《等差数列及其前n项和》复习指导
文档属性
| 名称 | 《等差数列及其前n项和》复习指导 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 72.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2011-12-09 14:42:09 | ||
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文档简介
《等差数列及其前n项和》复习指导
一．学习目标
1．理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式，并能运用通项公式解决简单的问题.
2．掌握等差数列前 项和的公式，并能运用公式解决简单的问题.
3．通过公式的推导和公式的运用，使学生体会从特殊到一般，再从一般到特殊的思维规律，初步形成认识问题，解决问题的一般思路和方法.
二．重难点分析：重点是等差数列的定义和对通项公式的认识与应用，等差数列是特殊的数列，定义恰恰是其特殊性、也是本质属性的准确反映和高度概括，准确把握定义是正确认识等差数列，解决相关问题的前提条件.通项公式是项与项数的函数关系，是研究一个数列的重要工具，等差数列的通项公式的结构与一次函数的解析式密切相关，通过函数图象研究数列性质成为可能.
②通过不完全归纳法得出等差数列的通项公式，所以是教学中的一个难点；另外， 出现在一个等式中，运用方程的思想，已知三个量可以求出第四个量.由于一个公式中字母较多，学生应用时会有一定的困难，通项公式的灵活运用是教学的有一难点.
重点是等差数列前 项和公式的推导和应用，难点是公式推导的思路．
推导过程的展示体现了人类解决问题的一般思路，即从特殊问题的解决中提炼一般方法，再试图运用这一方法解决一般情况，所以推导公式的过程中所蕴含的思想方法比公式本身更为重要．等差数列前 项和公式有两种形式，应根据条件选择适当的形式进行计算；另外反用公式、变用公式、前 项和公式与通项公式的综合运用体现了方程（组）思想．
高斯算法表现了大数学家的智慧和巧思，对一般学生来说有很大难度，但大多数学生都听说过这个故事，所以难点在于一般等差数列求和的思路上．
三．知识结构
四．主要知识点
1．＿＿＿＿＿＿＿＿叫做等差数列。
2．等差数列的通项公式是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。通项公式 反映了项 与项数 之间的函数关系，当等差数列的首项与公差确定后，数列的每一项便确定了，可以求指定的项（即已知 求 ）。
3．等差数列的前n和公式＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。
（1）公式推导：设等差数列 的首项为 ，公差为 ，
思路一：运用基本量思想，将各项用 和 表示，得
，有以下等式
，问题是一共有多少个 ，似乎与 的奇偶有关.这个思路似乎进行不下去了.
思路二：
上面的等式其实就是 ，为回避个数问题，做一个改写 ， ，两式左右分别相加，得
，
于是有： .这就是倒序相加法.
思路三：受思路二的启发，重新调整思路一，可得 ，于是 .
于是得到了两个公式（投影片）： 和 .
（2）公式记忆
用梯形面积公式记忆等差数列前 项和公式，这里对图形进行了割、补两种处理，对应着等差数列前 项和的两个公式.
（3）公式的应用
公式中含有四个量，运用方程的思想，知三求一.
五．典型例析
例1 已知 依次成等差数列，求证： 依次成等差数列.
分析：要证三个数 成等差数列，只需证明等式： ，即证 成立.
证明： 成等差数列，
（设其公差为 ），
，
又 ，
， 成等差数列.
说明：本题实质上是一个条件等式的证明，关键是条件如何使用.这种证法引入了一个新字母，使条件与结论中的字母减少，关系明朗.此题证法很多，不再一一列举.
例2 已知是等差数列，且满足 ，则 等于________.
分析：已知等差数列的两项，等差数列便确定了，利用通项公式可以求得任意一项.数列确定后，数列的图像也确定了，利用图形也可求解.
解一：设此数列的首项为，公差为，则， ，
相减得，
，，
.
解二：设数列公差为 ，， .故 .
解三：根据等差数列的图像可知 三点共线，故有 ，即 ， .
说明： 通项公式与图像是认识和研究等差数列的工具，它们在数和形两个角度各有优势，应将它们有机结合，适当选择，以利问题解决.
例3 等差数列 和 的前 项和分别为 和 ，若对一切正整数 都有 ，求 的值.
分析： 由 、 的通项公式可求得 、 的通项公式.
解法一：令 ，则当 时，有 ，所以
解法二：
说明：等差数列前 项和 ，当公差 时， 是 的二次函数，且常数项为0，所以等差数列前 项和 的一般形式是 ，解法一就运用了这个形式；解法二则侧重等差数列前 项和公式的另一形式 ，是等差数列性质的应用.
