8.4空间点、直线、平面之间的位置关系-【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第二册同步讲义（机构专用）

8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系

1、平面的概念
（1）平面的定义
几何里所说的“平面”是从课桌面、黑板面、海洋这样一些物体中抽象出来的．但是，几何里的平面是无限延展的．
平面的两个特点：①平；②无限延展性．
点评：平面和点、直线的概念类似，是一个不加定义的原始概念，只能通过描述加以理解．正像点的特征是没有形状、大小、质量一样，直线也没有粗细、长短，可以无限延伸；平面也是无边界、无厚度、不可度量的．
（2）平面的画法．
①水平放置的平面通常画成一个平行四边形；
②它的锐角通常画成45°；
③横边长等于其邻边长的2倍．
如果一个平面被另一个平面遮住，为增强立体感，把挡住的部分用虚线画出来(如图所示)．
（3）平面的表示．
下图所示的平面可表示为：
①平面ABCD；②平面AC；③平面α.
2、空间点、直线、平面的位置关系及三种语言的转化
文字语言表达 数学符号语言 图形表示
点A在直线l上 A∈l
点A在直线l外 A?l
点A在平面α内 A∈α
点A在平面α外 A?α
直线l在平面α内 l?α
直线l在平面α外 l?α
直线l，m相交于点A l∩m＝A
平面α，β相交于直线l α∩β＝l
3、平面的基本性质
公理 内容 图形 符号
公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内

A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α?l?α
公理2 过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面
A，B，C三点不共线?存在唯一的平面α，使A，B，C∈α
公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线
P∈α且P∈β?α∩β＝l且P∈l
4、空间两条直线的位置关系：
①从是否有公共点的角度来分：

②从是否共面的角度来分：

5、异面直线
（1）定义：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线．
（2）画法：图形表示为如图所示(通常用一个或两个平面衬托)．
6、平行公理(公理4)
文字表述：平行于同一条直线的两条直线互相平行．这一性质叫做空间平行的传递性．
符号表述：? a∥c.
7、等角定理
空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．
如图，AB∥A1B1，BC∥B1C1，对于∠ABC与∠A1B1C1两个角的方向相同，这两个角相等；对于∠ABC与∠E1B1C1两个角的方向不同，这两个角互补，即∠ABC＋∠E1B1C1＝180°.
8、直线和平面的位置关系
位置 关系 直线a在平面α内 直线a在平面α外

