8.2 立体图形的直观图
1、直观图
定义:用来表示空间图形的平面图形,叫做空间图形的直观图.
画法:斜二测画法和正等测画法.
2、斜二测画法规则
(1)在已知图形中取互相垂直的轴或轴,两轴相交于点O。画直观图时,把它们画成对应的轴与轴,两轴相交于点,且使(或),它们确定的平面表示水平面
(2)已知图形中平行于轴或轴的线段,在直观图中分别画成平行于轴与轴的线段
(3)已知图形中平行于轴的线段,在直观图中保持原长度不变,平行于轴的线段,在直观图中长度为原来的一半
题型一 直观图的步骤
例 1 用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图,对其中的线段说法不正确的是( )
A.原来相交的仍相交
B.原来垂直的仍垂直
C.原来平行的仍平行
D.原来共点的仍共点
【答案】B
【分析】
根据斜二测画法作水平放置的平面图形的直观图的规则,可得结论.
【详解】
解:根据斜二测画法作水平放置的平面图形的直观图的规则,与轴平行的线段长度不变,与轴平行的线段长度变为原来的一半,且倾斜,故原来垂直线段不一定垂直了;
故选:B.
利用斜二测画法得到的:①三角形的直观图是三角形;②平行四边形的直观图是平行四边形;③正方形的直观图是正方形;④菱形的直观图是菱形.以上结论正确的是( )
A.①② B.① C.③④ D.①②③④
【答案】A
【分析】
根据斜二测画法的规则,平行关系不变,平行x轴的线段长度不变,平行y轴的线段长度减半,直角变为或判断.
【详解】
由斜二测画法的规则可知:
因为平行关系不变,所以①正确;
因为平行关系不变,所以②是正确;
因为直角变为或,所以正方形的直观图是平行四边形,所以③错误;
因为平行于轴的线段长度减半,平行于轴的线段长度不变,所以④是错误,
故选:A.
题型二 画直观图
例 2 画出图中水平放置的四边形的直观图.
【答案】图见解析.
【分析】
在四边形中,过作出轴的垂直确定坐标,进而利用斜二测画法画出直观图.
【详解】
由斜二测画法:纵向减半,横向不变;即可知A、C在对应点,而B、D对应点位置不变,如下图示:
用斜二测画法画出如图所示的水平放置的四边形的直观图.
【答案】见解析
【分析】
根据斜二测画法的规则作衅.
【详解】
(1)过点作轴,垂足为,如图①所示.
(2)画出相应的轴、轴,使,如图②所示,在轴上取点,,使得,;在轴上取点,使得;过点作轴,使.
(3)连接,,并擦去轴、轴及其他一些辅助线,如图③所示,四边形就是所求的直观图.
题型三 求解图形面积
例 3 一梯形的直观图是一个如图所示的等腰梯形,且此梯形的面积为,则原梯形的面积为__________.
【答案】4.
【分析】
根据斜二测画法的原理将图形还原,平面图是一个直角梯形,由题,得平面图中梯形的高OA的长度是直观图中梯形高的倍,由此即可得到本题答案.
【详解】
由斜二测画法原理知,平面中的图形与直观图中的图形上下底边的长度是一样的,不一样的是两个梯形的高,其高的关系是这样的:平面图中的高OA是直观图长度的2倍,在直观图中,易得的长度是直观图中梯形的高的倍,由此平面图中梯形的高OA的长度是直观图中梯形高的倍,故其面积是梯形面积的倍,因为梯形的面积为,所以原梯形的面积是4.
故答案为:4
已知一个正方形的直观图是一个平行四边形,其中有一边长为4,则此正方形的面积为______.
【答案】16或64.
【分析】
分边长为4的边若与轴平行,与轴平行两种情况讨论,再根据直观图的画法,即得解.
题型四 直观图中的线段长度
例 4 如图所示为水平放置的正方形,在平面直角坐标系中点的坐标为,用斜二测画法画出它的直观图,则点到轴的距离为_____________.
【答案】.
【分析】
根据斜二测画出,画出直观图,计算,求解即可.
【详解】
在直观图中,,,故点到轴的距离为.
故答案为:
如图所示,用斜二测画法作水平放置的的直观图,得,其中,是边上的中线,则由图形可知下列结论中正确的是______.(填序号)①;②;③;④.
【答案】③
【分析】
还原,可知且,进而通过图形可判断出结果.
【详解】
由直观图画出如图所示
其中,①错误;,②错误;
,③正确,④错误
故答案为:③
1、如图所示,正方形的边长为1,它是水平放置的一个平面图形的直观图,则原图形的周长是( )
A.6 B.8 C. D.