例4.是等差数列 的前 项和， ，且 ， .求数列 的前 项和 的通项公式.
分析：因为 ，所以应确定 的首项及公差.
解：设 的首项为 ，公差为 ，则 ， ， ， ，由已知得 解得 所以 ， ， ，
.
说明：本题中的条件较多，通过分析找出基本量，简化条件，同时明确解题方向. 求数列 的前 项和 使用的是裂项法，在第一节中曾经提到，在此复习为今后求极限作准备.
六．友情连接
某人准备于2002年9月30日将人民币20000元存入银行，三年后连本带息取出．可选择的定期存款方式有一年期，二年期，三年期三种，请你设计一个存款方案，使其三年后所得利息最高．（假定三年内利率不变且不提前支取）
2002年9月30日银行定期利率如下：一年期年利率为1.98％，二年期年利率为2.25％，三年期年利率为2.52％．利息税为20％．
参考答案：
方案一：每次存一年期，到期后连本带利再存一年，共存三次．
2003年9月30日到期，连本带息取出 元；马上存入，存一年定期，2004年9月30日到期，连本带利取出 元；再存入，存一年定期，2005年9月30日到期，连本带利取出 元．
方案二：先存一年期，再存两年期．
2003年9月30日到期，连本带息取出 元；马上存入，存二年定期，2005年9月30日到期，连本带利取出 元．
方案三：先存二年期，再存一年期．
2004年9月30日到期，连本带息取出 元；再存一年期，2005年9月30日到期，连本带息取出 元．
方案四：直接存三年定期．
2005年9月30日到期，连本带息取出 元．
比较方案四获利最多．
七．扩展资料
我国数列求和的概念起源很早，古书《周髀算经》里谈到“没日影”时，已出现了简单的等差数列；《九章算术》中的一些问题反映出当时已形成了数列求和的简单概念。
到南北朝时，张丘建始创等差数列求和解法。他在《张丘建算经》里给出了几个等差数列问题。
例如：“今有女子不善织布，逐日所织的布以同数递减，初日织五尺，末一日织一尺，计织三十日，问共织几何？”
原书的解法是：“并初、末日织布数，半之，余以乘织讫日数，即得。”这个解法相当于给出了等差数列的求和公式
再如：“今有女子善织布，逐日所织的布以同数递增，初日织五尺，计织三十日，共织九匹三丈，问日增几何？”
书中给出了计算公式 ，这个公式等式价于现今中学课本里的公式： 。
一．学习目标
1．理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式，并能运用通项公式解决简单的问题.
2．掌握等差数列前 项和的公式，并能运用公式解决简单的问题.
3．通过公式的推导和公式的运用，使学生体会从特殊到一般，再从一般到特殊的思维规律，初步形成认识问题，解决问题的一般思路和方法.
二．重难点分析：重点是等差数列的定义和对通项公式的认识与应用，等差数列是特殊的数列，定义恰恰是其特殊性、也是本质属性的准确反映和高度概括，准确把握定义是正确认识等差数列，解决相关问题的前提条件.通项公式是项与项数的函数关系，是研究一个数列的重要工具，等差数列的通项公式的结构与一次函数的解析式密切相关，通过函数图象研究数列性质成为可能.
②通过不完全归纳法得出等差数列的通项公式，所以是教学中的一个难点；另外， 出现在一个等式中，运用方程的思想，已知三个量可以求出第四个量.由于一个公式中字母较多，学生应用时会有一定的困难，通项公式的灵活运用是教学的有一难点.
重点是等差数列前 项和公式的推导和应用，难点是公式推导的思路．
推导过程的展示体现了人类解决问题的一般思路，即从特殊问题的解决中提炼一般方法，再试图运用这一方法解决一般情况，所以推导公式的过程中所蕴含的思想方法比公式本身更为重要．等差数列前 项和公式有两种形式，应根据条件选择适当的形式进行计算；另外反用公式、变用公式、前 项和公式与通项公式的综合运用体现了方程（组）思想．
高斯算法表现了大数学家的智慧和巧思，对一般学生来说有很大难度，但大多数学生都听说过这个故事，所以难点在于一般等差数列求和的思路上．
三．知识结构
四．主要知识点
1．＿＿＿＿＿＿＿＿叫做等差数列。
2．等差数列的通项公式是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。通项公式 反映了项 与项数 之间的函数关系，当等差数列的首项与公差确定后，数列的每一项便确定了，可以求指定的项（即已知 求 ）。
3．等差数列的前n和公式＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。
（1）公式推导：设等差数列 的首项为 ，公差为 ，
思路一：运用基本量思想，将各项用 和 表示，得
，有以下等式
，问题是一共有多少个 ，似乎与 的奇偶有关.这个思路似乎进行不下去了.
