8.6空间直线、平面的垂直-【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第二册同步讲义（机构专用）

8.6 空间直线、平面的垂直

1、直线与平面垂直
（1）定义：如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面α垂直，记作l⊥α；直线l叫做平面α的垂线；平面α叫做直线l的垂面；直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫做垂足．
（2）画法：通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直．
（3）判定定理：文字描述，一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．符号表示：a?α，b?α，a∩b＝A，l⊥a，l⊥b?l⊥α.
2、面面垂直
（1）定义：如果两个平面相交，且它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．
（2）画法：
记作：α⊥β.
（3）面面垂直的判定定理．
文字语言：一个平面过另一个平面的一条垂线，则这两个平面垂直．
符号表示：
3、性质定理
直线与平面垂直 平面与平面垂直
文字语言 垂直于同一个平面的两条直线平行　　　 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直
符号语言

图形语言

作用 ①线面垂直?线线平行；
②作平行线　　 　 ①面面垂直?线面垂直；
②作面的垂线　
4、异面直线所成的角
（1）定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，我们把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．
（2）异面直线所成的角θ的取值范围：(0°，90°].
（3）当θ＝90°时，a与b互相垂直，记作a⊥b．
5、直线与平面所成的角
（1）定义：一条直线和一个平面相交，但不垂直，这条直线称为平面的斜线，斜线与平面的交点叫做斜足．
过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过斜足和垂足的直线叫做斜线在平面上的射影．平面的一条斜线和它
在平面上的射影所成的锐角，叫做直线和平面所成的角.
如图，∠PAO就是斜线AP与平面α所成的角．
（2）特别的，当直线AP与平面α垂直时，它们所成的角是90°；当直线与平面平行，或在平面内时，它们所成的角是0°．
（3）直线和平面所成角θ的范围[0°，90°]．
6、二面角
（1）二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角；这条直线叫做二面角的棱．这两个半平面叫做二面角的面．
如图，记作：二面角α-l-β或P-AB-Q或P-l-Q．
（2）二面角的平面角．
如图，二面角α-l-β，
若有：①O∈l；
②OA?α，OB?β；
③OA⊥l，OB⊥l.
则∠AOB就叫做二面角α-l-β的平面角．
题型一 线面垂直
例 1　如图，已知平面，四边形为矩形，四边形为直角梯形，，，，.求证：平面
【分析】
先证明AC⊥BE,再取的中点，连接，经计算，利用勾股定理逆定理得到AC⊥BC,然后利用线面垂直的判定定理证得结论；
【详解】
解：证明：∵四边形为矩形∴
∵平面∴平面
∵平面∴.
如图，取的中点，连接，
∴
∵，，
∴四边形是正方形.
∴∴，
∵∴∴是直角三角形∴.
∵，、平面
∴平面
已知如图所示的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是AB、A1C的中点.
（1）求证：EF∥平面ADD1A1；
（2）求证：EF⊥平面A1DC．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【分析】
（1）连接AD1，通过证明四边形AEFO是平行四边形，得到EF∥AO，然后利用线面平行的判定定理，可得结果.
（2）利用线面垂直的判定定理可得AD1⊥平面A1DC，然后根据EF∥AD1，最后可得结果.
【详解】
证明：（1）如图，连接AD1，设AD1∩A1D＝O，连接OF，
则由正方体ABCD-A1B1C1D1可得：点O是A1D的中点，
因为点F是A1C的中点，所以//且.
又E是AB的中点，所以//且
所以//且
则四边形AEFO是平行四边形，所以EF∥AO，
而AO平面ADD1A1，EF平面ADD1A1，
所以EF∥平面ADD1A1.
（2）由正方体ABCD-A1B1C1D1可得：DC⊥平面ADD1A1，
而AD1平面ADD1A1，所以DC⊥AD1，
又AD1⊥A1D，且A1D∩DC＝D，DC平面A1DC，A1D平面A1DC，
所以AD1⊥平面A1DC.
再由（1）可知：EF∥AD1，
所以EF⊥平面A1DC.
题型二 面面垂直
例 2　如图，四面体ABCD中，点E，F分别为线段AC，AD的中点，平面平面，，，垂足为H.
（1）求证：；
（2）求证：平面平面ABC.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【分析】
本题考查线面平行与线面垂直的判定，难度不大.
