8.3简单几何体的表面积与体积-【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第二册同步讲义（机构专用）

8.3 简单几何体的表面积与体积

1、表面积公式

图形 表面积公式
多面体
多面体的表面积就是各个面的面积的和，也就是展开图的面积
旋转体 圆柱
底面积：S底＝πr2
侧面积：S侧＝2πrl
表面积：S＝2πrl＋2πr2
圆锥
底面积：S底＝πr2
侧面积：S侧＝πrl
表面积：S＝πrl＋πr2
圆台
上底面面积：S上底＝πr′2
下底面面积：S下底＝πr2
侧面积：S侧＝πl(r＋r′)
表面积：S＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl)
2、体积公式
（1）柱体：柱体的底面面积为S，高为h，则V＝Sh.
（2）锥体：锥体的底面面积为S，高为h，则V＝Sh.
（3）台体：台体的上，下底面面积分别为S′，S，高为h，则V＝(S′＋＋S)h.
3、球的体积
设球的半径为R，则球的体积V＝πR3.
4、球的表面积
设球的半径为R，则球的表面积S＝4πR2，即球的表面积等于它的大圆面积的4倍．
题型一 棱柱的体积
例 1　底面边长为2，高为1的正三棱柱的体积是（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】A
【分析】
根据棱柱体积公式求得结果.
【详解】
底面边长为2，高为1的正三棱柱的体积是
故选：A
已知长方体过一个顶点的三条棱长的比是，体对角线的长为，则这个长方体的体积是（ ）
A．48 B．24 C．12 D．6
【答案】A
【分析】
由题意可设长方体的过一个顶点的三条棱长分别为a，2a，3a，利用过一个顶点的三条棱的平方和等于对角线长的平方求得a，则答案可求.
【详解】
由题意可设长方体的过一个顶点的三条棱长分别为a，2a，3a，
则有，
即，解得，
∴长方体的过一个顶点的三条棱长分别为2，4，6，
∴这个长方体的体积是，
故选：A.
题型二 棱锥的表面积与体积
例 2　如图，已知高为3的棱柱的底面是边长为1的正三角形，则三棱锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
利用棱锥的体积公式计算即可．
【详解】
三棱锥的体积为：
故选：C
如图，在棱长为的正方体中，截去三棱锥，求
（1）截去的三棱锥的表面积；
（2）剩余的几何体的体积.
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）三棱锥中是边长为的等边三角形，、、都是直角边为的等腰直角三角形，计算四个三角形面积之和即可求解.
（2）正方体的体积减去三棱锥的体积即得剩余的几何体的体积.
【详解】
（1）由正方体的特点可知三棱锥中，是边长为的等边三角形，、、都是直角边为的等腰直角三角形，
所以截去的三棱锥的表面积

（2）正方体的体积为，
三棱锥的体积为，
所以剩余的几何体的体积为.
题型三 圆锥的表面积与体积
例 3　将半径为，圆心角为的扇形作为侧面围成一个圆锥，则该圆锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
求得扇形弧长后可得圆锥底面周长，由此确定底面半径和圆锥的高，利用圆锥体积公式可求得结果.
【详解】
由扇形弧长公式可求得弧长，圆锥底面周长为，
圆锥底面半径，圆锥的高，
圆锥的体积.
故选：.
圆柱的母线长为，底面半径为，则圆柱的侧面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据圆柱的侧面积公式计算即可.
【详解】
圆柱的母线长为，底面半径为，
则圆柱的侧面积为.
故选：A
题型四 多面体的表面积与体积
例 4　如图所示，在多面体中，已知四边形是边长为的正方形，且、均为正三角形，，，则该多面体的体积为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
将物体切割成一个三棱柱，两个三棱锥分别计算体积.
【详解】
在上取点使，连接，
是边长为1的正方形，且、均为正三角形，，
所以四边形为等腰梯形，，，
根据等腰梯形性质，，
是平面内两条相交直线，是平面内两条相交直线，
所以平面，平面，
，
几何体体积为
，
故选：A
某组合体如图所示，上半部分是正四棱锥，下半部分是长方体.正四棱锥的高为，，，则该组合体的表面积为（ ）
A．20 B． C．16 D．
【答案】A
【分析】
该组合体由一个正四棱锥和一个长方体组成，由勾股定理可计算出正四棱锥的斜高，即可运用三角形的面积公式求出正四棱锥的侧面积，再求出长方体的侧面积和底面积，再求和即可.
