8.5空间直线、平面的平行-【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第二册同步讲义（机构专用）

8.5 空间直线、平面的平行

一、判定定理：
　　定理 表示　　 线面平行的判定定理 面面平行的判定定理
文字叙述 平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行
符号表示

图形表示

二、性质定理：
线面平行的性质定理 面面平行的性质定理
文字语言 一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行
符号语言

图形语言

作用 线面平行?线线平行 面面平行?线线平行
题型一 线面平行判定
例 1　如图，四棱锥中，底面为梯形，，，，点在棱上.
求证：平面
【详解】因为，平面，平面，所以平面；
已知三棱柱中，平面ABC，，，M为AC中点.
证明:直线平面
【分析】
连接交于点O，再证明，得证；
【详解】
证明：连接交于点O，连接OM，
为平行四边形，
为的中点，
又M为AC的中点，
.
又平面，平面.
平面.
题型二 面面平行判定
例 2　如图，在三棱柱中，、、、分别是、、、的中点.
（1）求证：、、、四点共面；
（2）求证：平面平面；
（3）若、分别为、的中点，求证：平面平面.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析.
【分析】
（1）证明出，即可证明出、、、四点共面；
（2）证明，可得平面，证明四边形是平行四边形，可得出，可证明出平面，再利用面面平行的判定定理可证明出结论；
（3）连接交于点，可得出，可证明出平面，证明出四边形为平行四边形，可得出，可得出平面，然后利用面面平行的判定定理可证明出结论.
【详解】
（1）是的中位线，.
在三棱柱中，且，则四边形为平行四边形，
，，因此，、、、四点共面；
（2）、分别为、的中点，.
平面，平面，平面.
在三棱柱中，且，则四边形为平行四边形，
且，
、分别为、的中点，且，
四边形是平行四边形，则，
平面，平面，平面.
，且平面，平面，平面平面；
（3）如图所示，连接，设与的交点为，连接，
四边形是平行四边形，是的中点，
为的中点，.
平面，平面，平面.
由（1）知，四边形为平行四边形，则且，
、分别为、的中点，所以，且，
四边形为平行四边形，，
又平面，平面，平面.
又，平面，平面，
平面平面.
如图为一简单组合体，其底面为正方形，棱与均垂直于底面，，求证：平面平面.
【答案】见解析
【分析】
由正方形的性质得出，可得出平面，由线面垂直的性质定理得出，可得出平面，再利用面面平行的判定定理可证得结论.
【详解】
由于四边形是正方形，，
平面，平面，平面，
平面，平面，，
平面，平面，平面，
，平面平面.
题型三 性质应用
例 3　如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，是的中点，在上取一点，过点和作平面，交平面于，点在线段上.求证：.
【答案】证明见解析
【分析】
连接交于点，连接，推导出．从而平面．由线面平行的性质定理可证明．
【详解】
证明：如图，连接，设交于点，连接．
∵四边形是平行四边形，
∴是的中点
又是的中点，∴.
又平面，平面BDM，
∴平面
又平面，平面平面，
∴．
如图，过正方体的顶点、与棱的中点的平面与底面所在平面的交线记为，则与的位置关系为_________.
【答案】
【分析】
利用面面平行的性质定理可得出与的位置关系.
【详解】
如图所示，连接、，
在正方体中，平面平面，且平面平面，平面平面，所以.
故答案为：.
题型四 翻折问题
例 4　如图甲，在直角梯形中，，，，、、分别为、、的中点，现将沿折起，如图乙.求证：平面平面.
【答案】证明见解析
【分析】
分别证明出平面，平面，然后利用面面平行的判定定理可得出平面平面.
【详解】
翻折前，在图甲中，，，，
翻折后，在图乙中，仍有，
、、分别为、、的中点，，，，
平面，平面，平面.
平面，平面，平面.
又，平面平面.
如图，在平面四边形中，，，，，分别在，上，且，现将四边形沿折起，使.若，在折叠后的线段上是否存在一点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
【答案】存在；
【分析】
存在，使得平面，此时，易知，过作，与交，则，可证四边形为平行四边形，得到，因此平面成立．
【详解】
在折叠后的线段上存在一点，使得平面ABEF，此时以下为证明过程：
当时，，过点作，交于点，连接，
则有.
∵，∴，
∴.又，，四边形为平行四边形，
∴，又平面，平面，∴平面成立.
题型五 比值求解
例 5　如图所示，已知，，都是平面，且，两条直线l，m分别与平面，，相交于点A，B，C和点D，E，F. 求证：.