（1）利用线面平行的判定定理证得平面BCD，进而利用线面平行的性质定理证得；
（2）利用线面垂直的判定定理证得平面ADB，进而证得平面CDH，然后由面面垂直判定定理证得结论.
【详解】
证明：（1）因为点E、F分别为线段AC、AD的中点，
为的中位线，则，
平面BCD，平面BCD，
平面BCD，又平面EFNM，
平面平面，；
（2），
，，
，平面ADB，平面ADB，
平面ADB，
又，，平面DCH，平面DCH，
平面CDH，平面ABC，
平面平面ABC.
如图所示，在五面体中，四边形是平行四边形.
（1）求证：平面；
（2）若，，求证：平面平面.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【分析】
（1）推导出，从而得出面，由线面平行的性质定理，得，由此能证明平面；
（2）推导出，，从而得出平面，由此能证明平面平面．
【详解】
（1）因为四边形是平行四边形，所以，
又因为平面，平面，所以平面，
又因为平面，平面平面，所以，
又因为平面，平面，所以平面；
（2）因为四边形是平行四边形，所以，
又因为，所以，
又因为，，平面，平面，
所以平面，
又因为平面，所以平面平面.
题型三 性质应用及异面直线夹角
例 3　如图，等腰直角三角形ABC的直角边，沿其中位线DE将平面ADE折起，使平面平面BCDE，得到四棱锥，设CD，BE，AE，AD的中点分别为M，N，P，Q．
（1）求证：M，N，P，Q四点共面．
（2）求证：平面平面ACD．
（3）求异面直线BE与MQ所成的角．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）.
【分析】
（1）证明，说明四点共面；（2）要证明面面垂直，需证明线面垂直，即 证明平面；（3）延长ED至R，使，延长ED至R，使，将异面直线所成的角转化为相交直线所成的角，即为异面直线BE与QM所成的角（或补角）．
【详解】
（1）由题意易知：，，
所以，
所以M，N，P，Q四点共面．
（2）因为平面平面BCDE，平面平面，
而，所以平面BCDE，即，
又，所以平面ACD，
而平面ABC，所以平面平面ACD．
（3）由条件知，，，延长ED至R，使，
延长ED至R，使，则，，
故ERCB为平行四边形，
所以，又．
所以为异面直线BE与QM所成的角（或补角）．
因为，且三线两两互相垂直，
由勾股定理得．
因为三角形ACR为正三角形，所以．
所以异面直线BE与MQ所成的角为．
如图，正方体的棱长为，动点在线段上，、分别是、的中点，则下列结论中正确的是______________.
①与所成角为；
②平面；
③存在点，使得平面平面；
④三棱锥的体积为定值.
【答案】②④
【分析】
利用线线平行，找出异面直线的夹角的平面角，求出即可，可判断①的正误；根据线面垂直的判定定理即可判断②的正误；利用面面平行的性质定理可判断③的正误；利用等体积法即可求出棱锥的体积，可判断④的正误.综合可得出结论.
【详解】
对于①，、分别为、的中点，，
在正方体中，且，则四边形为平行四边形，
，异面直线与所成的角为，
在中，，所以，为等边三角形，则，即①错误；
对于②，，，，，
，，
又因为平面，且平面，所以，
因为，所以平面，即②正确；
对于③，若平面平面，因为平面平面，
所以平面平面，但平面与平面有公共点，所以③错误；
对于④，（定值），即④正确.
故答案为：②④.
题型四 直线与平面的夹角
例 4　如图所示，平面ABEF⊥平面ABC，四边形ABEF是矩形，AB＝2，AF＝，△ABC是以A为直角的等腰直角三角形，点P是线段BF上的一点，PF＝3.
（1）证明：AC⊥BF；
（2）求直线BC与平面PAC所成角的正切值.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【分析】
（1）要证明线线垂直，需证明线面垂直，利用题中的垂直关系，易证明平面；（2）由题中所给的长度，证明平面，即∠BCP为直线BC与平面PAC所成的角，在Rt△BCP中，求线面角的正切值.
【详解】
(1)证明：因为△ABC是以A为直角的等腰直角三角形，
所以AC⊥AB，
又平面ABEF⊥平面ABC，平面ABEF∩平面ABC＝AB，
所以AC⊥平面ABEF.
因为BF?平面ABEF，所以AC⊥BF.
