沪教版（上海）数学七年级第二学期-14.7 等边三角形 教案

14.7
等边三角形
教学目标：
1.掌握等边三角形三个内角相等且等于等于60°的性质.
2.经历等边三角形判定方法的讨论、发现、归纳、说理过程，体会分类讨论的思想；掌握等边三角形的判定方法.
教学重点：等边三角形的性质、判定、应用.
教学难点：等边三角形的性质和判定的正确运用.
教学过程：
教师活动
学生活动
设计意图
引入
问：三角形按边分类可以如何分？
三条边相等的三角形是等边三角形，它是等腰三角形的特例，今天我们就来探究等边三角形的性质和判定.
学习新知
1.等边三角形的性质
等边三角形具备等腰三角形的所有性质，等边三角形还有什么特有的性质呢?
问：三个内角都为多少度呢？为什么？
符号语言表示：
∵△ABC是等边三角形（或AB=BC=AC）
∴∠A=∠B=∠C=60°（等边三角形的每个内角都为60°）
2.等边三角形的判定
思考：等腰三角形再添加什么条件能变为等边三角形？
师归纳：（1）三条边相等的三角形是等边三角形；
（2）三个角都相等的三角形是等边三角形；
等边三角形每个角均为60°，反过来有一个为60°的等腰三角形是等边三角形吗？
（3）有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形.
符号语言表示：
∵∠A=∠B=∠C
∴△ABC是等边三角形（三个内角都相等的三角形是等边三角形）
∵在△ABC中，AB=AC，
∠A=60°（或∠B=60°或∠C=60°）
∴△ABC是等边三角形（有一个内角等于60°的等腰三角形是等边三角形.）
例1如图，已知B、C、E在一直线上，△ABC、△DCE都是等边三角形，联结AE,BD,试说明△ACE与△BCD全等的理由
边读题用不同颜色标注两个等边三角形，将△ACE与△BCD分解出来
问：要说明△ACE≌△BCD，已有哪些条件？还缺什么条件？
问：所缺条件BD=AE或∠BCD=∠ACE中，哪个根据已知条件可以得出？怎么得到？
解：∵△ABC是等边三角形（已知）
∴AC=BC,
∠1=60°(等边三角形性质)
同理，CD=CE,
∠2=60°
∴∠1=∠2　(等量代换)
∴∠1+∠3=∠2+∠3（等式性质）
即∠BCD=∠ACE
在△ACD与△BCE中
AC=BC
（已求）
∠ACE=∠BCD（以求）
CD=CE（已求）
∴△ACD≌△BCE(S.A.S)
变式：若把上题中的△ABC绕着点C转动到任意位置，△ACE还能与△BCD全等吗？（如下左图）
若把△ABC旋转到点B落在边CE上（如上右图），就是书上的例题，大家可以课后看.
小结：寻找说明全等的条件可以利用等边三角形的性质.
拓展：
问：△ACD≌△BCE(S.A.S)又可以得到什么结论呢？
问：图中还有全等三角形吗？为什么？
将△ECF，△DCG分解出来
同理也可以得到△BCG≌△ACF
问：若联结GF，则△CGF是什么三角形呢？为什么？
此处变式与拓展可视班级学生情况进行选讲
练习1
如图，已知△ABC是等边三角形，点D为BC延长线上一点，CE平分∠ACD，CE=BD，试说明△DAB
与△EAC全等的理由.
练习2
如图，已知点D、E、F分别在AB、BC、CA上，△DEF是等边三角形，且∠1=∠2=∠3，△ABC是等边三角形吗？试说明理由.
问：如何说明一个三角形是等边三角形呢？
问：那此题选用那种方法说明？
如何做？
书写方法可以更简单，先说明△BDE≌△CFE，然后同理可得△CFE
≌△ADF.
问：还可以用其它的方法说明吗？
解：∵△DEF是等边三角形（已知）
∴∠1=∠2=∠3=60°（等边三角形每个内角是60°）
∵∠4+∠1=∠2+∠A（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和）
又∵∠1=∠2（已知）
∴∠A=∠4=60°(等式性质)
同理可得∠B=60°,
∠C=60°
∴∠A=∠B=∠C（等量代换）
∴△DEF是等边三角形（三个角都相等的三角形是等边三角形）
问：哪种方法更加简单？
由此可见，利用三角形外角的性质有时可以更加简单的解决问题.