直线a与平面α相交 直线a与平面α平行
公共点 有无数个公共点 有且只有一个公共点 无公共点
符号 表示 a?α a∩α a∥α
图形 表示


9、两个平面的位置关系
位置关系 图示 表示法 公共点个数
两平面平行
α∥β 0个
两平面相交
α∩β 有无数个
(在一条直线上)
题型一 平面
例 1　如图，四棱锥，， 是 的中点，直线交平面 于点 ，则下列结论正确的是（ ）
A． 四点不共面 B． 四点共面
C． 三点共线 D． 三点共线
【答案】D
【分析】
根据公理一、二、三逐一排除即可．
【详解】
直线与直线交于点，所以平面与平面交于点O，所以必相交于直线，直线在平面内，点故面，故四点共面，所以A错．
点若与共面，则直线在平面内，与题目矛盾，故B错．
为中点，所以，，故，故C错．
故选D．
下列说法正确的是______.
①平面的厚度是；
②经过一条直线和一个点确定一个平面；
③两两相交且不共点的三条直线确定一个平面；
④经过三点确定一个平面.
【答案】③
【分析】
根据欧式几何四个公理，对四个说法逐一判断是否正确.
【详解】
对于①，由于平面是可以无限延伸的，故①说法错误.对于②，这个必须在直线外，故②判断错误.对于③，由于三个交点各不相同，根据公理2可知，③说法正确.对于④，这三个点必须不在同一条直线上，故④判断错误.故本小题答案为：③.
题型二 异面直线
例 2　若a，b是异面直线，b，c是异面直线，则a，c的位置关系为( )
A．相交、平行或异面 B．相交或平行
C．异面 D．平行或异面
【答案】A
【分析】
根据异面直线的定义可得直线，的位置关系可能相交，可能平行，可能是异面直线．
【详解】
因为，是异面直线，，是异面直线，
则，的位置关系可能相交，可能平行，也可能是异面直线．
如下图所示，满足题意的条件，图①中，相交，图②中，平行，图③中，是异面直线.
故选：A．
在正方体中，与是（ ）
A．相交直线 B．平行直线
C．异面直线 D．相交且垂直的直线
【答案】C
【分析】
根据异面直线的概念可判断出与是异面直线.
【详解】
由图形可知，与不同在任何一个平面，这两条直线为异面直线.
故选：C.
题型三 三点共线
例 3　如下图，E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上的点，且直线EH与直线FG交于点O.求证：B，D，O三点共线．
证明：要证三点共线，只需确定一点在另两点确定的直线上即可．
∵E∈AB，H∈AD，
∴E∈平面ABD，H∈平面ABD，
∴EH?平面ABD，
∵EH∩FG＝O，
∴O∈平面ABD.
同理O∈平面BCD，即O∈平面ABD∩平面BCD.
又∵平面ABD∩平面BCD＝BD，
∴O∈BD，即B，D，O三点共线．
在四面体中，，分别是线段，的中点，，分别是线段，上的点，且．求证：
（1）四边形是梯形；
（2），，三条直线相交于同一点．
【答案】（1）见证明；（2）见证明
【分析】
（1）连结，推导出且，由此能证明四边形是梯形．
（2）设，则平面，平面，由平面平面，得，由此能证明，，三条直线相交于同一点．
【详解】
证明：（1）连结，
∵，分别是边，的中点，
∴，且，
又∵，
∴，且，
因此且，
故四边形是梯形．
（2）由（1）知，相交，设，
∵，平面，∴平面，
同理平面，又平面平面，
∴，
故和的交点在直线上．
所以，，三条直线相交于同一点．
题型四 点线面位置关系
例 4　已知直线l，m与平面α，β，l?α，m?β，则下列命题中正确的是（ ）
A．若l∥m，则必有α∥β B．若l⊥m，则必有α⊥β
C．若l⊥β，则必有α⊥β D．若α⊥β，则必有m⊥α
【答案】C
【分析】
对各选项举出反例或者根据判定定理进行判断即可
【详解】
解：对于选项A，平面α和平面β还有可能相交，所以选项A错误；
对于选项B，平面α和平面β还有可能相交或平行，所以选项B错误；
对于选项C，因为l?α，l⊥β，符合面面垂直的判定定理，所以α⊥β，所以选项C正确；
对于选项D，直线m可能和平面α不垂直，所以选项D错误．
故选：C．
下列四个命题中正确的是（ ）
① 如果一条直线不在某个平面内，那么这条直线就与这个平面平行；
② 过直线外一点有无数个平面与这条直线平行；
③ 过平面外一点有无数条直线与这个平面平行；
④ 过空间一点必存在某个平面与两条异面直线都平行．
A．①④ B．②③ C．①②③ D．①②③④
【答案】B
【分析】
①可由空间中直线与平面的位置关系判断； ② ③可由直线与平面平行的性质判断；④可用排查法判断．
【详解】
空间中直线与平面的位置关系有相交，平行与直线在平面内 ①错误，直线还可能与平面相交
②正确
③正确 因为过平面外一点有无数条直线与这个平面平行，且这无数条直线都在与这个平面平行的平面内．
④不一定正确 ,当点在其中一条直线上时，不存在平面与两条异面直线都平行.
故选B.
1、已知α，β是两个相交平面，其中l?α，则（　　）
A．β内一定能找到与l平行的直线
B．β内一定能找到与l垂直的直线
C．若β内有一条直线与l平行，则该直线与α平行
D．若β内有无数条直线与l垂直，则β与α垂直
【答案】B
【分析】
当l与α，β的交线相交时，β内不能找到与l平行的直线；由直线与平面的位置关系知β内一定能找到与l垂直的直线；β内有一条直线与l平行，则该直线与α平行或该直线在α内；β内有无数条直线与l垂直，则β与α不一定垂直.
【详解】
由α，β是两个相交平面，其中l?α，知：
在A中，当l与α，β的交线相交时，β内不能找到与l平行的直线，故A错误；
在B中，由直线与平面的位置关系知β内一定能找到与l垂直的直线，故B正确；
在C中，β内有一条直线与l平行，则该直线与α平行或该直线在α内，故C错误；