【答案】B
【分析】
根据题目给出的直观图的形状,画出对应的原平面图形的形状,求出相应的边长,则可得结果.
【详解】
作出该直观图的原图形,因为直观图中的线段轴,
所以在原图形中对应的线段平行于轴且长度不变,
点和在原图形中对应的点和的纵坐标是的2倍,则,所以,则四边形的长度为8.
故选:B.
2、的直观图如图所示,其中,则在原图中边的长为( )
A. B. C.2 D.
【答案】D
【分析】
由直观图确定原图形中三角形边的关系及长度,然后计算.
【详解】
在原图形中,,,
∴.
故选:D.
3、如图,是水平放置的利用斜二测画法得到的直观图,其中,则的面积是( )
A.12 B. C.6 D.
【答案】A
【分析】
根据斜二测画法知为直角三角形,再结合长度关系,得到的面积.
【详解】
根据斜二测画法知为直角三角形,,故的面积.
故选:A
4、下列选项中的△ABC均是水平放置的边长为1的正三角形,在斜二测画法下,其直观图不是全等三角形的一组是( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【分析】
根据平面图形直观图的斜二测画法规则判断,首先判断与坐标平行的线段长度的变化.如三角形的底和高.
【详解】
C中,前者在斜二测画法下所得的直观图中,底边不变,高变为原来的,后者在斜二测画法下所得的直观图中,高不变,底边变为原来的,故C中两个图形在斜二测画法下所得直观图不全等.
故选:C.
5、用斜二测画法得到一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的直角梯形,其中梯形的上底长是下底长的,若原平面图形的面积为,则的长为( )
A.2 B. C. D.
【答案】D
【分析】
根据斜二测画法分析直观图与原图形中线段的关系确定
【详解】
解:设,则,在原图形中,,,为原图形中梯形的高,
面积为,解得,
故选:D.
6、若一个三角形采用斜二测画法作直观图,则其直观图的面积是原来三角形面积的( )倍.
A. B. C. D.2
【答案】A
【分析】
以三角形的一边为x轴,高所在的直线为y轴,由斜二测画法看三角形底边长和高的变化即可.
【详解】
以三角形的一边为x轴,高所在的直线为y轴,由斜二测画法知,
三角形的底长度不变,高所在的直线为y′轴,长度减半,
故三角形的高变为原来的,
故直观图中三角形面积是原三角形面积的.
故选:A.
7、关于“斜二测画法”,下列说法不正确的是( )
A.原图形中平行于x轴的线段,其对应线段平行于轴,长度不变
B.原图形中平行于y轴的线段,其对应线段平行于轴,长度变为原来的
C.在画与直角坐标系对应的坐标系时,必须是45°
D.在画直观图时,由于选轴的不同,所得的直观图可能不同
【答案】C
【分析】
根据斜二测画法的方法分析求解即可.
【详解】
根据斜二测画法的规则,平行于x轴或在x轴上的线段其长度在直观图中不变,平行于y轴或在y轴上的线段其长度在直观图中变为原来的,并且或135°,
故选:C.
8、(多选)利用斜二测画法得到:①水平放置的三角形的直观图是三角形;②水平放置的平行四边形的直观图是平行四边形;③水平放置的正方形的直观图是正方形;④水平放置的菱形的直观图是菱形;以上结论正确的是( )(多选)
A.① B.② C.③ D.④
【答案】AB
【分析】
根据斜二测画法的概念选择.
【详解】
水平放置的边形的直观图还是边形,故①正确;因为斜二测画法是一种特殊的平行投影画法,所以②正确;因为斜二测画法中平行于纵轴的线段长度减半,所以③④错误,
故选:AB.
9、水平放置的斜二测直观图如图所示,已知,,则边上的中线的长度为______.
【答案】
【分析】
由已知中直观图中线段的长,可分析出实际为一个直角边长分别为、的直角三角形,进而根据勾股定理求出斜边,结合直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得答案.
【详解】
在直观图中,,,所以在中,,,为直角,
,因此,边上的中线的长度为.
故答案为:.
10、一个平面四边形用斜二测画法得到的直观图是一个边长为的正方形,则原平面四边形的面积为___________.
【答案】 .
【分析】
根据斜二测画法的直观图和原图的面积比为定值,即可求出.
【详解】
因为一个平面四边形用斜二测画法得到的直观图是一个边长为的正方形,故其直观图的面积为,又直观图与原图面积之比为,所以原平面四边形的面积为.
故答案为: .