得，根据模长的定义求得结果.
【详解】

本题正确选项：
已知i为虚数单位，若，则（ ）
A．2 B． C．1 D．
【答案】B
【分析】
由已知条件，结合复数的运算可得，由模长公式可得答案.
【详解】
∵，
∴，
故.
故选：B.
题型五 复数的几何意义
例 5　如图，在复平面内，复数对应的向量分别是，则复数( )
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
由图可得,,进而求解即可
【详解】
由图,,,
所以,,则,,
所以,
故选:B
如图，在复平面内，复数，对应的向量分别是，，则（ ）
A．1 B． C．2 D．3
【答案】B
【分析】
根据向量的坐标，写出复数，再求加法及模.
【详解】
由题图可知，，
所以，
.
故选：B.
题型六 解方程
例 6　在复数范围内解下列方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1）（2）
【分析】
（1）利用配方法得到方程的根；
（2）利用公式法得到方程的根.
【详解】
解：（1）因为，所以方程的根为．
（2）因为，所以方程的根为，即．
在复数范围内解下列方程：
（1）；
（2）.
【答案】（1）（2）
【分析】
（1）先判断一元二次方程根的判别式，再利用求根公式求解即可；
（2）先判断一元二次方程根的判别式，再利用求根公式求解即可.
【详解】
解：（1）,
∴方程的根为，即.
（2），
∴方程的根为，即.
1、已知，则__________，__________．
【答案】
【分析】
先根据复数除法法则化简再根据共轭复数概念得第一空，根据复数模的性质求解第二空.
【详解】
∵，则，
故答案为：，
2、在复平面内，复数对应的点位于第__________象限；__________．
【答案】四
【分析】
先根据复数运算法则化简，再根据复数几何意义确定点所在象限，最后根据共轭复数概念以及模的定义求结果.
【详解】
由，
∴对应的点的坐标为，位于第四象限，，∴．
故答案为：四，
3、已知复数满足（其中是虚数单位），则复数的虚部为_______.
【答案】
【解析】
由题得，所以复数的虚部为.故填.
4、已知，为虚数单位，若为实数，则的值为__________．
【答案】-2
【解析】
为实数，
则.
5、复数的值是______.
【答案】0
【分析】
先利用复数的除法运算计算，再计算，相加即得解.
【详解】
.
6、已知复数满足，则复数的实部与虚部的和为__________.
【答案】4
【分析】
设出复数，根据复数相等，列方程进行计算即可.
【详解】
设，则，
∴，
即，
∴，
解得，
∴，
即复数的实部与虚部的和是4.
故答案为：4.
7、已知复数（i为虚数单位）是实系数一元二次方程的一个根，则_____.
【答案】1
【分析】
的共轭复数是实系数一元二次方程的一个根，利用一元二次方程的根与系数的关系求、.
【详解】
解:因为是实系数一元二次方程的一个根，
所以是实系数一元二次方程的一个根，
所以，，
因此.
故答案为：1.
8、已知四边形是复平面内的平行四边形，是原点，点分别表示复数，是，的交点，如图所示，求点表示的复数.
【答案】，
【分析】
利用求得点表示的复数,利用求得点表示的复数
【详解】
因为,分别表示复数,,
所以表示的复数为,即点表示的复数为,
又,所以表示的复数为,即点表示的复数为
9、如图所示，平行四边形OABC的顶点O，A，C对应的复数分别为0，，，其中i为虚数单位.
(1)求对应的复数.
(2)求对应的复数；
(3)求对应的复数.
【答案】(1)；(2)；(3).
【分析】
（1）由点坐标，即可求解；
（2）由根据向量的减法几何意义，结合坐标，即可求解；
（3）根据向量的加法的几何意义，以及坐标，即可求解.
【详解】
(1)因为，所以表示的复数为.
(2)因为，所以表示的复数为.
(3)，所以对应的复数为.
10、计算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）.
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）
【分析】
运用复数乘法运算法则、加减法的运算法则直接运算即可.
【详解】
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）.
11、计算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）.
【分析】
运算复数除法的运算法则，结合复数的乘法和加减法的运算法则直接求解即可.
【详解】
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
12、在复数范围内解下列方程：
（1）；
（2），其中，且．
【答案】（1）（2）
【分析】
（1）利用配方法得到方程的根；
（2）利用配方法得到方程的根．
【详解】
解：（1）因为，所以方程的根为．
（2）将方程配方，得，
．
所以原方程的根为．