【详解】
由题意，正四棱锥的斜高为，该组合体的表面积为.
故选：A
题型五 台体的表面积与体积
例 5　已知圆台的上下底面半径分别为，母线长为．求：
（1）圆台的高；
（2）圆台的体积．
注：圆台的体积公式：，其中，S分别为上下底面面积，h为圆台的高．
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）作出圆台的直观图，过点A作，垂足为H，由勾股定理可求圆台的高；
（2）结合（1），利用圆台的体积公式可求圆台的体积．
【详解】
（1）作出圆台的直观图，如图，
设圆台上下底面圆心分别为，为圆台的一条母线，
连接，，过点A作，垂足为H，则的长等于圆台的高，
因为圆台的上下底面半径分别为，母线长为．
所以，，
则，可得，
故圆台的高为；
（2）圆的面积
圆的面积为
故圆台的体积为
正四棱台两底面边长分别为和.
（1）若侧棱所在直线与上、下底面正方形中心的连线所成的角为，求棱台的侧面积；
（2）若棱台的侧面积等于两底面面积之和，求它的高.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）设、分别为上、下底面的中心，过作于，过作于，连接，则为正四棱台的斜高，求出斜高即可求出侧面积；
（2）求出侧面积，即可求出斜高，即可由勾股定理求出高.
【详解】
（1）如图，设、分别为上、下底面的中心，过作于，过作于，连接，则为正四棱台的斜高，
由题意知，，
又，
∴斜高，
∴；
（2）由题意知，，∴，
∴，又，.
题型六 球体的表面积与体积
例 6　一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为acm，则球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
由已知得正方体的体对角线就是正方体的外接球的直径，求得外接球的半径，再由球的表面积公式可得选项.
【详解】
如图所示，正方体的体对角线就是正方体的外接球的直径，设正方体的外接球为R，则，解得，
所以外接球的表面积为，
故选：A.
将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球，则该球的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
计算得到球的半径为1，再计算体积得到答案.
【详解】
由题意知，此球是正方体的内切球，根据其几何特征知，此球的直径与正方体的棱长相等，故可得球的直径为2，故半径为1，其体积为.
故选：
题型七 表面积、体积与函数
例 7 底面半径为2，高为的圆锥有一个内接的正四棱柱(底面是正方形，侧棱与底面垂直的四棱柱).
（1）设正四棱柱的底面边长为，试将棱柱的高表示成的函数.
（2）当取何值时，此正四棱柱的表面积最大，并求出最大值.
【答案】（1）；（2），.
【分析】
（1）根据轴截面的三角形的比例关系，列式求函数；（2）根据，列出正四棱柱的表面积，并利用二次函数求最大值.
【详解】
（1）由题意：
.
（2）
，，
当时，.
已知一个圆锥的底面半径为，高为，在其内部有一个高为的内接圆柱.
（1）求此圆柱的侧面积的表达式.
（2）当为何值时，圆柱的侧面积最大？
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】
（1）过圆锥及其内接圆柱的轴作截面，设所求圆柱的底面半径为，它的侧面积，由能求出圆柱的侧面积（2）圆柱侧面积为关于的二次函数，利用二次函数性质可知圆柱的高为圆锥高的一半时，圆柱的侧面积最大.
【详解】
（1）过圆锥及其内接圆柱的轴作截面，如图所示，
因为，所以．从而．
（2）由（1），因为，
所以当时，最大，
即圆柱的高为圆锥高的一半时，圆柱的侧面积最大．
1、已知正方体外接球的体积是，那么该正方体的内切球的表面积为_____________．
【答案】
【分析】
由正方体的对角线是外接球直径，正方体的棱长等于内切球直径可求解．
【详解】
设正方体棱长为，则，解得，
∴内切球半径为，表面积为．
故答案为：．
2、若圆柱的高h和底面半径r之比，且圆柱的体积，则_________．
【答案】
【分析】
根据与列方程求解即可.
【详解】
因为圆柱的高h和底面半径r之比，
所以，得．
故答案为：.
3、已知一圆台的底面圆的周长分别为和，高为4，则圆台的表面积为__________.
【答案】
【分析】
先计算出母线的长，再计算表面积和底面积，然后求和即可.