思路二：
上面的等式其实就是 ，为回避个数问题，做一个改写 ， ，两式左右分别相加，得
，
于是有： .这就是倒序相加法.
思路三：受思路二的启发，重新调整思路一，可得 ，于是 .
于是得到了两个公式（投影片）： 和 .
（2）公式记忆
用梯形面积公式记忆等差数列前 项和公式，这里对图形进行了割、补两种处理，对应着等差数列前 项和的两个公式.
（3）公式的应用
公式中含有四个量，运用方程的思想，知三求一.
五．典型例析
例1 已知 依次成等差数列，求证： 依次成等差数列.
分析：要证三个数 成等差数列，只需证明等式： ，即证 成立.
证明： 成等差数列，
（设其公差为 ），
，
又 ，
， 成等差数列.
说明：本题实质上是一个条件等式的证明，关键是条件如何使用.这种证法引入了一个新字母，使条件与结论中的字母减少，关系明朗.此题证法很多，不再一一列举.
例2 已知是等差数列，且满足 ，则 等于________.
分析：已知等差数列的两项，等差数列便确定了，利用通项公式可以求得任意一项.数列确定后，数列的图像也确定了，利用图形也可求解.
解一：设此数列的首项为，公差为，则， ，
相减得，
，，
.
解二：设数列公差为 ，， .故 .
解三：根据等差数列的图像可知 三点共线，故有 ，即 ， .
说明： 通项公式与图像是认识和研究等差数列的工具，它们在数和形两个角度各有优势，应将它们有机结合，适当选择，以利问题解决.
例3 等差数列 和 的前 项和分别为 和 ，若对一切正整数 都有 ，求 的值.
分析： 由 、 的通项公式可求得 、 的通项公式.
解法一：令 ，则当 时，有 ，所以
解法二：
说明：等差数列前 项和 ，当公差 时， 是 的二次函数，且常数项为0，所以等差数列前 项和 的一般形式是 ，解法一就运用了这个形式；解法二则侧重等差数列前 项和公式的另一形式 ，是等差数列性质的应用.
例4.是等差数列 的前 项和， ，且 ， .求数列 的前 项和 的通项公式.
分析：因为 ，所以应确定 的首项及公差.
解：设 的首项为 ，公差为 ，则 ， ， ， ，由已知得 解得 所以 ， ， ，
.
说明：本题中的条件较多，通过分析找出基本量，简化条件，同时明确解题方向. 求数列 的前 项和 使用的是裂项法，在第一节中曾经提到，在此复习为今后求极限作准备.
六．友情连接
某人准备于2002年9月30日将人民币20000元存入银行，三年后连本带息取出．可选择的定期存款方式有一年期，二年期，三年期三种，请你设计一个存款方案，使其三年后所得利息最高．（假定三年内利率不变且不提前支取）
2002年9月30日银行定期利率如下：一年期年利率为1.98％，二年期年利率为2.25％，三年期年利率为2.52％．利息税为20％．
参考答案：
方案一：每次存一年期，到期后连本带利再存一年，共存三次．
2003年9月30日到期，连本带息取出 元；马上存入，存一年定期，2004年9月30日到期，连本带利取出 元；再存入，存一年定期，2005年9月30日到期，连本带利取出 元．
方案二：先存一年期，再存两年期．
2003年9月30日到期，连本带息取出 元；马上存入，存二年定期，2005年9月30日到期，连本带利取出 元．
方案三：先存二年期，再存一年期．
2004年9月30日到期，连本带息取出 元；再存一年期，2005年9月30日到期，连本带息取出 元．
方案四：直接存三年定期．
2005年9月30日到期，连本带息取出 元．
比较方案四获利最多．
七．扩展资料
我国数列求和的概念起源很早，古书《周髀算经》里谈到“没日影”时，已出现了简单的等差数列；《九章算术》中的一些问题反映出当时已形成了数列求和的简单概念。
到南北朝时，张丘建始创等差数列求和解法。他在《张丘建算经》里给出了几个等差数列问题。
例如：“今有女子不善织布，逐日所织的布以同数递减，初日织五尺，末一日织一尺，计织三十日，问共织几何？”
原书的解法是：“并初、末日织布数，半之，余以乘织讫日数，即得。”这个解法相当于给出了等差数列的求和公式
再如：“今有女子善织布，逐日所织的布以同数递增，初日织五尺，计织三十日，共织九匹三丈，问日增几何？”
书中给出了计算公式 ，这个公式等式价于现今中学课本里的公式： 。