在D中，β内有无数条直线与l垂直，则β与α不一定垂直，故D错误．
故选：B．
2、下列说法中正确的是( )
A．过一点有且只有一条直线与已知直线平行
B．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
C．过平面外一点有且只有一条直线与该平面平行
D．过平面外一点有且只有一个平面与该平面平行
【答案】D
【分析】
根据空间点、线、面间的位置关系进行判断，即可得出结论.
【详解】
解：对于A，当点在已知直线上时，不存在过该点的直线与已知直线平行，故A错；
对于B，由于垂直包括相交垂直和异面垂直，因而过一点与已知直线垂直的直线有无数条，故B错；
对于C，过平面外一点与已知平面平行的直线有无数条，
如过正方体的上底面的中心任意作一条直线（此直线在上底面内），此直线均与下底面平行，故C错；
对于D，过平面外一点与已知平面平行的平面有且只有一个，故D对.
故选：D.
3、若直线不平行于平面且，则下列结论成立的是( )
A．平面内的所有直线与异面
B．平面内不存在与平行的直线
C．平面内存在唯一的直线与平行
D．平面内的直线与都相交
【答案】B
【分析】
由题意知直线与平面相交，依次判断选项即可.
【详解】
解:由条件知直线与平面相交，
则平面内的直线与可能相交，也可能异面.不可能平行
故选:B.
4、如图在三棱柱中，下列直线与成异面直线的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据空间中直线与直线的位置关系判断出各选项中的直线与直线的位置关系，可得出结论.
【详解】
由在三棱柱中，，，与异面，.
故选：C.
5、经过平面外一点和平面内一点与平面垂直的平面有( )
A．1个 B．2个 C．无数个 D．1个或无数个
【答案】D
【分析】
讨论平面外一点和平面内一点连线，与平面垂直和不垂直两种情况.
【详解】
（1）设平面为平面，点为平面外一点，点为平面内一点，
此时，直线垂直底面，过直线的平面有无数多个与底面垂直；
（2）设平面为平面，点为平面外一点，点为平面内一点，
此时，直线与底面不垂直，过直线的平面，只有平面垂直底面.综上，过平面外一点和平面内一点与平面垂直的平面有1个或无数个，故选D.
6、若平面和直线，满足，，则与的位置关系一定是（ ）
A．相交 B．平行 C．异面 D．相交或异面
【答案】D
【分析】
当时与相交，当时与异面.
【详解】
当时与相交，当时与异面.
故答案为D
7、下列说法正确的是（ ）
A．不共面的四点中，其中任意三点不共线
B．若点，，，共面，点，，，共面，则，，，，共面
C．若直线，共面，直线，共面，则直线，共面
D．依次首尾相接的四条线段必共面
【答案】A
【分析】
利用反证法可知正确；直线与直线异面时，不共面，排除；中可为异面直线，排除；中四条线段可构成空间四边形，排除.
【详解】
选项：若任意三点共线，则由该直线与第四个点可构成一个平面，则与四点不共面矛盾，则任意三点不共线，正确；
选项：若三点共线，直线与直线异面，此时不共面，错误；
选项：共面，共面，此时可为异面直线，错误；
选项：依次首尾相接的四条线段可构成空间四边形，错误.
本题正确选项：
8、已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是( )
A．若α∥β,mα,nβ，则m∥n B．若α⊥β，mα,则m⊥β
C．若α⊥β,mα,nβ,则m⊥n D．若α∥β，mα，则m∥β
【答案】D
【分析】
在中，与平行或异面；在中，与相交、平行或；在中，与相交、平行或异面；在中，由线面平行的性质定理得．
【详解】
由，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，知：
在中，若，，，则与平行或异面，故错误；
在中，若，，则与相交、平行或，故错误；
在中，若，，，则与相交、平行或异面，故错误；
在中，若，，则由线面平行的性质定理得，故正确．
故选．
9、设a，b是两条不同的直线，，是两个不同的平面，给出下列四个命题：
①如果，，那么；
②如果，，，那么；
③如果，，那么；
④如果，，那么．
其中正确命题的序号是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】C
【分析】
根据空间线面位置关系的定义、性质进行判断.
【详解】
①如果，，则可以相交、平行或异面，故错误；
②如果，，，则没有公共点，所以可以平行或异面，故错误；
③如果，，则，故正确；
④如果，不妨设，又，则当时，，则当不垂直于时，与不垂直，故错误，
故选：C.
10、若点是两条异面直线外的一点，则过点且与都平行的平面有______个.
【答案】0或1
【分析】
利用线面平行的判断定理，可得结论.
【详解】
解：点在过且与平行的平面或过且与平行的平面内时，没有满足条件的平面；
当点不在上述两个平面内时，满足条件的平面只有1个.
故答案为：0或1.
11、如图，在正方体中，分别是棱的中点.试判断以下各对线段所在的直线的位置关系：
（1）与：____________.
（2）与：____________.
（3）与：____________.
（4）与：____________.
【答案】异面 异面 平行 相交
【分析】
根据平行直线、异面直线、相交直线的判定方法，即得解.
【详解】
（1）因为平面，平面，平面，，所以所在直线与所在直线是异面直线.
（2）的延长线与的延长线相交，交点不在所在直线上，所以与异面.（3）取的中点，连接，可证四边形为平行四边形，所以.又因为，所以由基本事实4知，.
（4）延长，与的延长线交于同一点，所以与相交.