【详解】
解：圆台的上下底面半径分别为，则，，
圆台的母线长，
所以圆台的表面积，
故答案为：
4、若棱长为a的正四面体的各个顶点都在半径为R的球面上，则球的表面积为______.
【答案】
【分析】
如图所示，把正四面体放在正方体中，计算半径得到球的表面积.
【详解】
如图所示：把正四面体放在正方体中，设正方体的棱长为x，则，，
由题意得，，.
故答案为：
5、母线长为5的圆锥的侧面展开图的圆心角为，则该圆锥的底面圆的半径为_________，体积为_______．
【答案】4
【分析】
求出侧面展开图的弧长和底面圆半径，再求出圆锥的高，由此计算圆锥的体积．
【详解】
母线长为5的圆锥的侧面展开图的圆心角等于，
所以侧面展开图的弧长为：，
由弧长底面周长，即，，
所以圆锥的高为，
所以圆锥体积．
故答案为：4； .
6、如图，直三棱柱，高为6，底边三角形的边长分别为3、4、5，以上下底面的内切圆为底面，挖去一个圆柱，求剩余部分几何体的体积.
【答案】
【分析】
由勾股定理得底面是直角三角形，求得其内切圆的半径，再利用三棱柱和圆柱的体积公式可求得答案.
【详解】
因为，所以底面是直角三角形，
所以上、下底面内切圆半径，
所以剩余部分几何体的体积，
所以剩余部分几何体的体积为.
7、如图，在长方体中，截下一个棱锥，求棱锥的体积与剩余部分的体积之比．
【答案】
【分析】
利用棱锥和棱柱的体积公式即可求解.
【详解】
长方体可以看成四棱柱．设四棱柱的底面的面积为S，高为h，则它的体积为．
棱锥的底面面积为，高为h
因此，棱锥的体积，余下的体积是．
．
8、已知正四面体棱长为2，分别求该正四面体的外接球与内切球的半径.
【答案】
【分析】
设外接球和内切球的半径分别为R，r，球心O在高线上，底面中心为,根据正四面体棱长为2，分别求得，在中，由求外接球半径，利用等体积法由求内切球半径即可.,
【详解】
如图所示：
设外接球和内切球的半径分别为R，r，由于正四面体是中心对称图形，
所以外心和内心重合，球心O在高线上，底面中心为,
因为正四面体棱长为2，
所以，
在中，，即，
解得，
因为正四面体的体积为,
所以，
解得
9、在直三棱柱中，，，，.
（1）求三棱锥的表面积；
（2）求到面的距离.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）根据，得到为直角三角形，再根据直三棱柱，得到，为直角三角形，是等腰三角形，分别求得各三角形的面积即可.
（2）易得三棱锥与三棱锥的体积相等，又，则，利用等体积法求解.
【详解】
（1）因为，
所以为直角三角形，
则.
因为直三棱柱，
所以，为直角三角形，
则，，，
，
在等腰中，边上的高，则，
所以三棱锥的表面积.
（2）因为三棱锥与三棱锥的底面积相等，
高也相等（点C到平面的距离）；
所以三棱锥与三棱锥的体积相等.
又，
所以.
设到面的距离为H，
则，解得.
10、已知四棱台的上、下底面分别是边长为4和8的正方形，侧面是腰长为8的等腰梯形，求该四棱台的表面积.
【答案】
【分析】
首先求出四棱台上、下底面面积与侧面面积，然后求出表面积即可.
【详解】
如图，
在四棱台中，
过作，垂足为，
在中，，，
故，
所以，
故四棱台的侧面积，
所以四棱台的表面积.
11、如图所示，已知直角梯形，，，，，，求：
（1）以所在直线为轴旋转一周所得几何体的表面积；
（2）以所在直线为轴旋转一周所得几何体的表面积.
【答案】（1）（2）
【分析】
（1）以所在直线为轴旋转一周所得几何体是圆台，计算圆台的表面积得到答案.
（2）如图所示，以所在直线为轴旋转一周所得几何体是圆柱和圆锥的组合体，计算表面积得到答案.
【详解】
（1）以所在直线为轴旋转一周所得几何体是圆台，
其上底面半径是4cm，下底面半径是16cm，母线.
∴该几何体的表面积为.
（2）以所在直线为轴旋转一周所得几何体是圆柱和圆锥的组合体，
如图所示.其中圆锥的高为，由（1）可知圆锥的母线长为13cm，
又圆柱的母线长为4cm，
故该几何体的表面积为.