(2)在矩形ABEF中，AB＝2，AF＝2，
则BF＝4，又PF＝3，
所以FA2＝PF·BF，所以BF⊥AP，
由(1)知AC⊥BF，又AC∩AP＝A，所以BF⊥平面PAC，
则∠BCP为直线BC与平面PAC所成的角.
如图，过点P作PM∥AB交BE于点M，过点P作PN⊥AB于点N，
连接NC，
因为BF＝4，PF＝3，所以PB＝1，则，
所以PM＝BN＝，BM＝PN＝，AN＝AB－BN＝2－＝，
所以CN＝＝，PC＝＝.
在Rt△BCP中，tan∠BCP＝.
故直线BC与平面PAC所成角的正切值为.
如图，已知四棱锥中，平面，，，，，是的中点.
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ） .
【分析】
（Ⅰ）要证明线面平行，需转化为证明线线平行，取中点，连，可证明四边形为平行四边形，从而证明；（Ⅱ）法一，连结，证明平面，即为所求；法二：是中点，连转化为求与平面的线面角.
【详解】
（Ⅰ）取中点，连.易知，且，，且,所以，且，
所以四边形为平行四边形，所以.又因为，，所以
（Ⅱ）(一)连.由，，所以，.
在直角梯形上，.
.又，所以

又.，所以为直线与平面所成角
…
(二)设是中点，连因为，则，作，所以为，也即直线与平面所成角
题型五 二面角
例 5　如图，四棱锥S-ABCD的底面是边长为2的正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，P为侧棱SD上的点.
（1）求证:AC⊥SD；
（2）若SD⊥平面PAC，求二面角P-AC-D的大小.
【答案】（1）证明见解析（2）30°
【分析】
（1）连接交于点，连接，易得，，所以平面，从而得到；（2）根据得到，从而得到，，为二面角的平面角，再求出，，得到，从而得到二面角.
【详解】
（1）连接交于点，连接，
由题意，底面为正方形，
侧棱，
所以，
在正方形中，，
又因为，且平面，平面，
所以平面，
又因为平面，
所以.
（2）连接，因为平面，
所以，，
又因为在和中，
，，，
所以.
所以
又因为的中点，
所以，.
所以为二面角的平面角，
又因为，在中由等面积法，
得，
，
在中，，，
所以.
故二面角的大小为.
如图，把等腰直角三角形沿斜边所在直线旋转至的位置，使.
(1)求证:平面平面；
(2)求二面角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析(2)
【分析】
（1）取的中点，连接，可得得，根据三角形中的几何关系，得到，从而得到，所以得到平面，再得到平面平面；（2）取的中点，连接，，再在直角三角形中，得到，从而得到二面角的余弦值.
【详解】
（1）如图，取的中点，连接，
是等腰直角三角形， ，且.
连接，同理得，且，
，.
，，
为等腰直角三角形，，
又，平面，
平面.
又平面，
∴平面平面.
（2）取的中点，连接.
易知为等边三角形， .
又为等腰直角三角形，.
为二面角的平面角.
由（1）知，，
且平面，，
所以平面，平面，
.
为直角三角形.
设，则，
所以，
则，
，
即二面角的余弦值为.
1、如图所示，垂直于以为直径的圆所在的平面，为圆上异于的任一点，则下列关系中不正确的是（ ）
A． B．平面 C． D．
【答案】C
【分析】
由平面，得，再由，得到平面，进而得到，即可判断出结果.
【详解】
因为垂直于以为直径的圆所在的平面，
即平面，得，A正确；
又为圆上异于的任一点，所以，
平面，，B，D均正确.
故选C.
2、如图所示，在四面体中，若，，E是的中点，则下列结论中正确的是（ ）
A．平面平面
B．平面平面
C．平面平面，且平面平面
D．平面平面，且平面平面
【答案】C
【分析】
根据条件易知，，从而得到平面，所以平面平面，平面平面
【详解】
因为，且是的中点，所以
因为，且是的中点，所以
又，平面，
所以平面.
因为平面，
所以平面平面.
因为平面，
所以平面平面.
故选：C.
3、在四面体中，，，二面角为直二面角，是的中点，则的大小为（ ）
A．45° B．90° C．60° D．30°
【答案】B
【分析】
设，取的中点，连接，可得，，结合条件得到，利用勾股定理得到，从而得到为正三角形，根据是的中点，得到
【详解】
如图，设，
取的中点，连接，
所以得到，，
所以为二面角的平面角，
因为二面角为直二面角，
所以，
在等腰直角三角形和中，
，
在中，易得，
所以为正三角形.
