7.3复数的三角表示-【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第二册同步讲义（机构专用）

7.3 复数的三角表示
1、复数化为三角形式， 式中，是复数的模（即绝对值），是以x轴的正半轴为始边，射线OZ为终边的角，叫做复数的辐角，辐角的主值为，通常记为 这种形式便于作复数的乘、除、乘方、开方运算
2、复数三角形式的乘法法则：模数相乘，幅角相加
复数三角形式的乘方法则：模数乘方，幅角n倍
复数三角形式的除法法则：模数相除，幅角相减
题型一 复数的代数形式与三角形式互化
例 1　复数的代数形式与三角形式互化：
（1）；
（2）.
【答案】（1）.（2）
【分析】
（1）先求得模长，以及辐角主值，再写出三角形式即可；
（2）将三角形式的复数进行化简整理即可.
【详解】
（1），
所以.
（2）
所以=.
复数的代数形式与三角形式互化：
（1）；
（2）.
【答案】（1）（2）
【分析】
（1）先根据模公式 求出模来，再根据其对应的点是在第四象限，求出，最后写成三角形式.
（2）分别求出 再整理为 的形式.
【详解】
（1）.
因为与对应的点在第四象限，
所以，
所以.
题型二 三角形式化简
例 2　计算：.
【答案】
【分析】
利用复数的三角形式化简求解即可.
【详解】
原式=
已知i为虚数单位，计算：_________.
【答案】
【分析】
先把转化为，再利用复数三角形式的除法运算法则即可求出答案.
【详解】
解：原式
.
故答案为：.
题型三 辐角主值
例 3　复数的辐角主值为________.
【答案】
【分析】
先化简再根据辐角主值的定义求解即可.
【详解】
因为,所以
所以,所以复数z的辐角主值为.
故答案为：
复数的辐角主值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
化简利用诱导公式化成标准形式再判断即可.
【详解】
,故复数z的辐角主值为.
故选：D
题型四 向量旋转
例 4　将复数对应的向量绕原点按顺时针方向旋转，得到的向量为，那么对应的复数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
先将复数写成三角形式,再根据三角形式的运算法则求解即可.
【详解】
复数的三角形式是,向量对应的复数是
故选：A
在复平面内，把与复数对应的向量绕原点按逆时针方向旋转，求与所得向量对应的复数（用代数形式表示）.
【答案】
【分析】
根据三角形式的复数乘法意义，应用乘法法则，计算即可.
【详解】
与所得向量对应的复数为
=
.
1、将复数对应的向量绕原点按逆时针方向旋转，得到的向量为，那么对应的复数是（ ）
A．2i B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据复数的三角形式运算求解即可.
【详解】
复数的三角形式是,向量对应的复数
故选：B
2、复数的辐角主值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据辐角主值的定义，结合题目，即可求得.
【详解】
由辐角主值的定义，知复数的辐角主值是.
故选：B.
3、将复数化成代数形式，正确的是（ ）
A．4 B．-4 C． D．
【答案】D
【分析】
根据特殊角的三角函数值，化简即可.
【详解】
故选：D.
4、复数化成三角形式为________.
【答案】
【分析】
利用复数的几何意义分析即可.
【详解】
如图,,,,
故答案为：
5、计算：______.
【答案】
【分析】
先将6转化三角形式，再用复数的除法求解.
【详解】
.
故答案为：.
6、复数的模是_____________.
【答案】3
【分析】
根据复数的三角形式的定义，即可得到复数的模.
【详解】
复数是三角形式，
故的模是3.
故答案为：3.
7、复数的代数形式是_____________.
【答案】
【分析】
根据复数的除法运算进行计算，即可化简为代数运算.
【详解】
.
故答案为：.
8、计算：_______________.
【答案】
【分析】
将化为复数的三角形式，再利用除法法则，进行计算即可.
【详解】
故答案为：.
9、已知复数的模为2，实部为，求复数的代数形式和三角形式.
【答案】或；或.
在复平面内，把与复数对应的向量绕原点按顺时针方向旋转，求与所得向量对应的复数（用代数形式表示）.
【答案】
【分析】
根据复数除法的意义，进行计算即可.
【详解】
与所得向量对应的复数为
.
10、把复数与对应的向量，分别按逆时针方向旋转和后，与向量重合且模相等，已知，求复数的代数式和它的辐角主值.
【答案】,
【分析】
根据题意列出等式,再根据复数的三角形式运算求解即可.
【详解】
由复数乘法的几何意义得,
又
的辐角主值为
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