课堂练习：
1．如图，已知△ABC是等边三角形，D为BC延长线上一点，CE平分∠ACD,CE=BD,试说明△DAB与△EAC全等的理由．
2．如图，已知点B、C、E在一直线上，△ABC、△DCE都是等边三角形，联结AE、BD,试说明△ACE与△BCD全等的理由．
3．如图，已知点D、E、F分别在AB、BC、CA上，△DEF是等边三角形，且∠1=∠2=∠3，△ABC是等边三角形吗？试说明理由．（课本P114/3）
课堂小结
本节课主要学习了什么？你有何收获？
教师补充：在等边三角形的判定方法探究过程中，体会了分类讨论的思想，及从性质的逆向思维方面考虑问题的方法.
本节课可视情况上为两节课
①
不等边三角形
按边分
②
等腰三角形
等边三角形
注：①
三边不相等
两条边相等
三边都相等
等边三角形的三条边相等
等边三角形的三个角相等
是轴对称图形，有三条对称轴
因为等边三角形的三条边相等，根据等边对等角可以得到三个内角等相等
都为60°，根据三角形内角和为180°，这三个角又相等，所以每个角都为60°
从“边”、“角”角度添加条件
（1）底边与腰相等；
（2）顶角和底角相等；
底角为60°,顶角为60°,是等边三角形.
由△ABC、△DCE都是等边三角形可得BC=AC，CD=CE，缺BD=AE或
∠BCD=∠ACE.
由△ABC、△DCE都是等边三角形可得∠1=∠2=60°，
所以∠1+∠3=∠2+∠3，
即∠BCD=∠ACE
学生口述，教师板书
还是全等的，判定这两个三角形全等的方法和上一题类似
BD=AE,
∠4=∠5,
∠6=∠7
△ECF≌△DCG，
△BCG≌△ACF，根据平角意义，由∠1=∠2=60°，可得∠3=60°，得出∠2=∠3，再由∠4=∠5，CD=CE，根据A.S.A可以得到△ECF≌△DCG
等边三角形，由△ECF≌△DCG可得CG=CF，又因为∠3=60°，根据有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形可得.
学生独立思考，板演过程
说明三边相等或三角相等，或有一个角为60°且有两条边相等
三边相等，说明△BDE≌△CFE
≌△ADF，由于△DEF是等边三角形，DE=EF=DF，∠4=∠5=∠6，又因为∠1=∠2=∠3，根据平角的意义，可以得到∠7=∠8=∠9，根据A.S.A可以得到这三个三角形全等.
说明∠A=∠B=∠C
第2种
1.解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠BCA=60°，AB=AC（等边三角形的各内角为60°、各边相等）
∵∠BCA+∠ACD=180°，
∴∠ACD=120°，
∵CE平分∠ACD（已知）,
∴∠1=∠ACD=×120°=60°（角平分线意义），
∴∠B=∠1（等量代换）．
在△DAB与△EAC中，
AB=AC（已证），
∠B=∠1（已证），
BD=CE（已证），
∴△DAB≌△EAC（S.A.S）
2.答：∵△ABC、△DCE都是等边三角形（已知），
∴BC=AC,DC=DE，∠ACB=∠DCE，
（等边三角形的各边相等，各内角为60°）
∠ACB＋∠ACD=∠DCE＋∠ACD，
即∠BCD=∠ACE(等式性质)
在△ACE与△BCD中，
AC=BC,
∠ACE=∠BCD,
DC=CE,
∴△ACE≌△BCD（S．A．S）．
3.答：△ABC是等边三角形．
∵△DEF是等边三角形，
∴△DEF的各个内角都等于60°，
∴∠DEC=∠B+∠1，即∠DEF+∠3=∠1+∠B（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和），
∵∠3=∠1（已知），
∴∠DEF=∠B＝60°（等式性质）．
同理，∠A=60°，∠C=60°．
∴∠A=∠B=∠C，
∴△ABC是等边三角形．
（1）知道等边三角形的概念；
（2）理解等边三角形的性质及判定；
（3）会运用等边三角形的性质和判定解决相关的问题.
由已学的三角形的分类引出课题，再次体现了从特殊到一般的研究问题的方法.
由于学生回答的性质不完善，所以教师引导学生进一步思考每个内角的度数，进而得到完整的性质.
等边三角形性质的符号语言、文字语言之间转换.
类比于等腰三角形的判定从概念及性质的逆向思维得到，为学生探究等边三角形的性质指明方向.
等边三角形判定（2）的符号语言、文字语言之间的转换.
引导学生从边和角两个方面来分类讨论等边三角形的判，分别从添加顶角和底角为60度两种条件来判定等边三角形，进一步体会分类讨论的思想.
等边三角形判定（3）的符号语言、文字语言之间转换.
此例题涉及等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，有一定的综合运用要求，要知道学生学习分析的方法，获取探索解题思路的经验.