又因为是的中点，所以，
即.
故选：B.
4、如图，四棱锥的底面为正方形，底面，则下列结论中不正确的是（ ）
A．
B．平面
C．平面平面
D．与所成的角等于与所成的角
【答案】D
【分析】
结合直线与平面垂直的判定和性质，结合直线与平面平行的判定，即可．
【详解】
A选项，可知可知，故，正确；
B选项，AB平行CD，故正确；
C选项，，故平面平面，正确；
D选项，AB与SC所成的角为，而DC与SA所成的角为，故错误，故选D．
5、如图，在四棱锥中，底面四边形满足，，，且为的中点.
（1）求证：平面；
（2）若平面平面，且，求证：平面平面.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【分析】
（1）取的中点，连结，，推导出四边形是平行四边形，得到，由线面平行的判定定理，即可证明平面．
（2）由面面垂直的性质定理可证平面，，，得到平面，由面面垂直的判定定理，可证明平面平面．
【详解】
证明：（1）取的中点，连接，.
因为是的中点，
所以为的中位线，
所以.
又因为，
所以，
所以四边形为平行四边形，
所以.
又平面，平面，
所以平面.
（2）因为平面平面，且平面平面，，平面，所以平面.
∵平面，∴.
又因为，为的中点，所以，
∵平面，平面，且，
所以平面.
又平面，
所以平面平面.
6、如图，在三棱锥中，，，，为线段的中点.

求证：平面.
【答案】见解析
【分析】
推导出平面，可得出，再利用等腰三角形三线合一的思想得出，利用线面垂直的判定定理可得出平面.
【详解】
，，，平面，
平面，.
，为的中点，.
，因此，平面.
7、如图在四棱锥中，底面是矩形，点、分别是棱和的中点.
（1）求证：平面；
（2）若，且平面平面，证明平面.
【答案】(1)见证明；(2)见证明
【分析】
（1）可证，从而得到要求证的线面平行.
（2）可证，再由及是棱的中点可得， 从而得到平面.
【详解】
（1）证明：因为点、分别是棱和的中点，所以，又在矩形中，，所以，
又面，面，所以平面
（2）证明：在矩形中，，又平面平面，平面平面，面，
所以平面，
又面，所以①
因为且是的中点，所以，②
由①②及面，面，，所以平面 .
8、如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面，，，、分别为、的中点.
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求证：平面平面；
（Ⅲ）求证：平面.
【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）见解析.
【分析】
（1）欲证，只需证明即可；
（2）先证平面，再证平面平面；
（3）取中点，连接，证明，则平面.
【详解】
（Ⅰ）∵，且为的中点，∴.
∵底面为矩形，∴，∴；
（Ⅱ）∵底面为矩形，∴.
∵平面平面，平面平面，平面，
∴平面，又平面，∴.
又，，、平面，平面，
∵平面，∴平面平面；
（Ⅲ）如图，取中点，连接.
∵分别为和的中点，∴，且.
∵四边形为矩形，且为的中点，∴，
∴，且，∴四边形为平行四边形，
∴，又平面，平面，∴平面.
9、如图，已知，斜边，点，，为垂足，，，求二面角的大小.
【答案】60°
【分析】
过作，证明出，从而得到是二面角的平面角，再结合已知条件，得到，的长，利用等面积法得到，再由得到，从而得到答案.
【详解】
如图，在平面内，过作，垂足为点，连接，
设.
，，.
又，平面，
平面.
而平面，，
是二面角的平面角.
由，，，
知，.
，，，
，，.
在中，，
，
，
在中，，
，
即二面角的大小是.
10、如图，在三棱柱中，侧棱平面，、分别是、的中点，点在侧棱上，且，，求证：
（1）直线平面；
（2）平面平面.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【分析】
（1）由中位线的性质得出，由棱柱的性质可得出，由平行线的传递性可得出，进而可证明出平面；
（2）证明出平面，可得出，结合可证明出平面，再由面面垂直的判定定理即可证明出结论成立.
【详解】
（1）、分别为、的中点，为的中位线，，
为棱柱，，，
平面，平面，平面；
（2）在三棱柱中，平面，
平面，，
又且，、平面，
平面，而平面，故.
又，且，、平面，
平面，又平面，平面平面.