沪科版（2012）初中数学九年级下册 24.2.2 圆的基本性质 垂径定理 教案
文档属性
| 名称 | 沪科版（2012）初中数学九年级下册 24.2.2 圆的基本性质 垂径定理 教案 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 90.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 沪科版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-01-30 21:59:42 | ||
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文档简介
24.2
圆的基本性质（垂径定理）-教案
教学背景
（一）教材分析
本节内容是圆的性质的重要体现，它揭示了垂直于弦的直径和这条弦及这条弦所对的弧之间的内在关系，是圆的轴对称性的具体化，也是今后证明线段相等、角相等、弧相等、垂直关系的重要依据，同时，也为进行圆的计算和作图提供了方法和依据。垂径定理的得出，使学生的认识从感性到了理性，从具体到了抽象，有助于培养学生的思维的严谨性，所以它在教材中处于非常重要的位置。
（二）学情分析
学生前面已学习过轴对称图形及其性质，圆的定义及相关的概念，明确了圆是轴对称图形，对圆已经有了一些认识，但圆的对称性具有什么特殊性，不太了解，用圆的知识解决问题难度比较大；对于常规的逻辑推理证明比较熟悉，而应用对称性来说明推理的过程却比较难以理解。因而，在教学中要选择适当的教学起点和教学方法，注意前后知识的链接，充分调动学生的学习主动性，让每位学生都能参与到教学活动中，获得较好的收获。
二、教学目标
理解掌握垂径定理，学会用垂径定理解决有关弦、弧、弦心距以及半径之间的证明和计算问题。
三、教学重难点
教学重点：理解和掌握垂径定理，并用垂径定理解决有关计算、证明和作图问题。
教学难点：垂径定理的推导及应用。
四、教学方法分析及学习方法指导
教学方法分析：
本着“把学生学习知识当作认识事物的过程来进行教学。”，在教学过程中教师的主导作用与学生的主体作用相统一，本节课采用引导发现法和直观演示法，通过实验-观察-猜想-合作交流-证明的途径，得出结论。
学习方法指导：
引导学生学会观察、归纳的学习方法，培养学生的想象力，充分调动学生自己动手、动脑，自己分析、讨论，最后总结得出结论。
五、教学过程
（一）创设情境，引入新课
1.
将一等腰三角形沿着底边上的高对折，你能发现什么？对折后的图形能够与它本身完全重合，说明等腰三角形是轴对称图形，对称轴是底边上的高所在的直线。
2.若以等腰三角形的顶点为圆心，腰长为半径作圆，得到的圆是否是轴对称图形呢？（学生自己操作）是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是它的对称轴，圆有无数条对称轴。（注意：对称轴是直线，回答要完整。）
（让学生更好地理解圆的对称性，为下一步探究新知作好准备。）
3.有一下水管道，水面宽度16cm，水面到管道顶部距离16cm，你知道下水管道的内径有多大吗？你能解决这个问题吗？能否画出它的示意图？
(带着问题去思考，激发学生的学习兴趣，有助于定理的导出。）
（二）讲解新课，探求新知
(
AACC
)
(
AACC
)
(
AACC
)1.任意画一个圆和这个圆的任意一条直径CD.2.作一条和直径CD垂直的弦AB，AB与CD相交于点E，如图。问：把⊙O沿直径CD所在的直线对折，你发现哪些点、线段、圆弧重合？在探究的基础上得出结论：
(
AACC
)①
EA=EB
②AC
=BC
AD
=BD
理由如下：
∵OEA=OEB=900
根据圆的轴对称性，可得线段EA与EB重合，∴点A与点B重合，弧AC与弧BC重合，弧AD与弧BD
重合。∴EA=EB,
弧AC
=弧BC
，弧
AD
=弧BD
把上述的问题看做一个命题，此命题的题设和结论分别是什么？用文字表达为：
垂径定理
：垂直于弦的直径，平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧。
用几何语言表达为：∵CD是直径，CDAB（OCAB）
∴EA=EB,弧AC=弧BC
弧AD=弧BD
(
C
E
A
B
D
)（三）应用新知，体验成功
例1.已知弧AB，如图，用直尺和圆规作出这条弧的中点。
作法：1.连接AB
2.作AB的垂直平分线CD，交弧AB于点E，点E为所求弧AB的中点
变式一，求弧AB的四等分点。（先将弧AB平分，再用同样的方法将弧AE,弧BE平分。）
变式二，能确定弧AB的圆心吗？（在弧上任意取三点，得到三条弦，画其中两条弦的垂直平分线，交点为弧的圆心。）
（进一步理解垂径定理，平分弧与平分弦的区别，四等分弧，不能将弦四等分，直径经过圆心垂直平分弦，因而交点才是圆心。）
例2.已知如图，线段AB交⊙O于C、D两点，且OA=OB.求证：AC=BD
分析：作OMAB，垂足为M，∴CM=DM
∵OA=OB
∴AM
=BM
∴AC=BD
概念:圆心到圆的一条弦的距离叫做弦心距。
弦心距是圆中常用的辅助线；半径r，半弦，弦心距d
组成
的直角三角形是研究与圆有关问题的主要思路，它
们之间的关系是AB=2√
r
2
-d
2
（弦长、半径、弦心距三个量中，已知两个，则可以求出第三个。）
解决开始提出的问题，如图AB=16，CD=16，则OD=16
-
R，
因为CDAB，CD所在的直线过圆心O，所以AD=BD=8，
在RtAOD中
R
2=82+(16-R)2
解得R=10
（四）巩固练习
已知⊙O的半径为3，一条弦AB的弦心距为5，则弦AB
的长为
如图AB是⊙O中的直径，CD为弦，CDAB于E,则下列结论中不一定成立的是
A．COE=DOE
B.