将△ABC绕着点C转动到任意位置，体现了从特殊到一般来得研究问题方法
指明当B落在边CE上就是书上的例题，学生课后看也能看懂.
追问是否还有全等三角形问题，引发学生对此题的进一步思考.
追问△CGF是什么三角形问题，巩固等边三角形的判定3运用.
此题是书上的课后习题，若让学生独立完成有难度，而且涉及到等边三角形的判定问题，所以作为例题讲解.
巩固等边三角形的三种判定方法.
若学生直接回答了用三角形外角的性质说明，就不用提利用全等这种方法了，若学生回答了用全等说明，则要引导学生用外角的性质来说明.同时用全等的方法说明时，要强调书写的简洁，“同理可得”不仅适用于某条定理重复，也适用于说理过程的重复.
运用等边三角形的性质，补足两个三角形全等的条件．
培养学生简单明了的说理方法，要求学生逐渐学会用“同理”简化说理过程．
课后作业
试
题
解
答
设计意图
A组：
1．选择题：
（1）已知∠AOB=30°，点P在∠AOB的内部，点P1与点P关于OB对称，点P2与点P关于OA对称，那么以P1OP2三点为顶点的三角形是（
）
（A）直角三角形；
（B）钝角三角形；
（C）等腰三角形；
（D）等边三角形．
（P60）
（2）下列所叙述的图形中，全等的两个三角形是（
）（P60）（A）含60°角的两个直角三角形；
（B）腰对应相等的两个等腰三角形；
（C）边长均为15cm的两个等边三角形；
（D）一个钝角对应相等的两个等腰三角形．
2．如图，△ACB是等边三角形，BD是边AC上的高，E是BC延长线上的一点，∠E=30°，那么DB=DE,为什么？
解：因为△ABC是等边三角形，
所以AB=BC=CA(等边三角形的三条边都相等)，
∠A=∠ABC=∠ACB=60°
（
　　　　　　　　
）．
又因为BD是边AC上的高（
　　　），
所以∠DBC=
（
）．
得∠DBC=×60°=30°．
因为∠E=30°（已知），
得∠DBC=
(等量代换)，
所以DB=DE（
）．
（P61）
3．如图，在△ABC中，D是边BC上的一点，AB=AD=DC,∠B=60°，求∠C、∠BAC的度数．（P61）
（1）D．
分析：由题意，得△OCP2≌△OCP
△OCP≌△ODP1，
∴∠1=∠3，∠2=∠4，
OP2=OP,OP1=OP，
∴OP2=OP1（等量代换）
∠P2OP=2∠1，∠P1OP=2∠2（作图），
∵∠AOB=30°（已知），
∵∠AOB=30°（已知），
∴∠P1OP2=2（∠1+∠2）
=2∠AOB
=2×30°
=60°．
∴∠P1OP2=60°．
又∵OP1=OP2，
∴△OP1P2是等边三角形．
（2）C．
（A）两角对应相等的两个三角形不全等．×
（B）这两个三角形可以是一个锐角三角形和一个钝角三角形．×
（C）根据三边对应相等可判定两个三角形全等．√
（D）两个三角形全等需有对应边相等．×
答：
等边三角形每个内角是60°，
已知，
∠ABC,
∠E，
等角对等边．
3.解：∵AB=AD,∠B=60°（已知），
∴△ABD是等边三角形（有一个角为60°的等腰三角形为等边三角形），
∴∠1=60°（正三角形的每个内角为60°），
∵∠1=∠2+∠C（三角形的外角等于不相邻的两个内角的和）
又∵AD=DC（已知），
∴∠2=∠C（等边对等角）．
∴∠C=30°（等式性质）．
（2）∵△ABD是等边三角形，
∴∠BAD=60°（等边三角形每个内角为30°），
∵∠2=30°（已求），
∠BAC=∠BAD+∠2
=60°+30°
=90°．
答：∠C=30°，∠BAC=90°．
由图形的翻折，可直接得翻折后图形全等，巩固用同理的方式简化说理过程．
根据三角形全等的判定方法，找出可以全等的三角形，须注意三角形全等时至少要有一对边相等．
引导学生紧扣三角形全等的判定作出正确的判断．
利用等边三角形的性质，求角的大小解决简单的几何计算问题．
B组：
请用三种不同的分割方法，将以下一个等边三角形分割成四个等腰三角形．（分别在各图中画出分割线，并标出必要的角的度数）（P61）
答：
从不同的角度分割三角形，使它成为四个等腰三角形，尝试不同的方法，体会分类讨论的思想．
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