【答案】证明见解析
【分析】
连接DC，设DC与平面相交于点G，连，根据面面平行的性质定理，可得，利用三角形相似关系，即可证明结论.
【详解】
证明：连接DC，设DC与平面相交于点G，
则平面ACD与平面，分别相交于直线AD，BG，
平面DCF与平面，分别相交于直线GE，CF.
因为，所以，因此，
因此.同理可得.因此.
已知：如图，三棱柱中，点D，分别为AC，上的点．若平面平面，求的值．
【答案】1
【分析】
连接交于点O，连接，由平面平面，得到，由平面平面，得到，是平行四边形，根据，得到，所以得到.
【详解】
如图，连接交于点O，连接．
由棱柱的性质，知四边形为平行四边，
所以点O为的中点．
因为平面平面，
且平面平面，
平面平面，
所以，
所以为线段的中点，
所以．
因为平面平面，
且平面平面，
平面平面，
所以．
又因为，
所以四边形是平行四边形，
所以，所以．
1、如图，在四面体中，是的中点，是的中点，点在线段上，且求证：平面.
【答案】证明见解析
【分析】
取的中点，在线段上取点，使得，连接、、，证明出四边形为平行四边形，可得出，再利用直线与平面平行的判定定理可证明出平面.
【详解】
如下图所示，取的中点，在线段上取点，使得，连接、、.
，，，且.
、分别为、的中点，，且.
为的中点，.
且，四边形是平行四边形，.
平面，平面，平面.
2、如图所示，在正方体中，、、、分别为、、、的中点，求证：
（1）、、、四点共面；
（2）平面平面．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【分析】
（1）利用中位线的性质得出，再证明出，利用平行线的传递性得出，即可证明出、、、四点共面；
（2）连接、，证明四边形是平行四边形，可得出，利用直线与平面平行的判定定理可证明出平面，同理可证明出平面，最后利用平面与平面平行的判定定理可证明出平面平面．
【详解】
（1）、分别是、的中点，，
在正方体中，，四边形为平行四边形，
，，因此，、、、四点共面；
（2）如下图所示，连接、，
在正方体中，，
、分别为、的中点，，则四边形为平行四边形，
，，，则四边形为平行四边形，，
平面，平面，平面，
同理可证平面，
，平面平面.
3、如图，在三棱柱中，、分别是棱，的中点，求证：
（1）平面；
（2）平面平面．
【答案】（1）见证明；（2）见证明
【分析】
（1）设与的交点为，连结，证明，再由线面平行的判定可得平面；
（2）由为线段的中点，点是的中点，证得四边形为平行四边形，得到，进一步得到平面．再由平面，结合面面平行的判定可得平面平面．
【详解】
证明：（1）设与的交点为，连结，
∵四边形为平行四边形，∴为中点，
又是的中点，∴是三角形的中位线，则，
又∵平面，平面，
∴平面；
（2）∵为线段的中点，点是的中点，
∴且，则四边形为平行四边形，
∴，
又∵平面，平面，
∴平面．
又平面，，且平面，平面，
∴平面平面．
4、已知底面是平行四边形的四棱锥中，点在上，且，在棱上是否存在一点，使平面？证明你的结论.
【答案】见解析
【解析】
【分析】
连接交于，连接，过点作的平行线交于点，过点作，交于点，连接，利用线面平行的判定定理，证得平面，同理平面，证得平面平面，得到平面，进而得到，即可得到答案．
【详解】
在棱上存在点，使平面，
证明：如图所示，连接交于，连接，过点作的平行线交于点，过点作，交于点，连接，
因为，平面，平面，
所以平面，同理，平面，
又，所以平面平面，所以平面，
因为，是的中点，所以是的中点，
又因为，所以是的中点，
而，所以为的中点，
综上可知，当点是的中点时，平面.
5、如图所示，已知四边形是正方形，四边形是矩形，，，是线段的中点.求证：平面.
【答案】证明见解析
【分析】
设与的交点为，连接，利用线面平行的判定定理，即可证明结果.
【详解】
证明：如图，记与的交点为，连接.
∵ 分别是的中点，四边形是矩形，
∴，且，
∴四边形是平行四边形，∴.
又平面BDE，平面BDE，
∴平面BDE.
6、如图，在直三棱柱中，分别是和的中点.求证：平面.
【答案】证明见解析
【分析】
取的中点D，由中位线定理和平行线的传递性可证四边形为平行四边形，可得，再根据线面平行的判定定理即可证明结果.
【详解】
证明：取的中点D，连接，.
∵M，D分别为AC，的中点，∴且.
又为的中点，∴且，
∴且，∴四边形为平行四边形，
∴.
∵平面平面，
∴平面.
7、如图，在斜三棱柱中，为上的点．当为何值时，平面？
【答案】当时，平面.
【分析】
先由题意，判断出结果；再连接交于点，连接，根据线面平行的判定定理，证明平面即可.
【详解】
当时，平面.
如图，连接交于点，连接.
由三棱柱的性质知，四边形为平行四边形，
所以点为的中点.
在中，分别为的中点，
.
又平面，平面，
平面，
∴当时，平面.