CE=DE
C.
OE=BE
D.
弧BD=弧BC
过⊙O内一点M的最长弦长为10cm最短弦长为8cm，则OM的长为
（最长弦是过点M的直径，最短弦是过定点M与OM垂直的弦）
如图，⊙O的直径为10，弦AB的长为8，M是弦AB上
的动点，则OM长的取值范围是
已知⊙O的半径为10，弦AB//CD,AB=12，CD=16，则
AB，CD之间的距离为
（注意分两种情况，弦AB,CD在圆心O的两侧，弦AB，CD
在圆心O的同侧。）
（五）归纳小结
圆的轴对称性，垂径定理及其应用，解题的方法
作业
板书设计
垂径定理
问题3
题设：
结论：
垂径定理：垂直于弦的直径，平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧。
用几何语言表达为：∵CD是直径，CDAB（OCAB）
∴EA=EB,弧AC=弧BC
弧AD=弧BD
例题讲解
弦心距
半径r，半弦，弦心距d
组成的直角三角形AB=2√
r
2
-d
2
教学反思
圆的基本性质（垂径定理）-教案
教学背景
（一）教材分析
本节内容是圆的性质的重要体现，它揭示了垂直于弦的直径和这条弦及这条弦所对的弧之间的内在关系，是圆的轴对称性的具体化，也是今后证明线段相等、角相等、弧相等、垂直关系的重要依据，同时，也为进行圆的计算和作图提供了方法和依据。垂径定理的得出，使学生的认识从感性到了理性，从具体到了抽象，有助于培养学生的思维的严谨性，所以它在教材中处于非常重要的位置。
（二）学情分析
学生前面已学习过轴对称图形及其性质，圆的定义及相关的概念，明确了圆是轴对称图形，对圆已经有了一些认识，但圆的对称性具有什么特殊性，不太了解，用圆的知识解决问题难度比较大；对于常规的逻辑推理证明比较熟悉，而应用对称性来说明推理的过程却比较难以理解。因而，在教学中要选择适当的教学起点和教学方法，注意前后知识的链接，充分调动学生的学习主动性，让每位学生都能参与到教学活动中，获得较好的收获。
二、教学目标
理解掌握垂径定理，学会用垂径定理解决有关弦、弧、弦心距以及半径之间的证明和计算问题。
三、教学重难点
教学重点：理解和掌握垂径定理，并用垂径定理解决有关计算、证明和作图问题。
教学难点：垂径定理的推导及应用。
四、教学方法分析及学习方法指导
教学方法分析：
本着“把学生学习知识当作认识事物的过程来进行教学。”，在教学过程中教师的主导作用与学生的主体作用相统一，本节课采用引导发现法和直观演示法，通过实验-观察-猜想-合作交流-证明的途径，得出结论。
学习方法指导：
引导学生学会观察、归纳的学习方法，培养学生的想象力，充分调动学生自己动手、动脑，自己分析、讨论，最后总结得出结论。
五、教学过程
（一）创设情境，引入新课
1.
将一等腰三角形沿着底边上的高对折，你能发现什么？对折后的图形能够与它本身完全重合，说明等腰三角形是轴对称图形，对称轴是底边上的高所在的直线。
2.若以等腰三角形的顶点为圆心，腰长为半径作圆，得到的圆是否是轴对称图形呢？（学生自己操作）是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是它的对称轴，圆有无数条对称轴。（注意：对称轴是直线，回答要完整。）
（让学生更好地理解圆的对称性，为下一步探究新知作好准备。）
3.有一下水管道，水面宽度16cm，水面到管道顶部距离16cm，你知道下水管道的内径有多大吗？你能解决这个问题吗？能否画出它的示意图？
(带着问题去思考，激发学生的学习兴趣，有助于定理的导出。）
（二）讲解新课，探求新知
(
AACC
)
(
AACC
)
(
AACC
)1.任意画一个圆和这个圆的任意一条直径CD.2.作一条和直径CD垂直的弦AB，AB与CD相交于点E，如图。问：把⊙O沿直径CD所在的直线对折，你发现哪些点、线段、圆弧重合？在探究的基础上得出结论：
(
AACC
)①
EA=EB
②AC
=BC
AD
=BD
理由如下：
∵OEA=OEB=900
根据圆的轴对称性，可得线段EA与EB重合，∴点A与点B重合，弧AC与弧BC重合，弧AD与弧BD
重合。∴EA=EB,
弧AC
=弧BC
，弧
AD
=弧BD
把上述的问题看做一个命题，此命题的题设和结论分别是什么？用文字表达为：
垂径定理
：垂直于弦的直径，平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧。
用几何语言表达为：∵CD是直径，CDAB（OCAB）
∴EA=EB,弧AC=弧BC
弧AD=弧BD
(
C
E
A
B
D
)（三）应用新知，体验成功
例1.已知弧AB，如图，用直尺和圆规作出这条弧的中点。
作法：1.连接AB
2.作AB的垂直平分线CD，交弧AB于点E，点E为所求弧AB的中点
变式一，求弧AB的四等分点。（先将弧AB平分，再用同样的方法将弧AE,弧BE平分。）
变式二，能确定弧AB的圆心吗？（在弧上任意取三点，得到三条弦，画其中两条弦的垂直平分线，交点为弧的圆心。）
（进一步理解垂径定理，平分弧与平分弦的区别，四等分弧，不能将弦四等分，直径经过圆心垂直平分弦，因而交点才是圆心。）
例2.已知如图，线段AB交⊙O于C、D两点，且OA=OB.求证：AC=BD
分析：作OMAB，垂足为M，∴CM=DM
∵OA=OB
∴AM
=BM
∴AC=BD
概念:圆心到圆的一条弦的距离叫做弦心距。
弦心距是圆中常用的辅助线；半径r，半弦，弦心距d
组成
的直角三角形是研究与圆有关问题的主要思路，它
们之间的关系是AB=2√
r
2
-d
2
（弦长、半径、弦心距三个量中，已知两个，则可以求出第三个。）
解决开始提出的问题，如图AB=16，CD=16，则OD=16
-
R，
因为CDAB，CD所在的直线过圆心O，所以AD=BD=8，
在RtAOD中
R
2=82+(16-R)2
解得R=10
（四）巩固练习
已知⊙O的半径为3，一条弦AB的弦心距为5，则弦AB
的长为
如图AB是⊙O中的直径，CD为弦，CDAB于E,则下列结论中不一定成立的是
A．COE=DOE
B.
CE=DE
C.
OE=BE
D.
弧BD=弧BC
过⊙O内一点M的最长弦长为10cm最短弦长为8cm，则OM的长为
（最长弦是过点M的直径，最短弦是过定点M与OM垂直的弦）
如图，⊙O的直径为10，弦AB的长为8，M是弦AB上
的动点，则OM长的取值范围是
已知⊙O的半径为10，弦AB//CD,AB=12，CD=16，则
AB，CD之间的距离为
（注意分两种情况，弦AB,CD在圆心O的两侧，弦AB，CD
在圆心O的同侧。）
（五）归纳小结
圆的轴对称性，垂径定理及其应用，解题的方法
作业
板书设计
垂径定理
问题3
题设：
结论：
垂径定理：垂直于弦的直径，平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧。
用几何语言表达为：∵CD是直径，CDAB（OCAB）
∴EA=EB,弧AC=弧BC
弧AD=弧BD
例题讲解
弦心距
半径r，半弦，弦心距d
组成的直角三角形AB=2√
r
2
-d
2
教学反思